登录
一、选择题
1. 已知$\begin{cases}x=10,\\y=20\end{cases}$是二元一次方程$ax+2y=100$的解，则实数$a$的值为（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
1. 已知$\begin{cases}x=10,\\y=20\end{cases}$是二元一次方程$ax+2y=100$的解，则实数$a$的值为（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确二元一次方程的解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。因此我们只需将已知的x、y的值代入原方程，就能得到只含有未知数a的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算即可求出a的值。
【解析】
∵$\begin{cases}x=10,\\y=20\end{cases}$是二元一次方程$ax+2y=100$的解，
∴将$x=10$，$y=20$代入方程，可得：
$10a + 2×20 = 100$
整理得：$10a + 40 = 100$
移项计算得：$10a = 100 - 40 = 60$
系数化为1得：$a = 6$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二元一次方程解的应用，代入法是解决这类问题的常用方法，计算量小，只要掌握相关概念和基本计算能力就能得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确二元一次方程的解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。因此我们只需将已知的x、y的值代入原方程，就能得到只含有未知数a的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算即可求出a的值。
【解析】
∵$\begin{cases}x=10,\\y=20\end{cases}$是二元一次方程$ax+2y=100$的解，
∴将$x=10$，$y=20$代入方程，可得：
$10a + 2×20 = 100$
整理得：$10a + 40 = 100$
移项计算得：$10a = 100 - 40 = 60$
系数化为1得：$a = 6$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二元一次方程解的应用，代入法是解决这类问题的常用方法，计算量小，只要掌握相关概念和基本计算能力就能得分。
【难度系数】
0.9
2.用代入法解方程组$\begin{cases}3x+4y=2,①\\2x-y=5,②\end{cases}$使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A.由①得 $x=\dfrac{2-4y}{3}$
B.由①得 $y=\dfrac{2-3x}{4}$
C.由②得 $x=\dfrac{y+5}{2}$
D.由②得 $y=2x-5$
A.由①得 $x=\dfrac{2-4y}{3}$
B.由①得 $y=\dfrac{2-3x}{4}$
C.由②得 $x=\dfrac{y+5}{2}$
D.由②得 $y=2x-5$
答案
2.D
解析
【分析】
用代入法解二元一次方程组时，为了代入后化简方便，通常优先选择未知数系数绝对值为1的方程进行变形，这样变形后的表达式不含分母，能避免分数运算，降低计算复杂度。观察两个方程的系数：方程①中x、y的系数分别为3和4，变形时需要除以系数，会出现分数；方程②中y的系数是-1，将其变形为用x表示y的形式时，只需移项即可，不需要做除法，不会产生分数，是最简便的变形方式。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A、B：均是对方程①进行变形，变形时需要分别除以3、4，得到的表达式含有分母，代入另一方程计算时需要处理分数，化简较繁琐，不符合要求；
选项C：由方程②变形得到x的表达式，需要除以x的系数2，得到的表达式仍含有分母，代入后化简也需要处理分数，不够简便；
选项D：由方程②变形，将-y移到等号右侧，5移到等号左侧，直接得到y=2x-5，表达式不含分母，代入方程①后可得3x+4(2x-5)=2，直接展开即可计算，化简非常容易，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；等式的变形
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组时的变形技巧，选择系数绝对值为1的未知数进行变形，能有效减少分数运算，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.9
用代入法解二元一次方程组时，为了代入后化简方便，通常优先选择未知数系数绝对值为1的方程进行变形，这样变形后的表达式不含分母，能避免分数运算，降低计算复杂度。观察两个方程的系数：方程①中x、y的系数分别为3和4，变形时需要除以系数，会出现分数；方程②中y的系数是-1，将其变形为用x表示y的形式时，只需移项即可，不需要做除法，不会产生分数，是最简便的变形方式。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A、B：均是对方程①进行变形，变形时需要分别除以3、4，得到的表达式含有分母，代入另一方程计算时需要处理分数，化简较繁琐，不符合要求；
