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1 新考法[2026 安徽合肥质检,中]把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“类等腰四边形”.在“类等腰四边形”ABCD中,∠B=∠C,E为边BC上一点,若AB//DE,AE//CD,则下列两条线段的比值与$\frac{AB}{CD}$不一定相等的是（
A.$\frac{AE}{DE}$
B.$\frac{AE}{CD}$
C.$\frac{BE}{CE}$
D.$\frac{AD}{BE}$
D
）A.$\frac{AE}{DE}$
B.$\frac{AE}{CD}$
C.$\frac{BE}{CE}$
D.$\frac{AD}{BE}$
答案
∴ ∠B = ∠AEB = ∠DEC = ∠C,
∴ △ABE ∽ △DCE,
DE = DC,
∴ $\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{CE}$, $\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{DE} = \frac{AE}{CD}$,故选 D.
解析
【分析】首先理解“类等腰四边形”的定义，明确已知条件∠B=∠C，结合两组平行线的性质推导角的等量关系，先判定等腰三角形，再通过两角对应相等证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质得到对应边的比例关系，逐一比对各选项的比值，最终确定不一定相等的选项。
【解析】
∵ AE//CD，
∴ ∠AEB = ∠C（两直线平行，同位角相等）
∵ AB//DE，
∴ ∠DEC = ∠B（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠B = ∠C
∴ ∠B = ∠AEB = ∠DEC = ∠C
∴ DE = DC（等角对等边），且△ABE∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{CE} = \frac{AE}{DE}$
又
∵ DE=CD，
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AE}{CD}$
因此选项A、B、C的比值均与$\frac{AB}{CD}$相等；
题中未给出AD//BC，无法推出$\frac{AD}{BE}$与$\frac{AB}{CD}$存在必然相等关系，故D选项符合题意。
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【点评】本题结合新定义考查几何知识的综合应用，解题的关键是熟练运用平行线的性质推导等角，进而判定等腰三角形和相似三角形，再结合比例关系逐一验证选项，解题时注意不要自行添加题中未给出的额外条件。
【难度系数】0.6
【解析】
∵ AE//CD，
∴ ∠AEB = ∠C（两直线平行，同位角相等）
∵ AB//DE，
∴ ∠DEC = ∠B（两直线平行，同位角相等）
又
∵ ∠B = ∠C
∴ ∠B = ∠AEB = ∠DEC = ∠C
∴ DE = DC（等角对等边），且△ABE∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{CE} = \frac{AE}{DE}$
又
∵ DE=CD，
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AE}{CD}$
因此选项A、B、C的比值均与$\frac{AB}{CD}$相等；
题中未给出AD//BC，无法推出$\frac{AD}{BE}$与$\frac{AB}{CD}$存在必然相等关系，故D选项符合题意。
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【点评】本题结合新定义考查几何知识的综合应用，解题的关键是熟练运用平行线的性质推导等角，进而判定等腰三角形和相似三角形，再结合比例关系逐一验证选项，解题时注意不要自行添加题中未给出的额外条件。
【难度系数】0.6
2[较难]如图(1),若$△ ABC$内一点$P$满足$∠ PAC=∠ PBA=∠ PCB$,则点$P$为$△ ABC$的布洛卡点.如图(2),已知在等腰$Rt△ DEF$中,$∠ EDF=90°$,若点$Q$为$△ DEF$的布洛卡点,$DQ=\sqrt{2}$,则$EQ+FQ$等于 (
A.$4$
B.$4+2\sqrt{2}$
C.$2+\sqrt{2}$
D.$2+2\sqrt{2}$
D
)A.$4$
B.$4+2\sqrt{2}$
C.$2+\sqrt{2}$
D.$2+2\sqrt{2}$
答案
2. D 【解析】由题意,得 DE = DF, ∠1 = ∠2 = ∠3,
∴ ∠1 + ∠QEF = ∠3 + ∠DFQ = 45°,
∴ ∠QEF = ∠DFQ. 又
∵ ∠2 = ∠3,
∴ △DQF∽△FQE,
∴ $\frac{DQ}{FQ} = \frac{FQ}{QE} = \frac{DF}{EF} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
∵ DQ = $\sqrt{2}$,
∴ FQ = 2, EQ = $2\sqrt{2}$,
∴ EQ + FQ = 2 + $2\sqrt{2}$, 故选 D.
