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1.「2026山东泰安期中改编」下列四个算式：①$\frac{a}{y} · \frac{x}{b}$；②$\frac{n}{m} · \frac{3m}{n}$；③$\frac{4}{x} · \frac{x}{5}$；④$\frac{a}{b^2} · \frac{b^2}{2a^2}$。其中最后计算结果是分式的是（
A.①④
B.①③
C.②④
D.③④
A
）A.①④
B.①③
C.②④
D.③④
答案
①$\frac{a}{y} · \frac{x}{b} =\frac{ax}{by}$;②$\frac{n}{m} · \frac{3m}{n}=3$;③$\frac{4}{x} · \frac{x}{5} =\frac{4}{5}$;④$\frac{a}{b^2} · \frac{b^2}{2a^2} =\frac{1}{2a}$.
∴最后计算结果是分式的是①④.
∴最后计算结果是分式的是①④.
2.计算：
(1)$\frac{3ab^2}{2cd} · \frac{4c^2d^3}{3a^2b^4}$
(2)$\frac{x^3 - 2x^2 + 4x}{x^2 - 4x + 4} · \frac{x - 2}{x^2 - 2x + 4}$
(1)$\frac{3ab^2}{2cd} · \frac{4c^2d^3}{3a^2b^4}$
(2)$\frac{x^3 - 2x^2 + 4x}{x^2 - 4x + 4} · \frac{x - 2}{x^2 - 2x + 4}$
答案
(1)原式$=\frac{12ab^2c^2d^3}{6a^2b^4cd} =\frac{2cd^2}{ab^2}$.
(2)原式$=\frac{x(x^2 - 2x + 4)}{(x-2)^2} · \frac{x-2}{x^2 - 2x + 4} =\frac{x}{x-2}$.
(2)原式$=\frac{x(x^2 - 2x + 4)}{(x-2)^2} · \frac{x-2}{x^2 - 2x + 4} =\frac{x}{x-2}$.
3.「2024江苏扬州中考」化简$\frac{x-2}{x+1}÷(x-2)=$
$\frac{1}{x+1}$
.答案
$\frac{1}{x+1}$
解析 $\frac{x-2}{x+1}÷(x-2) =\frac{x-2}{x+1} · \frac{1}{x-2} =\frac{1}{x+1}$.
解析 $\frac{x-2}{x+1}÷(x-2) =\frac{x-2}{x+1} · \frac{1}{x-2} =\frac{1}{x+1}$.
4.「2026 江苏盐城期末」计算$\frac{2a^3b}{c^3b^2} ÷ \frac{6ab^2}{c^2} =$
$\frac{a^2}{3b^3c}$
.答案
$\frac{a^2}{3b^3c}$
解析 原式$=\frac{2a^3b}{c^3b^2} · \frac{c^2}{6ab^2} =\frac{a^2}{3b^3c}$.
故答案为$\frac{a^2}{3b^3c}$.
解析 原式$=\frac{2a^3b}{c^3b^2} · \frac{c^2}{6ab^2} =\frac{a^2}{3b^3c}$.
故答案为$\frac{a^2}{3b^3c}$.
5.「2026河北秦皇岛期中」计算：
(1)$\dfrac{a-1}{a^2-4a+4} ÷ \dfrac{a^2-1}{a^2-4}$
(2)$\dfrac{x}{x^2+3x} ÷ \dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}$
(1)$\dfrac{a-1}{a^2-4a+4} ÷ \dfrac{a^2-1}{a^2-4}$
(2)$\dfrac{x}{x^2+3x} ÷ \dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}$
答案
(1)原式$=\frac{a-1}{(a-2)^2} ÷ \frac{(a-1)(a+1)}{(a-2)(a+2)}$
$=\frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a-2)(a+2)}{(a-1)(a+1)} =\frac{a+2}{(a-2)(a+1)} =\frac{a+2}{a^2 -a -2}$.
(2) 原式 $= \frac{x}{x(x+3)} ÷ \frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} = \frac{x}{x(x+3)} · \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)} =\frac{1}{x-3}$.
$=\frac{a-1}{(a-2)^2} · \frac{(a-2)(a+2)}{(a-1)(a+1)} =\frac{a+2}{(a-2)(a+1)} =\frac{a+2}{a^2 -a -2}$.