选项C：由方程②变形得到x的表达式，需要除以x的系数2，得到的表达式仍含有分母，代入后化简也需要处理分数，不够简便；
选项D：由方程②变形，将-y移到等号右侧，5移到等号左侧，直接得到y=2x-5，表达式不含分母，代入方程①后可得3x+4(2x-5)=2，直接展开即可计算，化简非常容易，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；等式的变形
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组时的变形技巧，选择系数绝对值为1的未知数进行变形，能有效减少分数运算，提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.9
3.古代歌谣《群鸦栖树》记载:栖树一群鸦,鸦树不知数;三个坐一棵,五个没去处;五个坐一棵,闲了一棵树.问鸦树各几何.若设树$x$棵,乌鸦$y$只,可得方程组（
A.$\begin{cases} 3y + 5 = x, \\ 5(x - 1) = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x - 5 = y, \\ 5(x + 1) = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x - 5 = y, \\ 5x - 1 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x + 5 = y, \\ 5(x - 1) = y \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} 3y + 5 = x, \\ 5(x - 1) = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 3x - 5 = y, \\ 5(x + 1) = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x - 5 = y, \\ 5x - 1 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x + 5 = y, \\ 5(x - 1) = y \end{cases}$
答案
3.D
解析
【分析】
这是一道利用二元一次方程组解决古代实际问题的题目，解题关键是抓住两个不变量：乌鸦总数量和树的总数量，从两个栖鸦场景中分别提取等量关系即可。第一步先分析“三个坐一棵，五个没去处”：每棵树坐3只乌鸦时，坐满树的乌鸦数加上没处去的5只，就是乌鸦总数量；第二步分析“五个坐一棵，闲了一棵树”：每棵树坐5只乌鸦时，实际使用的树的数量是总棵数减1，用每棵5只乘实际使用的树的数量，也等于乌鸦总数量，最后将两个等量关系整理为方程组匹配选项即可。
【解析】
设树有$x$棵，乌鸦有$y$只：
1. 根据“三个坐一棵，五个没去处”，坐满$x$棵树的乌鸦数为$3x$，加上剩余的5只等于乌鸦总数，可得$y=3x+5$；
2. 根据“五个坐一棵，闲了一棵树”，实际栖鸦的树有$(x-1)$棵，每棵坐5只刚好坐满，可得$y=5(x-1)$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} 3x + 5 = y \\ 5(x - 1) = y \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 列方程找等量关系
【点评】
本题以古代歌谣为载体，考查实际问题中方程组的列法，解题核心是准确理解文言表述的含义，抓住乌鸦总数、树的总数两个不变量建立等量关系，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
这是一道利用二元一次方程组解决古代实际问题的题目，解题关键是抓住两个不变量：乌鸦总数量和树的总数量，从两个栖鸦场景中分别提取等量关系即可。第一步先分析“三个坐一棵，五个没去处”：每棵树坐3只乌鸦时，坐满树的乌鸦数加上没处去的5只，就是乌鸦总数量；第二步分析“五个坐一棵，闲了一棵树”：每棵树坐5只乌鸦时，实际使用的树的数量是总棵数减1，用每棵5只乘实际使用的树的数量，也等于乌鸦总数量，最后将两个等量关系整理为方程组匹配选项即可。
【解析】
设树有$x$棵，乌鸦有$y$只：
1. 根据“三个坐一棵，五个没去处”，坐满$x$棵树的乌鸦数为$3x$，加上剩余的5只等于乌鸦总数，可得$y=3x+5$；
2. 根据“五个坐一棵，闲了一棵树”，实际栖鸦的树有$(x-1)$棵，每棵坐5只刚好坐满，可得$y=5(x-1)$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} 3x + 5 = y \\ 5(x - 1) = y \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 列方程找等量关系
【点评】
本题以古代歌谣为载体，考查实际问题中方程组的列法，解题核心是准确理解文言表述的含义，抓住乌鸦总数、树的总数两个不变量建立等量关系，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1.已知二元一次方程组$\begin{cases}2025x + 2026y = 102, \\2026x + 2025y = 8000,\end{cases}$则$x+y$的值为 ______ .
