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1.如图,点 A 在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$AB⊥y$轴于点 B.若$S_{△ AOB}=10$,则 k 的值为 (
A.10 B.20 C.-20 D.-10
(第1题图) 
(变式题(1)图)
【变式题】直接运用基本模型→等积转化构建基本模型
(1)(淮南期末)如图,A是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上的一点,过点 A 作$AB⊥x$轴,垂足为 B,C 为 y 轴上的一点,连接 AC,BC.若$△ ABC$的面积为 6,则 k 的值是
(2)如图,反比例函数$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上有一点 P,$PA⊥x$轴于点 A,点 B 在 y 轴上,则$△ PAB$的面积为
(变式题(2)图) (变式题(3)图)
(3)如图,A是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上一点,过点 A 作$AB⊥y$轴于点 D,且 D 为线段 AB 的中点.若 C 为 x 轴上任意一点,且$S_{△ ABC}=4$,则 k 的值为
C
)A.10 B.20 C.-20 D.-10
(第1题图) (变式题(1)图)【变式题】直接运用基本模型→等积转化构建基本模型
(1)(淮南期末)如图,A是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上的一点,过点 A 作$AB⊥x$轴,垂足为 B,C 为 y 轴上的一点,连接 AC,BC.若$△ ABC$的面积为 6,则 k 的值是
-12
.(2)如图,反比例函数$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上有一点 P,$PA⊥x$轴于点 A,点 B 在 y 轴上,则$△ PAB$的面积为
1
. (变式题(2)图) (变式题(3)图)(3)如图,A是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上一点,过点 A 作$AB⊥y$轴于点 D,且 D 为线段 AB 的中点.若 C 为 x 轴上任意一点,且$S_{△ ABC}=4$,则 k 的值为
-4
.答案
1.C 【变式题】(1)-12 (2)1 (3)-4
解析
【分析】
解题核心是利用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。对于变式题中三角形顶点在坐标轴上的情况，可利用同底等高三角形面积相等，将所求三角形面积转化为和原点相关的标准三角形面积，再结合函数图象所在象限确定k的正负即可。
原题：先根据$△ AOB$的面积求出$|k|$，再结合象限确定k的符号。
变式(1)：利用同底等高将$△ ABC$的面积转化为$△ ABO$的面积，再求k。
变式(2)：将$△ PAB$的面积转化为$△ POA$的面积，直接代入k计算。
变式(3)：结合中点性质推导$△ ABC$面积和$|k|$的关系，再确定k的符号。
【解析】
原题
设点A坐标为$(x,y)$，$AB⊥ y$轴，因此$OB=|y|$，$AB=|x|$，则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=10$，可得$|xy|=20$。
因为点A在$y=\frac{k}{x}$上，故$k=xy$，即$|k|=20$。由图象可知函数图象在第二象限，$k＜0$，因此$k=-20$。
变式题(1)
设A点坐标为$(x,y)$，$AB⊥ x$轴，$△ ABC$和$△ ABO$同以AB为底，高均为$|x|$，因此$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}=\frac{1}{2}|k|=6$，得$|k|=12$。由图象可知函数在第二象限，$k＜0$，故$k=-12$。
变式题(2)
连接OP，$PA⊥ x$轴，$△ PAB$和$△ POA$同以PA为底，高均为A点的横坐标长度，因此$S_{△ PAB}=S_{△ POA}=\frac{1}{2}|k|$。代入$k=-2$，得面积为$\frac{1}{2}×|-2|=1$。
变式题(3)
设A点坐标为$(x,y)$，$AB⊥ y$轴，D为AB中点，因此$AB=2|x|$，$△ ABC$以AB为底，高为$|y|$，则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 2|x|×|y|=|xy|=4$。因为A在$y=\frac{k}{x}$上，$k=xy$，又$x＜0$，图象在第二象限，$k＜0$，故$k=-4$。
【答案】
1.C 【变式题】(1)-12 (2)1 (3)-4
【知识点】
反比例函数k的几何意义、同底等高三角形面积、坐标与图形性质
【点评】
本题组围绕反比例函数k的几何意义设计，核心是掌握标准面积模型，对于非标准结构的三角形，可通过等积转化为标准模型求解，解题时需注意结合函数所在象限判断k的符号，避免因忽略正负出错。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。对于变式题中三角形顶点在坐标轴上的情况，可利用同底等高三角形面积相等，将所求三角形面积转化为和原点相关的标准三角形面积，再结合函数图象所在象限确定k的正负即可。
原题：先根据$△ AOB$的面积求出$|k|$，再结合象限确定k的符号。
变式(1)：利用同底等高将$△ ABC$的面积转化为$△ ABO$的面积，再求k。
变式(2)：将$△ PAB$的面积转化为$△ POA$的面积，直接代入k计算。
变式(3)：结合中点性质推导$△ ABC$面积和$|k|$的关系，再确定k的符号。
【解析】
原题
设点A坐标为$(x,y)$，$AB⊥ y$轴，因此$OB=|y|$，$AB=|x|$，则$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|=10$，可得$|xy|=20$。