(2) 原式 $= \frac{x}{x(x+3)} ÷ \frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2} = \frac{x}{x(x+3)} · \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)} =\frac{1}{x-3}$.
6.「2025福建福州期末」甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行$(n+2)\mathrm{km}$用了$m\mathrm{h}$，如果乙船的速度是甲船速度的$\frac{m}{a}$，那么乙船航行$t\mathrm{h}$的路程为
$\frac{t(n+2)}{a}$
$\mathrm{km}$。答案
$\frac{t(n+2)}{a}$
解析 由题意得甲船的速度为$\frac{n+2}{m}$ km/h,
∴乙船的速度为$\frac{n+2}{m} · \frac{m}{a} =\frac{n+2}{a}$ km/h,
∴乙船航行t h的路程为$\frac{n+2}{a} · t =\frac{t(n+2)}{a}$ km.故答案为$\frac{t(n+2)}{a}$.
解析 由题意得甲船的速度为$\frac{n+2}{m}$ km/h,
∴乙船的速度为$\frac{n+2}{m} · \frac{m}{a} =\frac{n+2}{a}$ km/h,
∴乙船航行t h的路程为$\frac{n+2}{a} · t =\frac{t(n+2)}{a}$ km.故答案为$\frac{t(n+2)}{a}$.
7.有甲、乙两筐水果,甲筐水果的质量为$(m-1)^2$kg,乙筐水果的质量为$(m^2 -1)$kg(其中$m＞1$).售完后,两筐水果都卖了150元,则甲筐水果的单价是乙筐水果单价的
$\frac{m+1}{m-1}$
倍.答案
$\frac{m+1}{m-1}$
解析 由题意得甲筐水果的单价为$\frac{150}{(m-1)^2}$元,乙筐水果的单价为$\frac{150}{m^2 -1}$元,$\frac{150}{(m-1)^2} ÷ \frac{150}{m^2 -1} =\frac{150}{(m-1)^2} · \frac{(m+1)(m-1)}{150} =\frac{m+1}{m-1}$.故答案为$\frac{m+1}{m-1}$.
解析 由题意得甲筐水果的单价为$\frac{150}{(m-1)^2}$元,乙筐水果的单价为$\frac{150}{m^2 -1}$元,$\frac{150}{(m-1)^2} ÷ \frac{150}{m^2 -1} =\frac{150}{(m-1)^2} · \frac{(m+1)(m-1)}{150} =\frac{m+1}{m-1}$.故答案为$\frac{m+1}{m-1}$.
8.「2026湖南邵阳期中，★☆」若$\frac{m^2 -9}{m+2} ÷ \frac{M}{m^2 -4}$化简的结果为整式，其中M是含有m的一次二项式，则M不可能是（
A.$m+2$
B.$m-2$
C.$m+3$
D.$m-3$
A
）A.$m+2$
B.$m-2$
C.$m+3$
D.$m-3$
答案
原式$=\frac{(m-3)(m+3)}{m+2} · \frac{(m-2)(m+2)}{M}$
$=\frac{(m-3)(m+3)(m-2)}{M}$,
∵化简的结果为整式,M是含有m的一次二项式,
∴M不可能是m+2.故选 A.
$=\frac{(m-3)(m+3)(m-2)}{M}$,
∵化简的结果为整式,M是含有m的一次二项式,
∴M不可能是m+2.故选 A.
9.「2026湖北武汉期中，★☆」定义两种运算：$a△b=\frac{1}{a+b}$，$a□b=\frac{b}{a^2 - b^2}$，则$m△n÷(m□n)=$
$\frac{m-n}{n}$
。答案
$\frac{m-n}{n}$
解析 由题意得$m△n=\frac{1}{m+n}$,$m□n=\frac{n}{m^2 -n^2}$,
∴$m△n÷(m□n) =\frac{1}{m+n} ÷ \frac{n}{m^2 -n^2} =\frac{1}{m+n} · \frac{(m+n)(m-n)}{n} =\frac{m-n}{n}$.
解析 由题意得$m△n=\frac{1}{m+n}$,$m□n=\frac{n}{m^2 -n^2}$,
∴$m△n÷(m□n) =\frac{1}{m+n} ÷ \frac{n}{m^2 -n^2} =\frac{1}{m+n} · \frac{(m+n)(m-n)}{n} =\frac{m-n}{n}$.
