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1 [2025唐山期末]如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上(都不与顶点重合),EF//BC,连接DE.添加下列一个条件,仍无法判定△AEF与△BDE相似的是(
A.$BD=DC$
B.$DE// AC$
C.$\frac{AE}{BD}=\frac{EF}{BE}$
D.$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{BD}$
A
)A.$BD=DC$
B.$DE// AC$
C.$\frac{AE}{BD}=\frac{EF}{BE}$
D.$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{BD}$
答案
1. A
解析
【分析】
首先由已知EF//BC，可得同位角∠AEF=∠B，这是△AEF和△BDE已经具备的一组相等的角。要判定两个三角形相似，可结合相似三角形的判定定理：要么再找一组相等的角（AA判定），要么找夹这组等角的两组边对应成比例（SAS判定），也可通过相似的传递性判定。接下来逐一分析每个选项的条件是否能满足上述判定要求即可。
【解析】
已知EF//BC，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠AEF=∠B。
对选项B：若DE//AC，则∠BED=∠A（两直线平行，同位角相等）。在△AEF和△BDE中，∠A=∠BED，∠AEF=∠B，根据AA判定，可得△AEF∽△BDE，故B不符合题意。
对选项C：若$\frac{AE}{BD}=\frac{EF}{BE}$，又已知∠AEF=∠B，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△AEF∽△BDE，故C不符合题意。
对选项D：若$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{BD}$，又∠B是△BDE和△BCA的公共角，根据SAS判定可得△BDE∽△BCA；又由EF//BC可得△AEF∽△BCA，根据相似的传递性，可得△AEF∽△BDE，故D不符合题意。
对选项A：BD=DC仅说明D是BC的中点，无法推出△AEF和△BDE存在另一组相等的角，也无法推出夹∠AEF、∠B的边对应成比例，因此无法判定两个三角形相似，故A符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似的传递性
【点评】
本题围绕相似三角形的判定设置，解题的突破口是先由平行线得到一组公共的等角，再结合各选项条件对照相似判定定理逐一验证，解题时要注意SAS判定中“夹角相等”的要求，避免搞错对应边和对应角。
【难度系数】
0.7
首先由已知EF//BC，可得同位角∠AEF=∠B，这是△AEF和△BDE已经具备的一组相等的角。要判定两个三角形相似，可结合相似三角形的判定定理：要么再找一组相等的角（AA判定），要么找夹这组等角的两组边对应成比例（SAS判定），也可通过相似的传递性判定。接下来逐一分析每个选项的条件是否能满足上述判定要求即可。
【解析】
已知EF//BC，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠AEF=∠B。
对选项B：若DE//AC，则∠BED=∠A（两直线平行，同位角相等）。在△AEF和△BDE中，∠A=∠BED，∠AEF=∠B，根据AA判定，可得△AEF∽△BDE，故B不符合题意。
对选项C：若$\frac{AE}{BD}=\frac{EF}{BE}$，又已知∠AEF=∠B，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△AEF∽△BDE，故C不符合题意。
对选项D：若$\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{BD}$，又∠B是△BDE和△BCA的公共角，根据SAS判定可得△BDE∽△BCA；又由EF//BC可得△AEF∽△BCA，根据相似的传递性，可得△AEF∽△BDE，故D不符合题意。
对选项A：BD=DC仅说明D是BC的中点，无法推出△AEF和△BDE存在另一组相等的角，也无法推出夹∠AEF、∠B的边对应成比例，因此无法判定两个三角形相似，故A符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似的传递性
【点评】