因为点A在$y=\frac{k}{x}$上，故$k=xy$，即$|k|=20$。由图象可知函数图象在第二象限，$k＜0$，因此$k=-20$。
变式题(1)
设A点坐标为$(x,y)$，$AB⊥ x$轴，$△ ABC$和$△ ABO$同以AB为底，高均为$|x|$，因此$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}=\frac{1}{2}|k|=6$，得$|k|=12$。由图象可知函数在第二象限，$k＜0$，故$k=-12$。
变式题(2)
连接OP，$PA⊥ x$轴，$△ PAB$和$△ POA$同以PA为底，高均为A点的横坐标长度，因此$S_{△ PAB}=S_{△ POA}=\frac{1}{2}|k|$。代入$k=-2$，得面积为$\frac{1}{2}×|-2|=1$。
变式题(3)
设A点坐标为$(x,y)$，$AB⊥ y$轴，D为AB中点，因此$AB=2|x|$，$△ ABC$以AB为底，高为$|y|$，则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 2|x|×|y|=|xy|=4$。因为A在$y=\frac{k}{x}$上，$k=xy$，又$x＜0$，图象在第二象限，$k＜0$，故$k=-4$。
【答案】
1.C 【变式题】(1)-12 (2)1 (3)-4
【知识点】
反比例函数k的几何意义、同底等高三角形面积、坐标与图形性质
【点评】
本题组围绕反比例函数k的几何意义设计，核心是掌握标准面积模型，对于非标准结构的三角形，可通过等积转化为标准模型求解，解题时需注意结合函数所在象限判断k的符号，避免因忽略正负出错。
【难度系数】
0.7
2.如图，$□ ABCD$的顶点A在函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，其余顶点均在坐标轴上，则$□ ABCD$的面积为
（第2题图）
（第3题图）
3
。（第2题图）
（第3题图）
答案
2.3
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，AB平行于x轴，平行四边形的底边CD位于x轴上，我们可以先设出反比例函数上点A的坐标，利用反比例函数解析式得到点A横、纵坐标的乘积，再结合平行四边形面积公式，将面积用点A的横纵坐标表示，整体代入即可求出面积，不需要计算具体的坐标值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵点A在函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$A(a,b)$代入解析式得$b=\frac{3}{a}$，即$ab=3$。
由图可知$AB// x$轴，点B在y轴上，因此AB的长度为$a$，
平行四边形ABCD的高等于点A的纵坐标$b$（即AB与x轴的垂直距离），
根据平行四边形面积公式$S=底×高$，可得：
$S_{□ ABCD}=AB× b=a· b=3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数k的几何意义；平行四边形的面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题，解题关键是找到平行四边形面积与反比例函数中k的几何意义的关联，利用整体代入的思想简化计算，避免了求解坐标的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，AB平行于x轴，平行四边形的底边CD位于x轴上，我们可以先设出反比例函数上点A的坐标，利用反比例函数解析式得到点A横、纵坐标的乘积，再结合平行四边形面积公式，将面积用点A的横纵坐标表示，整体代入即可求出面积，不需要计算具体的坐标值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
∵点A在函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$A(a,b)$代入解析式得$b=\frac{3}{a}$，即$ab=3$。
由图可知$AB// x$轴，点B在y轴上，因此AB的长度为$a$，
平行四边形ABCD的高等于点A的纵坐标$b$（即AB与x轴的垂直距离），
根据平行四边形面积公式$S=底×高$，可得：
$S_{□ ABCD}=AB× b=a· b=3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数k的几何意义；平行四边形的面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题，解题关键是找到平行四边形面积与反比例函数中k的几何意义的关联，利用整体代入的思想简化计算，避免了求解坐标的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
3.如图，P是双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上的一点，A，B是x轴正半轴上不同的两点，连接AP，BP，OP.已知$OA:AB=1:2$，$AP=BP$，$△ AOP$的面积为3，则k的值为
12
.答案
3.12
解析
【分析】
解题时首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点P作x轴的垂线得到AB的中点，再结合OA:AB=1:2的比例关系，推导出点P的横坐标与OA的数量关系；再结合△AOP的面积，求出OA与P点纵坐标的乘积，最后利用反比例函数中k=xy的关系即可求出k值。
【解析】
过点P作PC⊥x轴于点C。
∵AP=BP，PC⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB（等腰三角形三线合一）。
∵OA:AB=1:2，
∴AB=2OA，
∴AC=OA。
设OA的长度为m，则AC=m，
∴点P的横坐标OC=OA+AC=m+m=2m。