10.「2026江苏南通月考节选，★☆」聪聪在做作业时发现一道题有一部分被墨滴遮住了，如图所示，第二天，聪聪的同桌告诉她，这道题被墨滴遮住的是一个二次二项式，并且这道题的标准答案是$\frac{1}{a-2}$，则被墨滴遮住的内容是
$2a^2-2a$
。答案
$2a^2-2a$
解析 设被墨滴遮住的内容是M,则$\frac{2}{a-1} ÷ \frac{M-4}{a^2 -1} =\frac{1}{a-2}$,
∴$\frac{M-4}{a^2 -1} =\frac{2}{a-1} ÷ \frac{1}{a-2} =\frac{2}{a-1} · \frac{a-2}{1} =\frac{2(a-2)}{a-1}$,
∴$M-4=\frac{2(a-2)}{a-1} · (a+1)(a-1)=2(a-2)(a+1)$
$=2(a^2 -a -2)=2a^2 -2a -4$.
∴$M=2a^2 -2a -4 +4=2a^2 -2a$.
∴被墨滴遮住的内容是$2a^2 -2a$.
解析 设被墨滴遮住的内容是M,则$\frac{2}{a-1} ÷ \frac{M-4}{a^2 -1} =\frac{1}{a-2}$,
∴$\frac{M-4}{a^2 -1} =\frac{2}{a-1} ÷ \frac{1}{a-2} =\frac{2}{a-1} · \frac{a-2}{1} =\frac{2(a-2)}{a-1}$,
∴$M-4=\frac{2(a-2)}{a-1} · (a+1)(a-1)=2(a-2)(a+1)$
$=2(a^2 -a -2)=2a^2 -2a -4$.
∴$M=2a^2 -2a -4 +4=2a^2 -2a$.
∴被墨滴遮住的内容是$2a^2 -2a$.
11.「★☆」如图1，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为a米(a＞2)的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分；如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为a米(a＞2)的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了n千克.
(1)“丰收1号”试验田的面积为
(2) 学科特色作商法
(1)“丰收1号”试验田的面积为
$(a-2)^2$
m²，单位面积产量为$\frac{n}{(a-2)^2}$
kg/m²；“丰收2号”试验田的面积为$a^2-4$
m²，单位面积产量为$\frac{n}{a^2-4}$
kg/m².(2) 学科特色作商法
“丰收1号”
试验田的小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a+2}{a-2}$
倍.答案
(1)由题意得,“丰收1号”试验田的面积为$(a-2)^2$ m²,
∴单位面积产量为$\frac{n}{(a-2)^2}$ kg/m².“丰收2号”试验田的面积为$(a^2 -4)$ m²,
∴单位面积产量为$\frac{n}{a^2 -4}$ kg/m².
(2)$\frac{n}{(a-2)^2} ÷ \frac{n}{a^2 -4} =\frac{n}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{n} =\frac{a+2}{a-2}$,
∵$a+2＞a-2$,
∴$\frac{a+2}{a-2}＞1$,
∴$\frac{n}{(a-2)^2} ＞\frac{n}{a^2 -4}$,
∴“丰收1号”试验田的小麦单位面积产量高,高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a+2}{a-2}$倍.
技巧归纳 作商法是初中数学比较正数大小的核心方法,核心是通过两正数的商与1的大小关系反推被除数与除数的大小,商大于1则被除数大,等于1则两数相等,小于1则被除数小.
∴单位面积产量为$\frac{n}{(a-2)^2}$ kg/m².“丰收2号”试验田的面积为$(a^2 -4)$ m²,
∴单位面积产量为$\frac{n}{a^2 -4}$ kg/m².
(2)$\frac{n}{(a-2)^2} ÷ \frac{n}{a^2 -4} =\frac{n}{(a-2)^2} · \frac{(a+2)(a-2)}{n} =\frac{a+2}{a-2}$,
∵$a+2＞a-2$,
∴$\frac{a+2}{a-2}＞1$,
∴$\frac{n}{(a-2)^2} ＞\frac{n}{a^2 -4}$,
∴“丰收1号”试验田的小麦单位面积产量高,高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a+2}{a-2}$倍.
技巧归纳 作商法是初中数学比较正数大小的核心方法,核心是通过两正数的商与1的大小关系反推被除数与除数的大小,商大于1则被除数大,等于1则两数相等,小于1则被除数小.