本题围绕相似三角形的判定设置，解题的突破口是先由平行线得到一组公共的等角，再结合各选项条件对照相似判定定理逐一验证，解题时要注意SAS判定中“夹角相等”的要求，避免搞错对应边和对应角。
【难度系数】
0.7
2 [2025南通通州期末]如图，$△ ABC$的高AD，BE相交于点O，写出一个与$△ AOE$相似的三角形，则这个三角形可以是
$△ BOD$(或$△ CBE$或$△ ACD$)
。答案
2. $△ BOD$(或$△ CBE$或$△ ACD$)
解析
【分析】
要找出与△AOE相似的三角形，首先明确△AOE的特征：BE是△ABC的高，因此△AOE是直角三角形，∠AEO=90°。根据相似三角形的两角对应相等（AA）判定定理，只需找到另一个直角三角形，且和△AOE有一组锐角相等即可：
1. 从对顶角角度：∠AOE与∠BOD是对顶角，二者相等，△BOD是直角三角形，符合要求；
2. 从公共角角度：∠OAE是△AOE和△ACD的公共角，△ACD是直角三角形，符合要求；
3. 从同角的余角角度：∠OAE和∠CBE都是∠C的余角，二者相等，△CBE是直角三角形，符合要求。
【解析】
解：
∵AD、BE是△ABC的高
∴∠AEO=∠BEC=∠BDO=∠ADC=90°
① 若选△BOD：
∠AOE=∠BOD（对顶角相等），∠AEO=∠BDO=90°
∴△AOE∽△BOD（两角分别相等的两个三角形相似）
② 若选△ACD：
∠OAE=∠CAD（公共角），∠AEO=∠ADC=90°
∴△AOE∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）
③ 若选△CBE：
∵∠OAE+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°
∴∠OAE=∠CBE（同角的余角相等）
又∠AEO=∠BEC=90°
∴△AOE∽△CBE（两角分别相等的两个三角形相似）
综上，任选其一即可。
【答案】
△BOD（或△CBE或△ACD）
【知识点】
相似三角形判定，直角三角形性质，对顶角相等
【点评】
本题为开放性基础题，解题核心是利用高得到直角，再结合公共角、对顶角、同角的余角相等的性质找到第二组相等的角，运用两角分别相等的相似判定定理即可求解，解题时可多思考所有可能的相似三角形，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要找出与△AOE相似的三角形，首先明确△AOE的特征：BE是△ABC的高，因此△AOE是直角三角形，∠AEO=90°。根据相似三角形的两角对应相等（AA）判定定理，只需找到另一个直角三角形，且和△AOE有一组锐角相等即可：
1. 从对顶角角度：∠AOE与∠BOD是对顶角，二者相等，△BOD是直角三角形，符合要求；
2. 从公共角角度：∠OAE是△AOE和△ACD的公共角，△ACD是直角三角形，符合要求；
3. 从同角的余角角度：∠OAE和∠CBE都是∠C的余角，二者相等，△CBE是直角三角形，符合要求。
【解析】
解：
∵AD、BE是△ABC的高
∴∠AEO=∠BEC=∠BDO=∠ADC=90°
① 若选△BOD：
∠AOE=∠BOD（对顶角相等），∠AEO=∠BDO=90°
∴△AOE∽△BOD（两角分别相等的两个三角形相似）
② 若选△ACD：
∠OAE=∠CAD（公共角），∠AEO=∠ADC=90°
∴△AOE∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）
③ 若选△CBE：
∵∠OAE+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°
∴∠OAE=∠CBE（同角的余角相等）
又∠AEO=∠BEC=90°
∴△AOE∽△CBE（两角分别相等的两个三角形相似）
综上，任选其一即可。
【答案】
△BOD（或△CBE或△ACD）
【知识点】
相似三角形判定，直角三角形性质，对顶角相等
【点评】
本题为开放性基础题，解题核心是利用高得到直角，再结合公共角、对顶角、同角的余角相等的性质找到第二组相等的角，运用两角分别相等的相似判定定理即可求解，解题时可多思考所有可能的相似三角形，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3 [2025 南京玄武期末]如图,在$△ ABC$中,点$E,O,F$在$BC$边上,点$D$在$OA$上,且$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}$,$DF // AC$,连接$DE$. 求证:$△ DEF ∽ △ ABC$.
