1[2025浙江杭州期末,中]设锐角∠AOB的度数为α,若一条射线平分∠AOB,则图(1)中所有锐角的和为2α.若四条射线五等分∠AOB,则图(2)中所有锐角的和为 ()


A.7α
B.6α
C.5α
D.4α

1.A 【解析】因为四条射线五等分$∠AOB$,所以每个小角的度数为$\frac{1}{5}α$. 如图,图中所有锐角的和为 $( ∠AOC + ∠COD + ∠DOE+∠EOF+∠BOF ) + ( ∠AOD + ∠COE + ∠DOF + ∠BOE ) + ( ∠AOE + ∠COF + ∠BOD ) + ( ∠AOF + ∠BOC ) + ∠AOB = 5×\frac{1}{5}α+4×\frac{2}{5}α+3×\frac{3}{5}α+2×\frac{4}{5}α+α=7α$,故选 A.

2[中]将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD，BE为折痕，点A，C的对应点分别为A'，C'，且点A'，C'，B在同一直线上。若∠ABE的度数比∠DBC小30°，则∠DBC为°。

2.60 【解析】因为 BD,BE 为折痕,所以 BD,BE 分别平分$∠CBC'$,$∠ABC'$,所以$∠A'BE = ∠ABE$,$∠DBC = ∠DBC'$. 因为$∠ABE$的度数比$∠DBC$小$30°$,$∠A'BE + ∠ABE + ∠DBC + ∠DBC' = 180°$,所以$∠ABE + ∠DBC = 90°$,所以$∠DBC - 30° + ∠DBC = 90°$,所以$∠DBC = 60°$,故答案为 60.

3[中]在同一平面内，∠AOB=80°，∠AOC=10°，∠COD=40°，∠COD至少有一边在∠AOB内部，则∠BOD的度数为。

3.$30°或110°或50°$ 【解析】当 OC,OD 都在$∠AOB$的内部时,如图(1),$∠BOD = ∠AOB - ∠AOC - ∠COD = 30°$;当 OC 在$∠AOB$的内部,OD 在$∠AOB$的外部时,如图(2),$∠BOD = ∠AOB + ∠AOD = ∠AOB + ∠COD - ∠AOC = 110°$;当 OC 在$∠AOB$的外部,OD 在$∠AOB$的内部时,如图(3),因为$∠AOC = 10°$,$∠COD=40°$,所以$∠AOD = 30°$. 因为$∠AOB = 80°$,所以$∠BOD = 80°-30°=50°$. 故答案为$30°$或$110°$或$50°$.

4[较难]已知$∠ AOB=60°$，$OC$为从$O$点引出的任意一条射线，若$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，则$∠ MON$的度数是.

4.$30°或150°$ 【解析】因为 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,所以$∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC$,$∠CON=∠BON=\frac{1}{2}∠BOC$. 如图(1),$∠MON = ∠MOC - ∠CON=\frac{1}{2}(∠AOC - ∠BOC)=\frac{1}{2}×60°=30°$;如图(2),$∠MON = ∠MOC + ∠CON=\frac{1}{2}(∠AOC + ∠BOC)=\frac{1}{2}(360°-∠AOB)=\frac{1}{2}×300°=150°$;如图(3),$∠MON = ∠MOC + ∠CON=\frac{1}{2}(∠AOC + ∠BOC)=\frac{1}{2}×60°=30°$. 故答案为$30°$或$150°$.

