3. 如图，$AB=AC$，$BD=CD$，$DE⊥AB$，交$AB$的延长线于点$E$，$DF⊥AC$，交$AC$的延长线于点$F$。求证：$DE=DF$。

3. 连接$AD$.在$△ ABD$和$△ ACD$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}\therefore△ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS}).$
$\therefore∠ BAD=∠ CAD,$即$AD$平分$∠ BAC.$又$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,\therefore DE=DF.$

4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$平分$∠ ABC$，$DE⊥ AB$于点$E$，若$AB=10$，$BC=8$，$AC=6$，求$BE$，$AE$的长和$△ AED$的周长.

4. $BE=8,AE=2$,$△ AED$的周长为$8.$

5. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点O. 求证:OE=OF.

5. 如图,过点$O$作$OH⊥ BC$于点$H$,$OG⊥ AB$于点$G$,$OK⊥ AC$于点$K$.
$\because∠ B=60°,\therefore∠ BAC+∠ BCA=120°.\because∠ BAC$,$∠ BCA$的平分线相交于点$O$,$\therefore∠ OAC=\frac{1}{2}∠ BAC,∠ OCA=\frac{1}{2}∠ ACB.$
$\therefore∠ OAC+∠ OCA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)=60°.\therefore∠ AOC=120°.\therefore∠ EOF=∠ AOC=120°.\because OH⊥ BC,OG⊥ AB,\therefore∠ B+∠ GOH=180°.\therefore∠ GOH=120°.\therefore∠ FOG=∠ EOH.\because∠ BAC,∠ ACB$的平分线相交于点$O$,$\therefore OK=OH,OK=OG.\therefore OH=OG.$在$△ FOG$和$△ EOH$中,$\begin{cases} OG=OH, \\ ∠ FOG=∠ EOH, \\ ∠ FGO=∠ OHE=90°, \end{cases}\therefore△ FOG≌△ EOH(\mathrm{ASA}).\therefore OE=OF.$