答案
3. $\because ∠ DOE = ∠ AOB, \frac{OD}{OA} = \frac{OE}{OB}, \therefore △ DOE ∽ △ AOB.$
$\therefore ∠ DEO = ∠ B. \because DF // AC, \therefore ∠ DFE = ∠ C. \therefore △ DEF ∽ △ ABC$
$\therefore ∠ DEO = ∠ B. \because DF // AC, \therefore ∠ DFE = ∠ C. \therefore △ DEF ∽ △ ABC$
解析
【分析】
要证明$△ DEF ∽ △ ABC$，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先由$DF // AC$，根据平行线的性质可得到一组对应角$∠ DFE = ∠ C$；再结合已知比例式$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}$和对顶角相等的性质，可先证明$△ DOE ∽ △ AOB$，得到另一组对应角$∠ DEO = ∠ B$，两组对应角分别相等即可证得结论。
【解析】
证明：
$\because ∠ DOE$和$∠ AOB$是对顶角，
$\therefore ∠ DOE = ∠ AOB$，
又$\because \frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}$，
$\therefore △ DOE ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ DEO = ∠ B$（相似三角形的对应角相等）。
$\because DF // AC$，
$\therefore ∠ DFE = ∠ C$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ DEF$和$△ ABC$中，$∠ DEO = ∠ B$，$∠ DFE = ∠ C$，
$\therefore △ DEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
$\because ∠ DOE = ∠ AOB, \frac{OD}{OA} = \frac{OE}{OB}, \therefore △ DOE ∽ △ AOB.$
$\therefore ∠ DEO = ∠ B. \because DF // AC, \therefore ∠ DFE = ∠ C. \therefore △ DEF ∽ △ ABC$
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础常考题，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定定理，先通过边的比例关系证明中间三角形相似得到等角，再结合平行线的性质得到另一组等角，最终完成证明，解题时需注意对应角的对应关系。
【难度系数】
0.7
要证明$△ DEF ∽ △ ABC$，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先由$DF // AC$，根据平行线的性质可得到一组对应角$∠ DFE = ∠ C$；再结合已知比例式$\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}$和对顶角相等的性质，可先证明$△ DOE ∽ △ AOB$，得到另一组对应角$∠ DEO = ∠ B$，两组对应角分别相等即可证得结论。
【解析】
证明：
$\because ∠ DOE$和$∠ AOB$是对顶角，
$\therefore ∠ DOE = ∠ AOB$，
又$\because \frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}$，
$\therefore △ DOE ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ DEO = ∠ B$（相似三角形的对应角相等）。
$\because DF // AC$，
$\therefore ∠ DFE = ∠ C$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ DEF$和$△ ABC$中，$∠ DEO = ∠ B$，$∠ DFE = ∠ C$，
$\therefore △ DEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
$\because ∠ DOE = ∠ AOB, \frac{OD}{OA} = \frac{OE}{OB}, \therefore △ DOE ∽ △ AOB.$
$\therefore ∠ DEO = ∠ B. \because DF // AC, \therefore ∠ DFE = ∠ C. \therefore △ DEF ∽ △ ABC$
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础常考题，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定定理，先通过边的比例关系证明中间三角形相似得到等角，再结合平行线的性质得到另一组等角，最终完成证明，解题时需注意对应角的对应关系。
【难度系数】
0.7
4 如图,在菱形ABCD中,点E在BC边上,连接AE并延长,交DC的延长线于点F.若$CE:AD=1:4$,$CF=2$,则菱形ABCD的周长为（
A.30
B.24
C.18
D.12
（第4题）
B
）A.30
B.24
C.18
D.12
（第4题）答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先利用菱形的性质：菱形四条边相等、对边平行，可得CE与AD平行，进而推出△FCE和△FDA相似；已知CE与AD的比为1:4，即两个三角形的相似比，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合CF的长度，设菱形边长为未知数列比例式求解，最后计算菱形周长即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=BC，且AD//BC，