∴ ∠1 + ∠QEF = ∠3 + ∠DFQ = 45°,
∴ ∠QEF = ∠DFQ. 又
∵ ∠2 = ∠3,
∴ △DQF∽△FQE,
∴ $\frac{DQ}{FQ} = \frac{FQ}{QE} = \frac{DF}{EF} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
∵ DQ = $\sqrt{2}$,
∴ FQ = 2, EQ = $2\sqrt{2}$,
∴ EQ + FQ = 2 + $2\sqrt{2}$, 故选 D.
解析
【分析】
首先明确题中两个核心条件：一是△DEF为等腰直角三角形，可得DE=DF，两个底角均为45°，斜边与直角边的比值为√2:1；二是点Q为布洛卡点，即∠1=∠2=∠3。解题时先利用等腰直角三角形的底角特征，结合三个角相等的条件推导角的等量关系，证明两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知DQ的长度依次求出FQ、EQ的长度，最后求和即可。
【解析】
∵△DEF是等腰直角三角形，∠EDF=90°，
∴DE=DF，∠DEF=∠DFE=45°，$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
∵点Q是△DEF的布洛卡点，
∴∠1=∠2=∠3。
∵∠1+∠QEF=∠DEF=45°，∠3+∠DFQ=∠DFE=45°，且∠1=∠3，
∴∠QEF=∠DFQ。
又
∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DQ}{FQ}=\frac{FQ}{QE}=\frac{DF}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
已知$DQ=\sqrt{2}$，代入$\frac{DQ}{FQ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，得$\frac{\sqrt{2}}{FQ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得$FQ=2$。
再代入$\frac{FQ}{QE}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，得$\frac{2}{QE}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得$QE=2\sqrt{2}$。
∴$EQ+FQ=2+2\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合新定义“布洛卡点”考查几何计算，解题关键是结合已知角相等的条件和等腰直角三角形的角的特征找到相似三角形，再利用相似三角形的比例关系求解线段长度，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先明确题中两个核心条件：一是△DEF为等腰直角三角形，可得DE=DF，两个底角均为45°，斜边与直角边的比值为√2:1；二是点Q为布洛卡点，即∠1=∠2=∠3。解题时先利用等腰直角三角形的底角特征，结合三个角相等的条件推导角的等量关系，证明两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知DQ的长度依次求出FQ、EQ的长度，最后求和即可。
【解析】
∵△DEF是等腰直角三角形，∠EDF=90°，
∴DE=DF，∠DEF=∠DFE=45°，$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
∵点Q是△DEF的布洛卡点，
∴∠1=∠2=∠3。
∵∠1+∠QEF=∠DEF=45°，∠3+∠DFQ=∠DFE=45°，且∠1=∠3，
∴∠QEF=∠DFQ。
又
∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DQ}{FQ}=\frac{FQ}{QE}=\frac{DF}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
已知$DQ=\sqrt{2}$，代入$\frac{DQ}{FQ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，得$\frac{\sqrt{2}}{FQ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得$FQ=2$。
再代入$\frac{FQ}{QE}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，得$\frac{2}{QE}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得$QE=2\sqrt{2}$。
∴$EQ+FQ=2+2\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合新定义“布洛卡点”考查几何计算，解题关键是结合已知角相等的条件和等腰直角三角形的角的特征找到相似三角形，再利用相似三角形的比例关系求解线段长度，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
3[2025安徽合肥期末,较难]如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,P是AD中点,连接BP并延长交AC于点E,已知$\frac{AC}{AB}=k$,则$\frac{AE}{CE}=$
(第3题图)
(第4题图)
$\frac{1}{k^2+1}$
.(用含k的代数式表示)(第3题图)
(第4题图)
答案
3. $\frac{1}{k^2+1}$ 【解析】如图,过点 D 作 BE 的平行线,交 AC 于点 F.
∵ AD 是△ABC 的边 BC 上的高,
∴ ∠ADC = 90°.