5[2026浙江金华期末,中]如图(1),点A,O,B依次在直线MN上.现将射线OA绕点O按顺时针方向以每秒6°的速度旋转,同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒3°的速度旋转,如图(2).设旋转时间为t秒(0≤t≤60).
(1)当t=5时,∠AOB为°.
(2)当射线OA恰好平分∠MOB时,求t的值.
(3)是否存在某一时刻,使得∠AOB=45°?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
在,请说明理由.
刷素养
走向重高

5.【解】(1)当$t=5$时,$∠AOB = 180°-5×(6°+3°)=135°$,故答案为 135.
(2)由题意得,当$0 ≤ t ≤ 30$时,$∠AOM=(6t)°$,$∠BON=(3t)°$,所以$∠MOB = 180°-(3t)°$. 当射线 OA 恰好平分$∠MOB$时,$∠MOA=\frac{1}{2}∠MOB$,即$6t=\frac{1}{2}(180-3t)$,解得$t=12$.
(3)存在. 当$0 ≤ t ≤ 20$时,$∠AOB = 180°-(6t)°-(3t)°=45°$,解得$t=15$;当$20＜t≤30$时,$∠AOB=(6t)°+(3t)°-180°=45°$,解得$t=25$;当$30＜t≤40$时,$∠AOB=(3t)°+(6t)°-180°=45°$,解得$t=25$(不合题意,舍去);当$40＜t≤60$时,$∠AOB=[180°-(3t)°]+[360°-(6t)°]=45°$,解得$t=55$.
综上,$t$的值为 15 或 25 或 55.

6 核心素养几何直观[2025广东佛山调研,较难]如图(1),已知∠AOB=120°,∠COD=60°,OM在∠AOC内,ON在∠BOD内,∠AOM=$\frac{1}{3}$∠AOC,∠BON=$\frac{1}{3}$∠BOD.(本题中所有角均大于0°且小于等于180°)
(1)当∠COD从图(1)中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时,如图(2),则∠MON=°;
(2)当∠COD从图(2)中的位置绕点O逆时针旋转n°(0＜n＜120且n≠60)时,求∠MON的度数;
(3)∠COD从图(2)中的位置绕点O顺时针旋转n°(0＜n＜120且n≠60),直接写出所有使∠MON=2∠BOC的n的值.

6.【解】(1) 因为$∠AOM=\frac{1}{3}∠AOC$,$∠BON=\frac{1}{3}∠BOD$,所以$∠MOC=\frac{2}{3}∠AOC$.
由题意知,$∠MON = ∠MOB + ∠BON =\frac{2}{3}∠AOC+\frac{1}{3}∠BOD=\frac{2}{3}×120°+\frac{1}{3}×60°=80°+20°=100°$,故答案为 100.
(2)分情况讨论:
①当$0＜n＜60$时,如图(1),因为$∠BOC=n°$,所以$∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 120°-n°$,$∠BOD = ∠COD - ∠BOC = 60°-n°$,所以$∠MON = ∠MOC + ∠BOC + ∠BON=\frac{2}{3}(120°-n°)+n°+\frac{1}{3}(60°-n°)=100°$;

②当$60＜n＜120$时,如图(2),因为$∠BOC=n°$,所以$∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 120°-n°$,$∠BOD = ∠BOC - ∠DOC = n°-60°$,所以$∠MON = ∠MOC + ∠DOC + ∠DON=\frac{2}{3}(120°-n°)+60°+\frac{2}{3}(n°-60°)=100°$.

综上,$∠MON$的度数为$100°$.
(3)$n$的值为 50 或 70.
①当$0＜n＜60$时,如图(3). 因为$∠BOC=n°$,所以$∠MON=2∠BOC=2n°$,$∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 120°+n°$,$∠BOD = ∠BOC + ∠DOC = n°+60°$,所以$∠MON = ∠MOC + ∠DOC - ∠DON =\frac{2}{3}(120°+n°) +60° - \frac{2}{3}(n°+60°)=100°$,所以$2n°=100°$,所以$n=50$;

②当$60＜n＜120$时,如图(4). 因为$∠BOC=n°$,所以$∠MON=2∠BOC=2n°$,$∠AOC=360°-(∠AOB+∠BOC)=360°-(120°+n°)=240°-n°$,$∠BOD=∠BOC+∠DOC=n°+60°$,所以$∠MON=360°-∠AOM-∠AOB-∠BON=360°-\frac{1}{3}(240°-n°)-120°-\frac{1}{3}(60°+n°)=140°$,所以$2n°=140°$,所以$n=70$.

综上,$n$的值为 50 或 70.