8. 对于反比例函数$y=\frac{6}{x}$，当$x＞-2$时，$y$的取值范围是（）

A.$y＞-3$
B.$y＜-3$
C.$y＞0$或$y＜-3$
D.$0＞y＞-3$
能力提升 整合运用

8.C

【分析】
要解决这个问题，我们需要结合反比例函数的图象性质分析：首先反比例函数$y=\frac{6}{x}$的定义域是$x≠0$，因此给定$x＞-2$的范围要拆分为$x＞0$和$-2＜x＜0$两个区间分别讨论，再结合反比例函数的增减性求解对应区间内$y$的取值范围，最后合并结果即可。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{6}{x}$，其中$k=6＞0$，因此函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
分两种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，函数图象位于第一象限，此时所有的函数值$y$均大于0，即$y＞0$；
2. 当$-2＜x＜0$时，函数图象位于第三象限，先计算$x=-2$时的函数值：$y=\frac{6}{-2}=-3$。
因为在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，当$x$在$-2＜x＜0$范围内时，$x$大于$-2$，因此对应的函数值$y$小于$-3$，即$y＜-3$。
综上，$y$的取值范围是$y＞0$或$y＜-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质；分段讨论；函数取值范围求解
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题型，易错点是忽略反比例函数$x≠0$的限制，未拆分区间直接代入边界值计算导致错解，解题时只要注意到函数图象的间断性，分区间结合增减性分析即可正确求解。
【难度系数】
0.6

9.已知正比例函数$y=kx$($k$为常数，且$k＞0$)的图象与反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象交于$A(a,b)$，$B(c,d)$两点，则$ad+bc$的值为（）

A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{6}$
D.$-6$

9.D

【分析】
解题时先回忆正比例函数与反比例函数的交点特征：两类函数图象的两个交点关于原点对称，据此可得到B点坐标与A点坐标的关系；再结合反比例函数图象上点的坐标满足横纵坐标乘积等于比例系数的性质，将待求代数式用A点的横纵坐标表示后代入计算，即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=kx(k＞0)$与反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象交于$A(a,b)$、$B(c,d)$两点，
∴ 点A与点B关于原点对称，即$c=-a$，$d=-b$。
又
∵ 点$A(a,b)$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上，
∴ 将$A(a,b)$代入反比例函数解析式得$ab=3$。
将$c=-a$、$d=-b$代入$ad+bc$计算：
$\begin{aligned}ad+bc&=a·(-b)+b·(-a)\\&=-ab-ab\\&=-2ab\end{aligned}$
把$ab=3$代入上式得：$ad+bc=-2×3=-6$。
【答案】
D
【知识点】
1. 函数交点对称性
2. 反比例函数性质
3. 代数式求值
【点评】
本题是函数部分的常考基础题，解题关键是掌握正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的规律，结合反比例函数上点的横纵坐标乘积等于比例系数的性质即可快速求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

10. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形。若函数 $y=\frac{k}{x}$（$x＞0$）的图象经过点B，则满足 $y≥2$ 的x的取值范围为。

10.$0＜x≤2$

【分析】
解题思路如下：第一步，先根据正方形的面积求出正方形的边长，进而得到点B的坐标；第二步，将点B坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，得到完整的反比例函数表达式；第三步，结合x＞0的取值范围，解不等式y≥2，即可得到x的取值范围。
【解析】
1. 求正方形边长：已知四边形OABC是面积为4的正方形，设正方形边长为$a$，则$a^2=4$，解得$a=2$（边长为正数）。
2. 确定点B坐标：因为OA、OC为正方形的边，分别在x轴、y轴上，所以点B的横坐标和纵坐标都等于边长2，即$B(2,2)$。
3. 求反比例函数解析式：将$B(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，因此反比例函数为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
4. 解不等式求x范围：要求$y≥2$，即$\frac{4}{x}≥2$，因为$x＞0$，不等式两边同时乘$x$不等号方向不变，得$4≥2x$，解得$x≤2$。结合$x＞0$的前提，最终x的取值范围是$0＜x≤2$。
【答案】
$0＜x≤2$
【知识点】
正方形的性质；反比例函数解析式求解；反比例函数的性质
【点评】
本题属于基础题，结合正方形的性质考查反比例函数的相关应用，解题的关键是正确求出反比例函数的解析式，解不等式时注意不要忽略x＞0的隐含条件。
【难度系数】
0.8

11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,$AC=BC=5$,$AB⊥ x$轴于点$A$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$C$,交$AB$于点$D$.
(1)若$OA=8$,求$k$的值;
(2)若$BD=BC$,求点$D$的坐标.