∵ ∠CAB = 90°,
∴ ∠CAB = ∠CDA. 又
∵ ∠C = ∠C,
∴ △ADC∽△BAC,
∴ $\frac{CD}{AC} = \frac{AD}{AB}$,
∴ $\frac{CD}{AD} = \frac{AC}{AB} = k$. 同理可得 $\frac{AD}{BD} = k$,
∴ $\frac{CD}{kBD} = k$,
∴ $\frac{CD}{BD} = k^2$.
又
∵ DF//BE,
∴ $\frac{CF}{EF} = \frac{CD}{BD} = k^2$.
∵ PE//DF, 点 P 是 AD 中点,
∴ $\frac{AE}{EF} = \frac{AP}{PD} = 1$,
∴ AE = EF,
∴ $\frac{AE}{CE} = \frac{1}{k^2+1}$. 故答案为 $\frac{1}{k^2+1}$.
解析
【分析】
要求$\frac{AE}{CE}$的比值，已知Rt△ABC中AD是斜边BC的高，P是AD中点，$\frac{AC}{AB}=k$。解题思路如下：第一步，利用直角三角形斜边上的高的特征，证明图中的小三角形与原三角形相似，推导得出CD与BD的比例关系；第二步，过D作BE的平行线交AC于F，结合平行线分线段成比例的性质和P是AD中点的条件，得到AE与EF相等，同时得到CF与EF的比值；第三步，将CE转化为EF与CF的和，代入比例关系即可求出最终结果。
【解析】
如图，过点D作BE的平行线，交AC于点F。
∵ AD是Rt△ABC斜边BC上的高，
∴ $∠ ADC = 90°$，
又
∵ $∠ CAB = 90°$，
∴ $∠ CAB = ∠ CDA$，
∵ $∠ C = ∠ C$，
∴ $△ ADC ∽ △ BAC$，
∴ $\frac{CD}{AC} = \frac{AD}{AB}$，即$\frac{CD}{AD} = \frac{AC}{AB} = k$。
同理可得$\frac{AD}{BD} = k$，即$AD = k· BD$，
将$AD = k· BD$代入$\frac{CD}{AD}=k$，得$\frac{CD}{k· BD}=k$，
∴ $\frac{CD}{BD} = k^2$。
∵ $DF// BE$，
∴ 由平行线分线段成比例可得$\frac{CF}{EF} = \frac{CD}{BD} = k^2$，即$CF = k^2· EF$。
∵ P是AD中点，$PE// DF$，
∴ $\frac{AE}{EF} = \frac{AP}{PD} = 1$，
∴ $AE = EF$。
∵ $CE = EF + CF = EF + k^2· EF = EF(k^2+1)$，
∴ $\frac{AE}{CE} = \frac{EF}{EF(k^2+1)} = \frac{1}{k^2+1}$。
【答案】
$\frac{1}{k^2+1}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与比例线段的综合题，解题的关键是合理作辅助线构造平行线，结合相似三角形的性质转化线段比例关系，同时利用中点的性质得到相等线段推导所求比值，对逻辑推理和比例转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
要求$\frac{AE}{CE}$的比值，已知Rt△ABC中AD是斜边BC的高，P是AD中点，$\frac{AC}{AB}=k$。解题思路如下：第一步，利用直角三角形斜边上的高的特征，证明图中的小三角形与原三角形相似，推导得出CD与BD的比例关系；第二步，过D作BE的平行线交AC于F，结合平行线分线段成比例的性质和P是AD中点的条件，得到AE与EF相等，同时得到CF与EF的比值；第三步，将CE转化为EF与CF的和，代入比例关系即可求出最终结果。
【解析】
如图，过点D作BE的平行线，交AC于点F。
∵ AD是Rt△ABC斜边BC上的高，
∴ $∠ ADC = 90°$，
又
∵ $∠ CAB = 90°$，
∴ $∠ CAB = ∠ CDA$，
∵ $∠ C = ∠ C$，
∴ $△ ADC ∽ △ BAC$，
∴ $\frac{CD}{AC} = \frac{AD}{AB}$，即$\frac{CD}{AD} = \frac{AC}{AB} = k$。
同理可得$\frac{AD}{BD} = k$，即$AD = k· BD$，
将$AD = k· BD$代入$\frac{CD}{AD}=k$，得$\frac{CD}{k· BD}=k$，
∴ $\frac{CD}{BD} = k^2$。