∴CE//AD，
∴∠FCE=∠D，∠FEC=∠FAD，
∴△FCE∽△FDA（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{CF}{FD}$。
设菱形ABCD的边长为$x$，则AD=CD=$x$，FD=CD+CF=$x+2$，
结合已知$CE:AD=1:4$，CF=2，代入比例式得：
$\frac{1}{4}=\frac{2}{x+2}$，
解得$x=6$，
∴菱形ABCD的周长为$4×6=24$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何综合基础题，解题的核心是结合菱形对边平行的性质找到相似三角形，再利用相似比建立方程求解边长，既考察了基础几何性质的应用，也考察了方程思想在几何计算中的运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用菱形的性质：菱形四条边相等、对边平行，可得CE与AD平行，进而推出△FCE和△FDA相似；已知CE与AD的比为1:4，即两个三角形的相似比，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合CF的长度，设菱形边长为未知数列比例式求解，最后计算菱形周长即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=BC，且AD//BC，
∴CE//AD，
∴∠FCE=∠D，∠FEC=∠FAD，
∴△FCE∽△FDA（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{CF}{FD}$。
设菱形ABCD的边长为$x$，则AD=CD=$x$，FD=CD+CF=$x+2$，
结合已知$CE:AD=1:4$，CF=2，代入比例式得：
$\frac{1}{4}=\frac{2}{x+2}$，
解得$x=6$，
∴菱形ABCD的周长为$4×6=24$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何综合基础题，解题的核心是结合菱形对边平行的性质找到相似三角形，再利用相似比建立方程求解边长，既考察了基础几何性质的应用，也考察了方程思想在几何计算中的运用。
【难度系数】
0.7
5 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，则涂色部分的面积为
$\frac{16}{3}$
。答案
5. $\frac{16}{3}$
解析
【分析】
要计算涂色三角形的面积，我们可以先确定其底边长，再求出对应底边上的高。首先观察图形可知，涂色三角形的底边在方格纸最下方，长度为4，接下来只需要求出两条斜线交点到底边的距离（即三角形的高）即可。我们可以利用相似三角形对应边成比例的性质求解高：先找到两个相似的直角三角形，通过对应边的比例关系列方程求出高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，涂色三角形的两个底角顶点分别为$O(0,0)$、$B(4,0)$，两条斜线的交点为$P$，过$P$作$PQ⊥ OB$于点$Q$，$PQ$即为涂色三角形的高，记为$h$。
1. 由左边斜线过$O(0,0)$和点$(4,4)$，可知$∠ POQ=45°$，因此$OQ=PQ=h$，故$QB=OB-OQ=4-h$。
2. 观察可得$△ PQB$和$△ BDC$相似（其中$D$为$(4,4)$，$C$为$(2,4)$，$△ BDC$是直角三角形，$CD=2$，$BD=4$）：
$∠ PQB=∠ BDC=90°$，$∠ PBQ=∠ BCD$，根据两角对应相等的两个三角形相似，得$△ PQB∽△ BDC$。
3. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{PQ}{BD}=\frac{QB}{CD}$，代入已知值：
$\frac{h}{4}=\frac{4-h}{2}$
解方程：$2h=4(4-h)$
$2h=16-4h$
$6h=16$
$h=\frac{8}{3}$
4. 代入三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×4×\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$。
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题主要考查利用相似三角形的性质求解图形面积，解题的关键是找到相似三角形，利用比例关系求出三角形的高，需要注意相似三角形对应边的对应关系不要出错。
【难度系数】
0.65
要计算涂色三角形的面积，我们可以先确定其底边长，再求出对应底边上的高。首先观察图形可知，涂色三角形的底边在方格纸最下方，长度为4，接下来只需要求出两条斜线交点到底边的距离（即三角形的高）即可。我们可以利用相似三角形对应边成比例的性质求解高：先找到两个相似的直角三角形，通过对应边的比例关系列方程求出高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，涂色三角形的两个底角顶点分别为$O(0,0)$、$B(4,0)$，两条斜线的交点为$P$，过$P$作$PQ⊥ OB$于点$Q$，$PQ$即为涂色三角形的高，记为$h$。
1. 由左边斜线过$O(0,0)$和点$(4,4)$，可知$∠ POQ=45°$，因此$OQ=PQ=h$，故$QB=OB-OQ=4-h$。
2. 观察可得$△ PQB$和$△ BDC$相似（其中$D$为$(4,4)$，$C$为$(2,4)$，$△ BDC$是直角三角形，$CD=2$，$BD=4$）：
$∠ PQB=∠ BDC=90°$，$∠ PBQ=∠ BCD$，根据两角对应相等的两个三角形相似，得$△ PQB∽△ BDC$。
3. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{PQ}{BD}=\frac{QB}{CD}$，代入已知值：
$\frac{h}{4}=\frac{4-h}{2}$
解方程：$2h=4(4-h)$
$2h=16-4h$
$6h=16$
$h=\frac{8}{3}$