已知△AOP的面积为3，△AOP的高为PC（即点P的纵坐标），
∴$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× PC=\frac{1}{2}× m× PC=3$，
整理得$m· PC=6$。
∵点P在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上，
∴$k=x· y=OC× PC=2m× PC=2×(m· PC)=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质，反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，解题的关键是通过作辅助线，结合等腰三角形的性质找到P点横纵坐标相关量和已知面积的关系，求解过程体现了数形结合的思想，掌握反比例函数中k的相关应用是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点P作x轴的垂线得到AB的中点，再结合OA:AB=1:2的比例关系，推导出点P的横坐标与OA的数量关系；再结合△AOP的面积，求出OA与P点纵坐标的乘积，最后利用反比例函数中k=xy的关系即可求出k值。
【解析】
过点P作PC⊥x轴于点C。
∵AP=BP，PC⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB（等腰三角形三线合一）。
∵OA:AB=1:2，
∴AB=2OA，
∴AC=OA。
设OA的长度为m，则AC=m，
∴点P的横坐标OC=OA+AC=m+m=2m。
已知△AOP的面积为3，△AOP的高为PC（即点P的纵坐标），
∴$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× PC=\frac{1}{2}× m× PC=3$，
整理得$m· PC=6$。
∵点P在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上，
∴$k=x· y=OC× PC=2m× PC=2×(m· PC)=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质，反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，解题的关键是通过作辅助线，结合等腰三角形的性质找到P点横纵坐标相关量和已知面积的关系，求解过程体现了数形结合的思想，掌握反比例函数中k的相关应用是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.65
4.(无为期末)如图,已知菱形OABC,点C在x轴正半轴上,∠AOC=60°,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A,交BC边于点D.若△AOD的面积为2,则k的值为
2
.答案
4.2
解析
【分析】
解题时先利用菱形对边平行的性质，推出△AOD和△AOC同底等高、面积相等，得到△AOC的面积为2；再设点A的坐标，结合∠AOC=60°表示出OC的长度，最后用三角形面积公式建立面积与k的等量关系，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵四边形OABC是菱形，
∴$OA// BC$，$OC=OA$，
∴点D到OA的距离等于点C到OA的距离，
∴$S_{△ AOC}=S_{△ AOD}=2$（同底等高的三角形面积相等）。
过点A作$AE⊥ OC$于点E，设点A的坐标为$(x,\frac{k}{x})$，则AE为点A的纵坐标，即$AE=\frac{k}{x}$。
在$Rt△ AOE$中，$∠ AOC=60°$，
∴$OA=\frac{OE}{\cos60°}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$，
∴$OC=OA=2x$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× AE=\frac{1}{2}× 2x× \frac{k}{x}=k$，
∵$S_{△ AOC}=2$，
∴$k=2$。
【答案】
2
【知识点】
菱形的性质，反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与菱形的综合题型，核心是利用平行线间距离相等完成面积转化，简化计算，同时结合三角函数和反比例函数坐标特征建立等量关系，是反比例函数的常见考法。
【难度系数】
0.6
解题时先利用菱形对边平行的性质，推出△AOD和△AOC同底等高、面积相等，得到△AOC的面积为2；再设点A的坐标，结合∠AOC=60°表示出OC的长度，最后用三角形面积公式建立面积与k的等量关系，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵四边形OABC是菱形，
∴$OA// BC$，$OC=OA$，
∴点D到OA的距离等于点C到OA的距离，
∴$S_{△ AOC}=S_{△ AOD}=2$（同底等高的三角形面积相等）。
过点A作$AE⊥ OC$于点E，设点A的坐标为$(x,\frac{k}{x})$，则AE为点A的纵坐标，即$AE=\frac{k}{x}$。
在$Rt△ AOE$中，$∠ AOC=60°$，
∴$OA=\frac{OE}{\cos60°}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$，
∴$OC=OA=2x$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× AE=\frac{1}{2}× 2x× \frac{k}{x}=k$，
∵$S_{△ AOC}=2$，
∴$k=2$。
【答案】
2
【知识点】
菱形的性质，反比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与菱形的综合题型，核心是利用平行线间距离相等完成面积转化，简化计算，同时结合三角函数和反比例函数坐标特征建立等量关系，是反比例函数的常见考法。