∵ $DF// BE$，
∴ 由平行线分线段成比例可得$\frac{CF}{EF} = \frac{CD}{BD} = k^2$，即$CF = k^2· EF$。
∵ P是AD中点，$PE// DF$，
∴ $\frac{AE}{EF} = \frac{AP}{PD} = 1$，
∴ $AE = EF$。
∵ $CE = EF + CF = EF + k^2· EF = EF(k^2+1)$，
∴ $\frac{AE}{CE} = \frac{EF}{EF(k^2+1)} = \frac{1}{k^2+1}$。
【答案】
$\frac{1}{k^2+1}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与比例线段的综合题，解题的关键是合理作辅助线构造平行线，结合相似三角形的性质转化线段比例关系，同时利用中点的性质得到相等线段推导所求比值，对逻辑推理和比例转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
4[2026安徽安庆期中,较难]如图,在$△ ABC$纸板中,$AC=8,BC=4,AB=10$,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与$△ ABC$相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是
$6≤AP＜8$
.答案
4. $6≤AP＜8$ 【解析】如图(1)所示,过 P 作 PD//AB 交 BC 于 D 或 PE//BC 交 AB 于 E,则△PCD∽△ACB 或△APE∽△ACB,此时 0＜AP＜8; 如图(2)所示,作∠APF=∠B,PF 交 AB 于 F,则△APF∽△ABC,此时 0＜AP≤8; 如图(3)所示,作∠CPG=∠CBA,PG 交 BC 于 G,则△CPG∽△CBA,当点 G 与点 B 重合时, $CB^2 = CP×CA$, 即 $4^2 = CP×8$,
∴ CP = 2,
∴ AP = 6,
∴ 此时 $6≤AP＜8$. 综上所述,AP 长的取值范围是 $6≤AP＜8$. 故答案为 $6≤AP＜8$.
∴ CP = 2,
∴ AP = 6,
∴ 此时 $6≤AP＜8$. 综上所述,AP 长的取值范围是 $6≤AP＜8$. 故答案为 $6≤AP＜8$.
解析
【分析】
解题时先梳理所有能剪出与$△ ABC$相似的小三角形的构造方法，共两类4种：一是过P作平行线构造相似（2种），二是作等角利用“两角对应相等的三角形相似”构造相似（2种）。前3种剪法在$0＜AP＜8$范围内均成立，第4种剪法存在临界限制，需要计算临界状态下的AP值，再结合“4种剪法都存在”的条件取范围交集即可。
【解析】
我们分情况讨论所有剪法的成立条件：
1. 过P作$PD// AB$交BC于D，可得$△ PCD ∽ △ ACB$；过P作$PE// BC$交AB于E，可得$△ APE ∽ △ ACB$。这两种剪法只要P不与A、C重合即可成立，对应$0＜AP＜8$。
2. 作$∠ APF=∠ B$，PF交AB于F，此时$∠ A$为公共角，可得$△ APF ∽ △ ABC$，该剪法在$0＜AP\le 8$时均成立。
3. 作$∠ CPG=∠ CBA$，PG交BC于G，此时$∠ C$为公共角，可得$△ CPG ∽ △ CBA$。当G与B重合时为该剪法的临界情况，由相似对应边成比例得：
$\frac{CB}{CA}=\frac{CP}{CB}$，即$CB^2=CP× CA$。
代入$CB=4,CA=8$，得$4^2=CP× 8$，解得$CP=2$，因此$AP=AC-CP=8-2=6$。
要使该剪法成立（G在BC边上），则$CP\le 2$，即$AP\ge 6$，结合P在AC上的条件得$6\le AP＜8$。
综上，有4种不同剪法时，AP的取值范围是$6\le AP＜8$。
【答案】
$6≤ AP＜8$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形的综合应用，解题核心是完整枚举所有相似构造的情况，同时准确计算临界情形的边长，避免因漏考虑临界条件导致范围判断错误。
【难度系数】
0.4
解题时先梳理所有能剪出与$△ ABC$相似的小三角形的构造方法，共两类4种：一是过P作平行线构造相似（2种），二是作等角利用“两角对应相等的三角形相似”构造相似（2种）。前3种剪法在$0＜AP＜8$范围内均成立，第4种剪法存在临界限制，需要计算临界状态下的AP值，再结合“4种剪法都存在”的条件取范围交集即可。
