1[2026 山东滨州调研,中]我们在学习二次函数时,可借助二次函数图象解决一些关于一元二次不等式的问题,如图是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象,与x轴交点的横坐标分别是-1和5,所以$y＞0$的解集是$x＞5$或$x＜-1$;$y＜0$的解集是$-1＜x＜5$,所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式.例:解不等式$x^2＜4x+5$.
第一步,化为一般式:$x^2 -4x -5＜0$;
第二步,求相应方程的根:$x^2 -4x -5=0$,解得$x_1=5,x_2=-1$;
第三步,画出相应二次函数的图象:作二次函数$y=x^2 -4x -5$的图象();
第四步,根据图象得到不等式的解集为$-1＜x＜5$.
根据以上方法解决问题:
(1)一元二次不等式$x^2 -3x -4＞0$的解集为;
(2)一元二次不等式$x^2 +2x +3＞0$的解集为;
(3)一元二次不等式$x^2 +ax +b＜0$的解集为$-4＜x＜2$,则$a=$,$b=$;
(4)已知不等式$mx^2 +4mx -4＜0$对实数x都成立,则m的取值范围是.

1.【解】(1)令$x^2-3x-4=0$,解得$x_1=4,x_2=-1$.作二次函数$y=x^2-3x-4$的图象,如图,根据图象得到不等式$x^2-3x-4＞0$的解集为x＞4或x＜-1,故答案为x＞4或x＜-1.
(2)令$x^2+2x+3=0$,$\therefore \Delta=2^2-4×1×3=-8＜0$,$\therefore$方程无实数根,$\therefore$抛物线$y=x^2+2x+3$与x轴无交点.
作二次函数$y=x^2+2x+3$的图象,如图,$\therefore x^2+2x+3＞0$的解集为x为任意实数,故答案为x为任意实数.
(3)$\because$一元二次不等式$x^2+ax+b＜0$的解集为$-4＜x＜2$,$\therefore$易知$x^2+ax+b=0$的两个实数根为$x_1=-4,x_2=2$,$\therefore -a=-4+2,b=-4×2$,$\therefore a=2,b=-8$,故答案为2,-8.
(4)当$m=0$时,$-4＜0$,对实数x都成立.
当$m≠0$时,令$mx^2+4mx-4=0$,$\therefore \Delta=(4m)^2-4× m×(-4)=16m^2+16m$.
$\because$不等式$mx^2+4mx-4＜0$对实数x都成立,
$\therefore$抛物线开口向下,与x轴无交点,
$\therefore m＜0,\Delta＜0$,$\therefore \begin{cases}16m^2+16m＜0,\\m＜0,\end{cases}$解得$-1＜m＜0$.
综上可知,m的取值范围是$-1＜m≤0$,故答案为$-1＜m≤0$.

【分析】
解题时遵循题目给出的“化一般式→求对应方程根→结合函数图象性质→得解集”的思路：
1. 解第(1)问时，先求方程$x^2-3x-4=0$的两个根，二次函数开口向上，$y＞0$对应图象在x轴上方的区间，也就是两根之外的x的取值；
2. 解第(2)问时，先算判别式，发现对应方程没有实根，说明二次函数和x轴没有交点，又因为开口向上，所有点的y值都大于0，所以解集是全体实数；
3. 解第(3)问时，不等式解集是两根之间，说明对应方程的根就是-4和2，用根与系数的关系就能算出a和b的值；
4. 解第(4)问时，要先考虑二次项系数m是不是0：如果m=0，不等式变成常数不等式，判断是否成立；如果m≠0，就是二次函数，要让函数值恒小于0，需要开口向下，且和x轴没有交点，列不等式组求解后综合两种情况的结果。
【解析】
(1) 令$x^2-3x-4=0$，解得$x_1=4,x_2=-1$。作二次函数$y=x^2-3x-4$的图象，如图，二次函数开口向上，图象在x轴上方时$y＞0$，因此不等式$x^2-3x-4＞0$的解集为$x＞4$或$x＜-1$。
(2) 令$x^2+2x+3=0$，计算判别式$\Delta=2^2-4×1×3=-8＜0$，因此方程无实数根，抛物线$y=x^2+2x+3$与x轴无交点。作二次函数$y=x^2+2x+3$的图象，如图，函数开口向上，所有点的函数值都大于0，因此$x^2+2x+3＞0$的解集为x为任意实数。
(3) 一元二次不等式$x^2+ax+b＜0$的解集为$-4＜x＜2$，可知$x^2+ax+b=0$的两个实数根为$x_1=-4,x_2=2$，根据根与系数的关系得：$-a=-4+2$，$b=-4×2$，解得$a=2$，$b=-8$。
(4) 分两种情况讨论：
① 当$m=0$时，不等式变为$-4＜0$，对任意实数x都成立，符合要求；
② 当$m≠0$时，令$mx^2+4mx-4=0$，判别式$\Delta=(4m)^2-4× m×(-4)=16m^2+16m$。要使不等式对任意实数x成立，需要抛物线开口向下，且与x轴无交点，因此列不等式组$\begin{cases}16m^2+16m＜0\\m＜0\end{cases}$，解得$-1＜m＜0$。
综合两种情况，m的取值范围是$-1＜m≤0$。
【答案】
(1) $x＞4$或$x＜-1$
(2) x为任意实数
(3) $2$；$-8$
(4) $-1＜m≤0$
【知识点】
二次函数与不等式的关系，根与系数的关系，不等式恒成立问题
【点评】
本题考查二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的结合，核心是数形结合思想的应用，解题时要注意特殊情况的讨论：含参数的二次项系数不确定时，要先判断系数是否为0，避免漏解。
【难度系数】
0.7