4. 代入三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×4×\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$。
【答案】
$\frac{16}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题主要考查利用相似三角形的性质求解图形面积，解题的关键是找到相似三角形，利用比例关系求出三角形的高，需要注意相似三角形对应边的对应关系不要出错。
【难度系数】
0.65
6 [2025洛阳洛宁期末]将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则$\frac{BE}{EC}$的值是
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
。答案
6. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
首先根据三角板的直角特征可得$AB// CD$，进而可证明$△ ABE∽△ DCE$，根据相似三角形的性质可得$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}$，接下来设$AC$的长度为参数，分别利用等腰直角三角形的性质和$30°$角的三角函数值表示出$AB$、$CD$的长度，代入比值化简即可得到结果。
【解析】
解：由三角板的性质可知，$∠ BAC=∠ ACD=90°$，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ B=∠ ECD$，$∠ BAE=∠ D$，
$\therefore △ ABE ∽ △ DCE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}$。
设$AC=AB=a$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ D=30°$，
$\because \tan D=\frac{AC}{CD}$，即$\tan30°=\frac{a}{CD}$，
$\therefore CD=\frac{a}{\tan30°}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}a$，
$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合三角板的特征考查相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似，将所求线段比转化为三角板边长的比，再结合特殊角的三角函数值计算即可。
【难度系数】
0.7
首先根据三角板的直角特征可得$AB// CD$，进而可证明$△ ABE∽△ DCE$，根据相似三角形的性质可得$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}$，接下来设$AC$的长度为参数，分别利用等腰直角三角形的性质和$30°$角的三角函数值表示出$AB$、$CD$的长度，代入比值化简即可得到结果。
【解析】
解：由三角板的性质可知，$∠ BAC=∠ ACD=90°$，
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ B=∠ ECD$，$∠ BAE=∠ D$，
$\therefore △ ABE ∽ △ DCE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}$。
设$AC=AB=a$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ D=30°$，
$\because \tan D=\frac{AC}{CD}$，即$\tan30°=\frac{a}{CD}$，
$\therefore CD=\frac{a}{\tan30°}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}a$，
$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合三角板的特征考查相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似，将所求线段比转化为三角板边长的比，再结合特殊角的三角函数值计算即可。
【难度系数】
0.7
7 [2025 邯郸期末]如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AC，BD相交于点E，点F在边AB上，连接CF，交线段BE于点G，$CG^2=GE·GD$，连接EF。求证：
(1) $∠ ABD=∠ ACF$；
(2) $FE·CG=EG·BC$。
(1) $∠ ABD=∠ ACF$；
(2) $FE·CG=EG·BC$。
答案
7. (1) $\because CG^2 = GE · GD, \therefore \frac{CG}{GE} = \frac{GD}{CG}.$ 又$\because ∠ CGD = ∠ EGC, \therefore △ GCD ∽ △ GEC. \therefore ∠ GDC = ∠ GCE. \because AB // CD, \therefore ∠ ABD = ∠ BDC. \therefore ∠ ABD = ∠ ACF$
(2) 由(1),知$∠ FBG = ∠ ECG,$又$\because ∠ BGF = ∠ CGE, \therefore △ BGF ∽ △ CGE.$
$\therefore \frac{FG}{EG} = \frac{BG}{CG}, 即\frac{FG}{BG} = \frac{EG}{CG}.$ 又$\because ∠ FGE = ∠ BGC, \therefore △ FGE ∽ △ BGC. \therefore \frac{FE}{BC} = \frac{EG}{CG}. \therefore FE · CG = EG · BC$
(2) 由(1),知$∠ FBG = ∠ ECG,$又$\because ∠ BGF = ∠ CGE, \therefore △ BGF ∽ △ CGE.$