【解析】
我们分情况讨论所有剪法的成立条件：
1. 过P作$PD// AB$交BC于D，可得$△ PCD ∽ △ ACB$；过P作$PE// BC$交AB于E，可得$△ APE ∽ △ ACB$。这两种剪法只要P不与A、C重合即可成立，对应$0＜AP＜8$。
2. 作$∠ APF=∠ B$，PF交AB于F，此时$∠ A$为公共角，可得$△ APF ∽ △ ABC$，该剪法在$0＜AP\le 8$时均成立。
3. 作$∠ CPG=∠ CBA$，PG交BC于G，此时$∠ C$为公共角，可得$△ CPG ∽ △ CBA$。当G与B重合时为该剪法的临界情况，由相似对应边成比例得：
$\frac{CB}{CA}=\frac{CP}{CB}$，即$CB^2=CP× CA$。
代入$CB=4,CA=8$，得$4^2=CP× 8$，解得$CP=2$，因此$AP=AC-CP=8-2=6$。
要使该剪法成立（G在BC边上），则$CP\le 2$，即$AP\ge 6$，结合P在AC上的条件得$6\le AP＜8$。
综上，有4种不同剪法时，AP的取值范围是$6\le AP＜8$。
【答案】
$6≤ AP＜8$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形的综合应用，解题核心是完整枚举所有相似构造的情况，同时准确计算临界情形的边长，避免因漏考虑临界条件导致范围判断错误。
【难度系数】
0.4
5[2026安徽马鞍山校级质检,较难]如图,已知四边形ABCD,AC,BD相交于F,E为BD上一点,AE//BC,∠ADC=∠AEB=2∠BEC.
(1)若∠DAE=40°,则∠BDC=
(2)若AD=2,AF=CF,则CD=
(1)若∠DAE=40°,则∠BDC=
40°
.(2)若AD=2,AF=CF,则CD=
$1+\sqrt{5}$
.答案
△BCF 和△EAF 中, $\begin{cases} ∠EBC=∠AEB, \\ ∠BFC=∠EFA, \\ CF=AF, \end{cases}$
∴ △BCF≌△EAF(AAS),
∴ AE=BC. 如图,在 BD 上取点 G,使 CG=CB,连接 CG,则 ∠CBG=∠CGB,
∴ ∠CGB = ∠AEB = 2∠BEC.
∵ ∠CGB = ∠GCE + ∠GEC,
∴ ∠GCE = ∠GEC,
∴ CG = EG. 设 AE=x, 则 BC=CG=EG=x.
∵ ∠CGD = 180°−∠CGB, ∠AED = 180°−∠AEB,
∴ ∠CGD = ∠AED. 由(1)知, ∠CDG = ∠DAE,
∴ △DCG∽△ADE,
∴ $\frac{CD}{AD} = \frac{CG}{DE} = \frac{DG}{AE}$,
∴ $\frac{CD}{2} = \frac{x}{DE} = \frac{x+DE}{x}$,
∴ $\frac{CD}{2} - 1 = \frac{2}{CD}$,
∴ $CD^2 - 2CD - 4 = 0$, 解得 $CD=1+\sqrt{5}$(负值已舍去). 故答案为 $1+\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 求∠BDC的度数时，先利用三角形外角的性质得到∠AEB与∠DAE、∠ADE的关系，再结合已知∠ADC=∠AEB，将∠ADC拆分为∠ADE+∠BDC，通过等量代换消去公共角∠ADE，即可直接推出∠BDC和∠DAE相等，代入数值即可得到结果。
(2) 求CD的长度时，首先利用AE//BC的平行性质和AF=CF的条件，证明△BCF和△EAF全等，得到AE=BC；再构造辅助线，在BD上取点G使CG=CB，通过等腰三角形性质和外角性质导角，得到CG=EG，且∠CGD=∠AED，结合(1)得到的∠CDG=∠DAE，证明△DCG与△ADE相似，最后利用相似三角形对应边成比例列方程，舍去负根后即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 在△AED中，∠AEB是外角，根据三角形外角性质可得：
$∠ AEB = ∠ DAE + ∠ ADE$
已知$∠ ADC = ∠ AEB$，且$∠ ADC = ∠ ADE + ∠ BDC$，代入得：
$∠ ADE + ∠ BDC = ∠ DAE + ∠ ADE$
消去两边的$∠ ADE$，可得$∠ BDC = ∠ DAE$
$\because ∠ DAE=40°$，$\therefore ∠ BDC=40°$。