2[2026内蒙古赤峰质检,中]如图,有一堵长为50米的墙MN,某工程队想借助这堵墙用铁皮栅栏围成一个长方形场地ABCD,中间再用铁皮栅栏分割形成两个长方形,现有总长为120米的铁皮栅栏(厚度不计,全部用完),设AB = x米.
(1)BC长为米,长方形ABCD的面积为平方米.(用含x的代数式表示)
(2)若围成的长方形场地ABCD的面积为1 125平方米,求AB的长.
(3)若工程队想在BC边上用其他材料做两个门,每个门的宽均为1.5米.问能否使长方形ABCD的面积为1 290平方米?如果能,请求出AB的长;如果不能,请说明理由.
(4)如果墙MN足够长,求AB的长为多少时可使工程队围成的长方形场地面积最大.

2.【解】(1)已知AB=x米,则BC=(120-3x)米,长方形ABCD的面积为x(120-3x)平方米,故答案为(120-3x),x(120-3x).
(2)根据题意得x(120-3x)=1 125,整理得$x^2-40x+375=0$,解得$x_1=25,x_2=15$.
当x=25时,120-3x=45＜50;当x=15时,120-3x=75＞50,不符合题意,舍去.
答:AB的长为25米.
(3)不能.理由:根据题意得x(120-3x+1.5×2)=1 290,整理得$x^2-41x+430=0$,$\Delta=41^2-4×430=-39＜0$,$\therefore$方程没有实数根.
$\therefore$不能使长方形ABCD的面积为1 290平方米.
(4)设长方形场地面积为y平方米.依题意得$y=x(120-3x)=-3x^2+120x=-3(x-20)^2+1 200$.
$\because -3＜0$,$\therefore$当x=20时,y有最大值,最大值为1 200.
答:AB的长为20米时,可使工程队围成的长方形场地面积最大.

【分析】
本题是结合实际围墙围长方形的应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：观察栅栏构成，垂直于墙MN的边有AB、中间分隔栏、CD共3条，长度均为x米，总栅栏长120米，因此平行于墙的BC边长等于总栅栏长减去3条垂直边的长度，再根据长方形面积公式即可写出面积的代数式，后续求解要注意BC长度不能超过墙长50米，需验证取值合理性。
2. 第(2)问：直接利用第(1)问的面积代数式等于1125列一元二次方程求解，得到解后验证对应的BC长度是否符合墙长限制，舍去不符合实际的解。
3. 第(3)问：BC边上两个1.5米的门相当于平行于墙的边可增加3米长度，修正BC的长度表达式后列面积等于1290的方程，通过计算判别式判断方程是否有实数根，即可判断能否达到对应面积。
4. 第(4)问：将面积表示为关于x的二次函数，通过配方法化为顶点式，结合二次函数开口方向即可求出最大值对应的x值，本题墙足够长无需考虑BC的上限。
【解析】
(1) 已知AB=x米，垂直于墙的栅栏共3段，总长度为3x米，总栅栏长120米，因此BC的长度为$\boldsymbol{(120-3x)}$米；
长方形面积=AB×BC，因此面积为$\boldsymbol{x(120-3x)}$平方米。
(2) 根据题意列方程：
$x(120-3x)=1125$
整理得：$x^2-40x+375=0$
解得：$x_1=25$，$x_2=15$
验证：当x=25时，$BC=120-3×25=45$米，$45＜50$，符合墙长要求；
当x=15时，$BC=120-3×15=75$米，$75＞50$，超过墙长，不符合题意，舍去。
因此AB的长为25米。
(3) 不能，理由如下：
BC边上两个门总宽度为$1.5×2=3$米，因此BC的长度可表示为$(120-3x+3)$米，根据题意列方程：
$x(120-3x+3)=1290$
整理得：$x^2-41x+430=0$
计算判别式：$\Delta=41^2-4×1×430=1681-1720=-39＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，故不能使长方形ABCD的面积为1290平方米。
(4) 设长方形场地面积为y平方米，根据题意得：
$y=x(120-3x)=-3x^2+120x$
配方得：$y=-3(x^2-40x)=-3(x-20)^2+1200$
$\because -3＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当x=20时，y取得最大值1200。
即AB的长为20米时，围成的长方形场地面积最大。
【答案】
(1) $\boxed{(120-3x)}$；$\boxed{x(120-3x)}$
(2) $\boxed{25}$米
(3) 不能，理由见解析
(4) $\boxed{20}$米
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际生活场景，综合考查了代数式表示、一元二次方程的求解与实际验证、判别式的应用以及二次函数求最值的知识，解题时要注意结合实际情况对解的合理性进行检验，避免忽略限制条件出现错误。
【难度系数】
0.6