$\therefore \frac{FG}{EG} = \frac{BG}{CG}, 即\frac{FG}{BG} = \frac{EG}{CG}.$ 又$\because ∠ FGE = ∠ BGC, \therefore △ FGE ∽ △ BGC. \therefore \frac{FE}{BC} = \frac{EG}{CG}. \therefore FE · CG = EG · BC$
解析
【分析】
(1) 要证∠ABD=∠ACF，首先将已知等积式$CG^2=GE·GD$转化为比例式，结合公共角相等证明$△ GCD ∽ △ GEC$，得到对应角相等；再利用平行线的内错角相等性质，通过等量代换即可得证。
(2) 要证$FE·CG=EG·BC$，可先转化为证明比例式$\frac{FE}{BC}=\frac{EG}{CG}$，即需证$△ FGE ∽ △ BGC$。先利用(1)的角相等结论，结合对顶角相等证明$△ BGF ∽ △ CGE$，得到对应边成比例，转换比例后结合对顶角相等即可证得$△ FGE ∽ △ BGC$，再利用相似三角形的性质推导即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because CG^2 = GE · GD$，
$\therefore \frac{CG}{GE} = \frac{GD}{CG}$。
又$\because ∠CGD = ∠EGC$（公共角相等），
$\therefore △ GCD ∽ △ GEC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠GDC = ∠GCE$（相似三角形对应角相等）。
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ABD = ∠BDC$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ABD = ∠ACF$。
(2) 证明：
由(1)得$∠FBG = ∠ECG$，
又$\because ∠BGF = ∠CGE$（对顶角相等），
$\therefore △ BGF ∽ △ CGE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{FG}{EG} = \frac{BG}{CG}$，即$\frac{FG}{BG} = \frac{EG}{CG}$。
又$\because ∠FGE = ∠BGC$（对顶角相等），
$\therefore △ FGE ∽ △ BGC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{FE}{BC} = \frac{EG}{CG}$（相似三角形对应边成比例），
$\therefore FE · CG = EG · BC$。
【答案】
(1) $∠ ABD=∠ ACF$得证；
(2) $FE·CG=EG·BC$得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型证明题，解题关键是灵活转换等积式和比例式，结合公共角、对顶角、平行线的性质寻找角的等量关系，逐步推导三角形相似，对学生的逻辑推理能力有一定要求，掌握相似三角形的判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.6
(1) 要证∠ABD=∠ACF，首先将已知等积式$CG^2=GE·GD$转化为比例式，结合公共角相等证明$△ GCD ∽ △ GEC$，得到对应角相等；再利用平行线的内错角相等性质，通过等量代换即可得证。
(2) 要证$FE·CG=EG·BC$，可先转化为证明比例式$\frac{FE}{BC}=\frac{EG}{CG}$，即需证$△ FGE ∽ △ BGC$。先利用(1)的角相等结论，结合对顶角相等证明$△ BGF ∽ △ CGE$，得到对应边成比例，转换比例后结合对顶角相等即可证得$△ FGE ∽ △ BGC$，再利用相似三角形的性质推导即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because CG^2 = GE · GD$，
$\therefore \frac{CG}{GE} = \frac{GD}{CG}$。
又$\because ∠CGD = ∠EGC$（公共角相等），
$\therefore △ GCD ∽ △ GEC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠GDC = ∠GCE$（相似三角形对应角相等）。
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠ABD = ∠BDC$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ABD = ∠ACF$。
(2) 证明：
由(1)得$∠FBG = ∠ECG$，
又$\because ∠BGF = ∠CGE$（对顶角相等），
$\therefore △ BGF ∽ △ CGE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{FG}{EG} = \frac{BG}{CG}$，即$\frac{FG}{BG} = \frac{EG}{CG}$。
又$\because ∠FGE = ∠BGC$（对顶角相等），
$\therefore △ FGE ∽ △ BGC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{FE}{BC} = \frac{EG}{CG}$（相似三角形对应边成比例），
$\therefore FE · CG = EG · BC$。
【答案】
(1) $∠ ABD=∠ ACF$得证；
(2) $FE·CG=EG·BC$得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型证明题，解题关键是灵活转换等积式和比例式，结合公共角、对顶角、平行线的性质寻找角的等量关系，逐步推导三角形相似，对学生的逻辑推理能力有一定要求，掌握相似三角形的判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.6