(2) $\because AE// BC$，$\therefore ∠ EBC=∠ AEB$（两直线平行，内错角相等）
在$△ BCF$和$△ EAF$中：
$\begin{cases}∠ EBC=∠ AEB \\∠ BFC=∠ EFA（对顶角相等） \\CF=AF（已知）\end{cases}$
$\therefore △ BCF≌△ EAF(\mathrm{AAS})$，$\therefore AE=BC$。
如图，在BD上取点G，使$CG=CB$，连接CG，根据等腰三角形两底角相等得$∠ CBG=∠ CGB$，
$\therefore ∠ CGB = ∠ AEB = 2∠ BEC$。
$\because ∠ CGB$是$△ CGE$的外角，$\therefore ∠ CGB = ∠ GCE + ∠ GEC$，
代入$∠ CGB=2∠ GEC$得：$2∠ GEC = ∠ GCE + ∠ GEC$，即$∠ GCE = ∠ GEC$，
$\therefore CG = EG$（等角对等边）。
设$AE=x$，则$BC=CG=EG=x$。
$\because ∠ CGD = 180°-∠ CGB$，$∠ AED = 180°-∠ AEB$，且$∠ CGB=∠ AEB$，
$\therefore ∠ CGD = ∠ AED$。
由(1)可知$∠ CDG = ∠ DAE$，
$\therefore △ DCG∽△ ADE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{CD}{AD} = \frac{CG}{DE} = \frac{DG}{AE}$。
其中$DG=EG+DE=x+DE$，$AD=2$，代入得：
$\frac{CD}{2} = \frac{x}{DE} = \frac{x+DE}{x}$，
由$\frac{x}{DE} = \frac{CD}{2}$可得$\frac{DE}{x}=\frac{2}{CD}$，由$\frac{x+DE}{x}=1+\frac{DE}{x}=\frac{CD}{2}$，
代入$\frac{DE}{x}=\frac{2}{CD}$得：$\frac{CD}{2}=1+\frac{2}{CD}$，
两边同乘$2CD$整理得：$CD^2 - 2CD - 4 = 0$，
解得$CD=1+\sqrt{5}$（负值不符合边长要求，已舍去）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$
(2) $\boldsymbol{1+\sqrt{5}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了三角形外角性质、全等与相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是合理构造辅助线，通过导角得到角的等量关系，进而找到全等、相似的判定条件，最后结合比例关系列方程求解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 求∠BDC的度数时，先利用三角形外角的性质得到∠AEB与∠DAE、∠ADE的关系，再结合已知∠ADC=∠AEB，将∠ADC拆分为∠ADE+∠BDC，通过等量代换消去公共角∠ADE，即可直接推出∠BDC和∠DAE相等，代入数值即可得到结果。
(2) 求CD的长度时，首先利用AE//BC的平行性质和AF=CF的条件，证明△BCF和△EAF全等，得到AE=BC；再构造辅助线，在BD上取点G使CG=CB，通过等腰三角形性质和外角性质导角，得到CG=EG，且∠CGD=∠AED，结合(1)得到的∠CDG=∠DAE，证明△DCG与△ADE相似，最后利用相似三角形对应边成比例列方程，舍去负根后即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 在△AED中，∠AEB是外角，根据三角形外角性质可得：
$∠ AEB = ∠ DAE + ∠ ADE$
已知$∠ ADC = ∠ AEB$，且$∠ ADC = ∠ ADE + ∠ BDC$，代入得：
$∠ ADE + ∠ BDC = ∠ DAE + ∠ ADE$
消去两边的$∠ ADE$，可得$∠ BDC = ∠ DAE$
$\because ∠ DAE=40°$，$\therefore ∠ BDC=40°$。
(2) $\because AE// BC$，$\therefore ∠ EBC=∠ AEB$（两直线平行，内错角相等）
在$△ BCF$和$△ EAF$中：