1.已知二元一次方程组$\begin{cases}2025x + 2026y = 102, \\2026x + 2025y = 8000,\end{cases}$则$x+y$的值为 ______ .
答案
1.2
解析
【分析】
本题若直接求解x、y的具体值，计算量较大。观察方程组中两个方程的系数特点可发现：第一个方程x的系数与第二个方程y的系数相同，第一个方程y的系数与第二个方程x的系数相同，因此可采用加减消元法，将两个方程直接相加，得到x与y的系数相等的式子，再整体计算即可得到x+y的值，避免复杂计算。
【解析】
解：将方程组中的两个方程分别标记为①和②：
$\begin{cases}2025x + 2026y = 102 \quad ①\\2026x + 2025y = 8000 \quad ②\end{cases}$
由①+②，可得：
左边：$2025x + 2026y + 2026x + 2025y = (2025+2026)x + (2026+2025)y = 4051x + 4051y = 4051(x+y)$
右边：$102 + 8000 = 8102$
即$4051(x+y) = 8102$
等式两边同时除以4051，得$x+y = 8102 ÷ 4051 = 2$
【答案】
2
【知识点】
1.二元一次方程组加减消元法 2.整体思想求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的简便计算，解题关键是观察方程系数的对称性，采用整体相加的方法简化计算，不需要单独求出x、y的取值，是对称系数二元一次方程组求代数式值的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题若直接求解x、y的具体值，计算量较大。观察方程组中两个方程的系数特点可发现：第一个方程x的系数与第二个方程y的系数相同，第一个方程y的系数与第二个方程x的系数相同，因此可采用加减消元法，将两个方程直接相加，得到x与y的系数相等的式子，再整体计算即可得到x+y的值，避免复杂计算。
【解析】
解：将方程组中的两个方程分别标记为①和②：
$\begin{cases}2025x + 2026y = 102 \quad ①\\2026x + 2025y = 8000 \quad ②\end{cases}$
由①+②，可得：
左边：$2025x + 2026y + 2026x + 2025y = (2025+2026)x + (2026+2025)y = 4051x + 4051y = 4051(x+y)$
右边：$102 + 8000 = 8102$
即$4051(x+y) = 8102$
等式两边同时除以4051，得$x+y = 8102 ÷ 4051 = 2$
【答案】
2
【知识点】
1.二元一次方程组加减消元法 2.整体思想求值
【点评】
本题考查二元一次方程组的简便计算，解题关键是观察方程系数的对称性，采用整体相加的方法简化计算，不需要单独求出x、y的取值，是对称系数二元一次方程组求代数式值的典型考法。
【难度系数】
0.7
2.若$\begin{cases}x=a, \\ y=b\end{cases}$是二元一次方程组$\begin{cases}3x + 2y = -\dfrac{2}{3}, \\ 2x + 3y = \dfrac{1}{3}\end{cases}$的解，则$2a - 2b + 2025 =$ ______ .