思维拓展 强化素养

11.解:(1)过点C作$CE⊥AB$于点E.$∵AC=BC,∴AE=BE=\frac{1}{2}AB=4.∴CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=3.∵OA=8,∴$点C的横坐标为8-3=5.$∴C(5,4)$.把$C(5,4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$4=\frac{k}{5}$,解得$k=20$.(2)设点A的坐标为$(m,0)$.由(1),得点C的坐标为$(m-3,4)$.$∵BD=BC=5,AB=8,∴AD=AB-BD=3.∴$点D的坐标为$(m,3).∴3m=4(m-3)$,解得$m=12.∴$点D的坐标为$(12,3)$.

【分析】
(1) 求k的值需要先得到点C的坐标：已知△ABC为等腰三角形，可通过等腰三角形三线合一作AB边上的高CE，结合勾股定理算出CE、AE的长度，再结合OA=8的条件推出点C的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k。
(2) 求点D坐标可先设点A坐标为(m,0)，结合第一问的结论表示出点C的坐标；再由BD=BC的条件算出AD的长度，得到点D的坐标表达式；最后利用反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积等于k的性质列方程求解m，即可得到点D的坐标。
【解析】
(1) 过点C作$CE⊥AB$于点E。
$\because AC=BC$，$CE⊥AB$，$\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ ACE$中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
$\because OA=8$，$AB⊥x$轴，$\therefore$点A坐标为$(8,0)$，点C的横坐标为$8-3=5$，纵坐标为$4$，即$C(5,4)$。
把$C(5,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{5}$，解得$k=20$。
(2) 设点A的坐标为$(m,0)$，由(1)的结论可知，点C的横坐标为$m-3$，纵坐标为$4$，即$C(m-3,4)$。
$\because BD=BC=5$，$AB=8$，$\therefore AD=AB-BD=8-5=3$。
$\because$点D在AB上，AB垂直x轴，$\therefore$点D的坐标为$(m,3)$。
$\because$点C、D都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，$\therefore 3m=4(m-3)$。
解得$m=12$，即点D的坐标为$(12,3)$。
【答案】
(1)$k=20$；(2)$D(12,3)$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质求出相关线段长度，结合反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，侧重考查数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6

12. 实践探究 新趋势 用描点法探究函数 $y=\frac{6}{|x|}$ 的图象与性质，以下是探究过程，请将其补充完整。
(1)函数 $y=\frac{6}{|x|}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是，根据取值范围写出 $y$ 与 $x$ 的几组对应值，补全下面表格；

(2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)观察画出的函数图象，解答下列问题：
①当 $y=2$ 时，$x$ 的值是；
②请写出函数 $y=\frac{6}{|x|}$ 的图象的一条性质：。

12.解:(1)$x≠0$ 4 3 (2)如图所示.(3)①$\pm3$ ②图象关于y轴对称(答案不唯一,合理即可)

【分析】
解决本题可按以下思路思考：1. 求自变量取值范围时，根据分式有意义的条件“分母不为0”，结合分母是|x|，即可得到x的取值范围；求对应函数值时，将x的取值代入解析式，结合绝对值的运算即可算出y值。2. 画函数图象时，用平滑曲线分别连接第一、第二象限的描点即可，注意x不能为0，因此图象不与y轴相交。3. 求y=2时x的值，将y代入解析式解绝对值方程即可；归纳函数性质可从图象的对称性、增减性、所在象限等角度观察总结。
【解析】
(1) 若函数$y=\frac{6}{|x|}$有意义，则分母$|x|≠0$，即$x≠0$，因此自变量x的取值范围是$x≠0$；将对应x值代入解析式计算，可补全表格对应值为4、3。
(2) 用平滑曲线顺次连接第一象限内的所有描点，再顺次连接第二象限内的所有描点，注意曲线不与坐标轴相交，得到的图象即为所求，如图所示。
(3) ①将$y=2$代入$y=\frac{6}{|x|}$，可得$2=\frac{6}{|x|}$，解得$|x|=3$，因此$x=\pm3$。
②观察图象可发现，图象左右关于y轴对称，也可总结其他性质，如：当$x＞0$时，y随x的增大而减小；图象位于第一、二象限，y值恒大于0等，合理即可。
【答案】
(1)$x≠0$；4、3
(2)如图所示.
(3)①$\pm3$；②图象关于y轴对称(答案不唯一,合理即可)
【知识点】
分式有意义的条件；函数图象绘制；反比例函数的性质
【点评】
本题属于函数探究类基础题型，通过描点法探究带绝对值的反比例函数的图象与性质，既考查了自变量取值范围求解、函数值计算等基础知识点，也锻炼了学生动手绘图、观察归纳的能力。
【难度系数】
0.8