$\begin{cases}∠ EBC=∠ AEB \\∠ BFC=∠ EFA（对顶角相等） \\CF=AF（已知）\end{cases}$
$\therefore △ BCF≌△ EAF(\mathrm{AAS})$，$\therefore AE=BC$。
如图，在BD上取点G，使$CG=CB$，连接CG，根据等腰三角形两底角相等得$∠ CBG=∠ CGB$，
$\therefore ∠ CGB = ∠ AEB = 2∠ BEC$。
$\because ∠ CGB$是$△ CGE$的外角，$\therefore ∠ CGB = ∠ GCE + ∠ GEC$，
代入$∠ CGB=2∠ GEC$得：$2∠ GEC = ∠ GCE + ∠ GEC$，即$∠ GCE = ∠ GEC$，
$\therefore CG = EG$（等角对等边）。
设$AE=x$，则$BC=CG=EG=x$。
$\because ∠ CGD = 180°-∠ CGB$，$∠ AED = 180°-∠ AEB$，且$∠ CGB=∠ AEB$，
$\therefore ∠ CGD = ∠ AED$。
由(1)可知$∠ CDG = ∠ DAE$，
$\therefore △ DCG∽△ ADE$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{CD}{AD} = \frac{CG}{DE} = \frac{DG}{AE}$。
其中$DG=EG+DE=x+DE$，$AD=2$，代入得：
$\frac{CD}{2} = \frac{x}{DE} = \frac{x+DE}{x}$，
由$\frac{x}{DE} = \frac{CD}{2}$可得$\frac{DE}{x}=\frac{2}{CD}$，由$\frac{x+DE}{x}=1+\frac{DE}{x}=\frac{CD}{2}$，
代入$\frac{DE}{x}=\frac{2}{CD}$得：$\frac{CD}{2}=1+\frac{2}{CD}$，
两边同乘$2CD$整理得：$CD^2 - 2CD - 4 = 0$，
解得$CD=1+\sqrt{5}$（负值不符合边长要求，已舍去）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$
(2) $\boldsymbol{1+\sqrt{5}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了三角形外角性质、全等与相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是合理构造辅助线，通过导角得到角的等量关系，进而找到全等、相似的判定条件，最后结合比例关系列方程求解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
6 核心素养 推理能力 [2026安徽合肥瑶海区校级期中,难]在四边形ABCD中,点E为AB的中点,分别连接CE,DE.
(1)如图(1),若∠A=∠B,∠ADE=∠BEC.求证:AE²=AD·BC.
(2)如图(2),若∠DAB+∠B=90°,∠DEC=90°,AD=3,BC=1,求CD的长.
(1)如图(1),若∠A=∠B,∠ADE=∠BEC.求证:AE²=AD·BC.
(2)如图(2),若∠DAB+∠B=90°,∠DEC=90°,AD=3,BC=1,求CD的长.
答案
6. (1)【证明】
∵ ∠A = ∠B, ∠ADE = ∠BEC,
∴ △AED∽△BCE,
∴ $\frac{AE}{BC} = \frac{AD}{BE}$.
∵ E 为 AB 的中点,
∴ AE=BE,
∴ $\frac{AE}{BC} = \frac{AD}{AE}$,
∴ $AE^2 = AD·BC$.
(2)【解】如图,过点 A 作 AF//BC,交 CE 的延长线于点 F,连接 DF,
∴ ∠FAE = ∠B.
∵ AE=BE, ∠AEF=∠BEC,
∴ △AEF≌△BEC(ASA),
∴ AF=BC=1, EF=EC.
∵ ∠DAB + ∠B = 90°,
∴ ∠DAB + ∠BAF = 90°,
∴ ∠DAF = 90°,
∴ 由勾股定理得 $DF = \sqrt{AD^2 + AF^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.
∵ ∠DEC = 90°,
∴ DE 是 CF 的垂直平分线,
∴ CD=DF=$\sqrt{10}$.