答案
2.2023
解析
【分析】
已知$\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$是方程组的解，首先可将x、y替换为a、b代入原方程组，得到关于a、b的二元一次方程组。观察待求式$2a-2b+2025$，可变形为$2(a-b)+2025$，因此无需分别求解a、b的具体值，只需将两个方程相减即可快速得到$a-b$的值，再整体代入计算就能得到结果，比单独求解a、b更简便。
【解析】
1. 将$\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}3a + 2b = -\dfrac{2}{3} \quad ① \\ 2a + 3b = \dfrac{1}{3} \quad ②\end{cases}$
2. 用①式减去②式，分别计算等号左右两边：
左边：$3a+2b-(2a+3b)=a-b$
右边：$-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=-1$
因此得$a-b=-1$
3. 对待求式变形：$2a-2b+2025=2(a-b)+2025$
4. 将$a-b=-1$代入上式：
$2×(-1)+2025=-2+2025=2023$
【答案】
2023
【知识点】
二元一次方程组的解，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题侧重考察整体思想的应用，不需要求出a、b的具体数值，通过观察待求式的结构，对两个方程作差得到整体的值后代入计算，能有效简化运算过程，降低计算错误的概率。
【难度系数】
0.7
已知$\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$是方程组的解，首先可将x、y替换为a、b代入原方程组，得到关于a、b的二元一次方程组。观察待求式$2a-2b+2025$，可变形为$2(a-b)+2025$，因此无需分别求解a、b的具体值，只需将两个方程相减即可快速得到$a-b$的值，再整体代入计算就能得到结果，比单独求解a、b更简便。
【解析】
1. 将$\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}3a + 2b = -\dfrac{2}{3} \quad ① \\ 2a + 3b = \dfrac{1}{3} \quad ②\end{cases}$
2. 用①式减去②式，分别计算等号左右两边：
左边：$3a+2b-(2a+3b)=a-b$
右边：$-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=-1$
因此得$a-b=-1$
3. 对待求式变形：$2a-2b+2025=2(a-b)+2025$
4. 将$a-b=-1$代入上式：
$2×(-1)+2025=-2+2025=2023$
【答案】
2023
【知识点】
二元一次方程组的解，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题侧重考察整体思想的应用，不需要求出a、b的具体数值，通过观察待求式的结构，对两个方程作差得到整体的值后代入计算，能有效简化运算过程，降低计算错误的概率。
【难度系数】
0.7
3.方程组$\begin{cases}2x - 3y = 1, \\2x + 5y = -2\end{cases}$中，$x$的系数的特点是________，方程组$\begin{cases}5x + 4y = 8, \\7x - 4y = 6\end{cases}$中，$y$的系数的特点是________，这两个方程组用________消元法解较方便。
答案
3.相等 互为相反数
加减
加减
解析
【分析】解题时先分别观察两个方程组中指定未知数的系数：第一个方程组重点看x的系数，对比两个方程x的系数数值得出特征；第二个方程组重点看y的系数，对比两个方程y的系数的数值和符号得出特征；再回忆消元法的适用场景，当同一个未知数的系数相等或互为相反数时，直接把两个方程相减或相加就能消去该未知数，比代入消元法操作更简便。
【解析】观察第一个方程组$\begin{cases}2x - 3y = 1, \\2x + 5y = -2\end{cases}$，两个方程中$x$的系数均为2，因此$x$的系数特点是相等；观察第二个方程组$\begin{cases}5x + 4y = 8, \\7x - 4y = 6\end{cases}$，两个方程中$y$的系数分别为$+4$和$-4$，二者相加和为0，因此$y$的系数特点是互为相反数；当方程组中同一未知数的系数相等或互为相反数时，直接将两个方程相减或相加即可消去该未知数，这种消元方法为加减消元法，解这两个方程组时用加减消元法更简便。
【答案】相等；互为相反数；加减
【知识点】二元一次方程组、加减消元法
【点评】本题考查加减消元法的适用条件，属于基础概念考查题，只要熟悉加减消元法对应的方程组系数特征即可快速作答。
【难度系数】0.9
【解析】观察第一个方程组$\begin{cases}2x - 3y = 1, \\2x + 5y = -2\end{cases}$，两个方程中$x$的系数均为2，因此$x$的系数特点是相等；观察第二个方程组$\begin{cases}5x + 4y = 8, \\7x - 4y = 6\end{cases}$，两个方程中$y$的系数分别为$+4$和$-4$，二者相加和为0，因此$y$的系数特点是互为相反数；当方程组中同一未知数的系数相等或互为相反数时，直接将两个方程相减或相加即可消去该未知数，这种消元方法为加减消元法，解这两个方程组时用加减消元法更简便。
【答案】相等；互为相反数；加减
【知识点】二元一次方程组、加减消元法
【点评】本题考查加减消元法的适用条件，属于基础概念考查题，只要熟悉加减消元法对应的方程组系数特征即可快速作答。
【难度系数】0.9