【难度系数】
0.6
5. 双空题 安徽热点 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交BC于点D，交AB于点E。
(1)$△ DOC$与$△ AOE$的面积关系是
(2)若$BD=2CD$，$S_{四边形ODBE}=6$，则k的值是
(1)$△ DOC$与$△ AOE$的面积关系是
相等
；(2)若$BD=2CD$，$S_{四边形ODBE}=6$，则k的值是
3
。答案
5.(1)相等 (2)3
解析
【分析】
(1) 解题思路：回忆反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，所得直角三角形的面积均为$\frac{1}{2}|k|$，据此可直接判断两个三角形的面积关系。
(2) 解题思路：设出D点坐标，结合BD=2CD表示出矩形OABC的长和宽，利用矩形面积减去两个直角三角形的面积等于四边形ODBE的面积，建立关于k的方程求解即可。
【解析】
(1)
∵点D、E都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。
∴$S_{△ DOC}=\frac{1}{2}|k|$，$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}|k|$，
又
∵$x＞0$，反比例函数图象在第一象限，
∴$k＞0$，
∴$S_{△ DOC}=S_{△ AOE}$，即二者面积相等。
(2) 设点D的坐标为$(a,b)$，
∵点D在反比例函数图象上，
∴$k=ab$，即$S_{△ DOC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}k$。
∵$BD=2CD$，
∴$BC=CD+BD=3CD=3a$，
∵四边形OABC是矩形，
∴$OA=BC=3a$，$AB=OC=b$，
矩形OABC的面积为$OA· OC=3a· b=3ab=3k$。
同理点E在AB上，横坐标为$3a$，代入反比例函数得E点纵坐标为$\frac{k}{3a}=\frac{ab}{3a}=\frac{b}{3}$，
∴$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}×3a×\frac{b}{3}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}k$。
已知$S_{四边形ODBE}=6$，根据面积和差关系：
$S_{矩形OABC}-S_{△ DOC}-S_{△ AOE}=S_{四边形ODBE}$
代入得：$3k-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k=6$
化简得：$2k=6$，解得$k=3$。
【答案】
(1) 相等；(2) 3
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 矩形的性质
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，重点考查反比例函数k的几何意义的应用，通过面积的和差关系建立方程是解题的关键，能很好地考察数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：回忆反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，所得直角三角形的面积均为$\frac{1}{2}|k|$，据此可直接判断两个三角形的面积关系。
(2) 解题思路：设出D点坐标，结合BD=2CD表示出矩形OABC的长和宽，利用矩形面积减去两个直角三角形的面积等于四边形ODBE的面积，建立关于k的方程求解即可。
【解析】
(1)
∵点D、E都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。
∴$S_{△ DOC}=\frac{1}{2}|k|$，$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}|k|$，
又
∵$x＞0$，反比例函数图象在第一象限，
∴$k＞0$，
∴$S_{△ DOC}=S_{△ AOE}$，即二者面积相等。
(2) 设点D的坐标为$(a,b)$，
∵点D在反比例函数图象上，
∴$k=ab$，即$S_{△ DOC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}k$。
∵$BD=2CD$，
∴$BC=CD+BD=3CD=3a$，
∵四边形OABC是矩形，
∴$OA=BC=3a$，$AB=OC=b$，
矩形OABC的面积为$OA· OC=3a· b=3ab=3k$。
同理点E在AB上，横坐标为$3a$，代入反比例函数得E点纵坐标为$\frac{k}{3a}=\frac{ab}{3a}=\frac{b}{3}$，
∴$S_{△ AOE}=\frac{1}{2}×3a×\frac{b}{3}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}k$。
已知$S_{四边形ODBE}=6$，根据面积和差关系：
$S_{矩形OABC}-S_{△ DOC}-S_{△ AOE}=S_{四边形ODBE}$
代入得：$3k-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k=6$
化简得：$2k=6$，解得$k=3$。
【答案】
(1) 相等；(2) 3
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 矩形的性质
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，重点考查反比例函数k的几何意义的应用，通过面积的和差关系建立方程是解题的关键，能很好地考察数形结合思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