解析
【分析】
(1)要证明$AE^2=AD·BC$，可先将等积式转化为比例式$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{AE}$，只需证明对应三角形相似即可。已知两组角对应相等，可证$△ AED ∼ △ BCE$，再结合E是AB中点，$AE=BE$，替换比例式中的BE即可推出结论。
(2)要求CD的长，需将CD与已知线段AD、BC转化到同一个直角三角形中计算。利用E是AB中点构造全等三角形：过A作$AF// BC$交CE延长线于F，先证$△ AEF ≌ △ BEC$，得到$AF=BC$、$EF=EC$；再结合角度条件推出$∠ DAF=90°$，用勾股定理算出DF的长度；最后由$∠ DEC=90°$可知DE垂直平分CF，根据垂直平分线的性质得$CD=DF$，即可求出CD的长。
【解析】
(1)证明：
∵ $∠ A = ∠ B$，$∠ ADE = ∠ BEC$，
∴ $△ AED ∽ △ BCE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AE}{BC} = \frac{AD}{BE}$。
∵ E为AB的中点，
∴ $AE=BE$，
∴ $\frac{AE}{BC} = \frac{AD}{AE}$，
∴ $AE^2 = AD·BC$。
(2)解：如图，过点A作$AF// BC$，交CE的延长线于点F，连接DF，
∴ $∠ FAE = ∠ B$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AE=BE$，$∠ AEF=∠ BEC$（对顶角相等），
∴ $△ AEF ≌ △ BEC(\mathrm{ASA})$，
∴ $AF=BC=1$，$EF=EC$。
∵ $∠ DAB + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ DAB + ∠ BAF = 90°$，即$∠ DAF = 90°$，
由勾股定理得 $DF = \sqrt{AD^2 + AF^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
∵ $∠ DEC = 90°$，即$DE ⊥ CF$，且$EF=EC$，
∴ DE是CF的垂直平分线，
∴ $CD=DF=\sqrt{10}$。
【答案】
(1)证明成立；
(2)CD的长为$\sqrt{10}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题第一问核心是掌握等积式转比例式、通过相似三角形证明的思路；第二问的突破口是构造全等三角形转化线段，结合垂直平分线性质和勾股定理求解，能较好地锻炼几何推理能力和综合应用知识的能力。
【难度系数】
0.3
(1)要证明$AE^2=AD·BC$，可先将等积式转化为比例式$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{AE}$，只需证明对应三角形相似即可。已知两组角对应相等，可证$△ AED ∼ △ BCE$，再结合E是AB中点，$AE=BE$，替换比例式中的BE即可推出结论。
(2)要求CD的长，需将CD与已知线段AD、BC转化到同一个直角三角形中计算。利用E是AB中点构造全等三角形：过A作$AF// BC$交CE延长线于F，先证$△ AEF ≌ △ BEC$，得到$AF=BC$、$EF=EC$；再结合角度条件推出$∠ DAF=90°$，用勾股定理算出DF的长度；最后由$∠ DEC=90°$可知DE垂直平分CF，根据垂直平分线的性质得$CD=DF$，即可求出CD的长。
【解析】
(1)证明：
∵ $∠ A = ∠ B$，$∠ ADE = ∠ BEC$，
∴ $△ AED ∽ △ BCE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AE}{BC} = \frac{AD}{BE}$。
∵ E为AB的中点，
∴ $AE=BE$，
∴ $\frac{AE}{BC} = \frac{AD}{AE}$，
∴ $AE^2 = AD·BC$。
(2)解：如图，过点A作$AF// BC$，交CE的延长线于点F，连接DF，
∴ $∠ FAE = ∠ B$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $AE=BE$，$∠ AEF=∠ BEC$（对顶角相等），
∴ $△ AEF ≌ △ BEC(\mathrm{ASA})$，
∴ $AF=BC=1$，$EF=EC$。
∵ $∠ DAB + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ DAB + ∠ BAF = 90°$，即$∠ DAF = 90°$，
由勾股定理得 $DF = \sqrt{AD^2 + AF^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$。
∵ $∠ DEC = 90°$，即$DE ⊥ CF$，且$EF=EC$，
∴ DE是CF的垂直平分线，
∴ $CD=DF=\sqrt{10}$。
【答案】
(1)证明成立；
(2)CD的长为$\sqrt{10}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题第一问核心是掌握等积式转比例式、通过相似三角形证明的思路；第二问的突破口是构造全等三角形转化线段，结合垂直平分线性质和勾股定理求解，能较好地锻炼几何推理能力和综合应用知识的能力。
【难度系数】
0.3