3[2026吉林长春质检,中]如图,某学校计划在一块足够大的场地上利用已有的直角墙角建造一个矩形花圃,已知墙$AE=6\ \mathrm{m},AF=10\ \mathrm{m}$.
(1)如图(1),若矩形花圃使用的篱笆总长为12 m,花圃两边靠墙,其余两边用篱笆围成,围成的花圃面积为$35\ \mathrm{m}^2$,求这个花圃较短边的长度;
(2)如图(2),若矩形花圃使用的篱笆总长为36 m,花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成,另一边AB由墙AE和篱笆BE构成,其余两边BC,CD由剩下的篱笆围成.设篱笆BC的长为m m,围成的花圃面积为$S\ \mathrm{m}^2$.求当m的值为多少时,围成的花圃面积最大,最大面积为多少.

3.【解】(1)设这个花圃较短边的长度为x m.
由题意得,x(12-x)=35,解得$x_1=5,x_2=7$.
当x=5时,较长边的长度为12-5=7(m),符合题意;
当x=7时,较长边的长度为12-7=5(m),不合题意.
答:这个花圃较短边的长度为5 m.
(2)由题意知,矩形花圃的周长为36+AE+AF=36+6+10=52(m),$\therefore AB+AD=\frac{52}{2}=26(m)$.
设篱笆BE的长为y m,则AB=AE+BE=(6+y)m,AD=26-AB=(20-y)m,$\therefore$花圃面积$S=AB· AD=(20-y)(6+y)=-(y-7)^2+169$.
$\because -1＜0$,$\therefore$当y=7时,S取得最大值169,此时m=20-7=13,即当m的值为13时,围成的花圃面积最大,最大面积为$169\ \mathrm{m}^2$.

【分析】
(1) 第一问中，矩形花圃两边靠墙，篱笆总长为不靠墙的两条邻边之和。设较短边长为x m，则较长边长为(12-x)m，根据矩形面积公式列方程求解，最后结合“较短边”的要求舍去不符合题意的解即可。
(2) 第二问首先梳理边长关系：矩形总周长等于篱笆总长加两段墙的长度，由此可得矩形一组邻边的和为26 m。引入变量表示其中一边的长度，结合矩形面积公式得到面积关于变量的二次函数，再根据二次函数的性质求最大值，最后换算得到m的值即可。
【解析】
(1) 设这个花圃较短边的长度为x m，则较长边的长度为(12-x) m。
由题意得$x(12-x)=35$，
整理为$x^2-12x+35=0$，解得$x_1=5,x_2=7$。
当x=5时，较长边长度为$12-5=7\ \mathrm{m}$，5＜7，符合较短边的要求；
当x=7时，较长边长度为$12-7=5\ \mathrm{m}$，7＞5，不符合较短边的设定，舍去。
(2) 由题意知，矩形花圃的总周长为$36+AE+AF=36+6+10=52\ \mathrm{m}$，因此矩形一组邻边的和$AB+AD=\frac{52}{2}=26\ \mathrm{m}$。
设篱笆BE的长为y m，则$AB=AE+BE=(6+y)\ \mathrm{m}$，$AD=26-AB=(20-y)\ \mathrm{m}$，其中$BC=AD=m$。
花圃面积$S=AB· AD=(6+y)(20-y)=-(y-7)^2+169$。
$\because -1＜0$，二次函数开口向下，$\therefore$当$y=7$时，S取得最大值169，此时$m=20-y=20-7=13$。
【答案】
(1) 这个花圃较短边的长度为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
(2) 当$\boldsymbol{m=13}$时，围成的花圃面积最大，最大面积为$\boldsymbol{169\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查代数知识的应用，第一问需要注意根据实际要求取舍方程的解，第二问需要准确梳理各边数量关系，建立正确的函数模型求解，是典型的代数实际应用类题型。
【难度系数】
0.6