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1[2025 山东威海中考]已知点$(-2,y_{1}),(3,y_{2})$，$(7,y_{3})$都在二次函数$y=-(x-2)^{2}+c$的图象上，则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是（
A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
C.$y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$
D.$y_{3}＞y_{2}＞y_{1}$
C
）A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
C.$y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$
D.$y_{3}＞y_{2}＞y_{1}$
答案
1.C 【解析】
∵二次函数表达式为$y=-(x-2)^2+c$，
∴二次函数$y=-(x-2)^2+c$的图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，
∴离对称轴越近，函数值越大.
∵$|-2-2|=4,|3-2|=1,|7-2|=5,$且 $1＜4＜5$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$，故选 C.
∵二次函数表达式为$y=-(x-2)^2+c$，
∴二次函数$y=-(x-2)^2+c$的图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，
∴离对称轴越近，函数值越大.
∵$|-2-2|=4,|3-2|=1,|7-2|=5,$且 $1＜4＜5$，
∴$y_2＞y_1＞y_3$，故选 C.
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，首先需明确二次函数的开口方向和对称轴：开口方向决定函数值随点到对称轴距离的变化规律，对称轴是判断各点距离的参照。第一步先从给定的二次函数顶点式中提取开口方向和对称轴信息；第二步分别计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离；第三步根据“开口向下时，点到对称轴距离越近，函数值越大”的规律，比较距离大小即可得到对应函数值的大小关系。
【解析】
∵ 二次函数的表达式为$y=-(x-2)^2+c$，
∴ 该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，
∴ 抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大。
分别计算三个点到对称轴$x=2$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离为$|-2-2|=4$，
点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3-2|=1$，
点$(7,y_3)$到对称轴的距离为$|7-2|=5$，
∵ $1＜4＜5$，
∴ 对应的函数值大小为$y_2＞y_1＞y_3$，故选C。
【答案】C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；函数值比较
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，无需代入解析式计算具体数值，只需结合开口方向、对称轴，利用抛物线上点的位置和函数值的对应关系即可快速求解，核心考查对二次函数基本性质的理解和应用。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，首先需明确二次函数的开口方向和对称轴：开口方向决定函数值随点到对称轴距离的变化规律，对称轴是判断各点距离的参照。第一步先从给定的二次函数顶点式中提取开口方向和对称轴信息；第二步分别计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离；第三步根据“开口向下时，点到对称轴距离越近，函数值越大”的规律，比较距离大小即可得到对应函数值的大小关系。
【解析】
∵ 二次函数的表达式为$y=-(x-2)^2+c$，
∴ 该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线$x=2$，
∴ 抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大。
分别计算三个点到对称轴$x=2$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离为$|-2-2|=4$，
点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3-2|=1$，
点$(7,y_3)$到对称轴的距离为$|7-2|=5$，
∵ $1＜4＜5$，
∴ 对应的函数值大小为$y_2＞y_1＞y_3$，故选C。
【答案】C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数对称轴；函数值比较
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，无需代入解析式计算具体数值，只需结合开口方向、对称轴，利用抛物线上点的位置和函数值的对应关系即可快速求解，核心考查对二次函数基本性质的理解和应用。
【难度系数】
0.8
2[2025安徽中考]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则（
A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
C
）A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
答案
2.C 【解析】
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$.
∵抛物线对称轴在$y$轴右侧，
∴$-\frac{b}{2a}＞0$,
∴$b＜0$.
∵抛物线与$y$轴交于负半轴，
∴$c＜0$,
∴$abc＞0$,故 A 选项错误. 由题图易知 $-\frac{b}{2a}＜1$,
∴$-b＜2a$,
∴$2a+b＞0$,故 B 选项错误.
∵抛物线过点$(2,0)$,
∴$4a+2b+c=0$,
∴$c=-4a-2b$,
∴$2b-c=2b+4a+2b=4(a+b)$. 由题图易知 $-\frac{b}{2a}＞\frac{1}{2}$,
∴$a+b＜0$,
∴$2b-c＜0$,故 C 选项正确. 由图象可知,当$x=-1$时,$y＞0$,
∴$a-b+c＞0$,故 D 选项错误. 故选 C.
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$.
∵抛物线对称轴在$y$轴右侧，
∴$-\frac{b}{2a}＞0$,
∴$b＜0$.
∵抛物线与$y$轴交于负半轴，
∴$c＜0$,
∴$abc＞0$,故 A 选项错误. 由题图易知 $-\frac{b}{2a}＜1$,
∴$-b＜2a$,
∴$2a+b＞0$,故 B 选项错误.
∵抛物线过点$(2,0)$,
∴$4a+2b+c=0$,
∴$c=-4a-2b$,
∴$2b-c=2b+4a+2b=4(a+b)$. 由题图易知 $-\frac{b}{2a}＞\frac{1}{2}$,
∴$a+b＜0$,
∴$2b-c＜0$,故 C 选项正确. 由图象可知,当$x=-1$时,$y＞0$,
∴$a-b+c＞0$,故 D 选项错误. 故选 C.
解析
【分析】
要解决这类二次函数图象对应系数不等式的问题，可按以下思路分析：第一步，先通过抛物线开口方向确定a的符号，结合“对称轴左同右异”的规律确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，先判断符号类选项；第二步，结合对称轴的取值范围，变形后判断和a、b相关的不等式；第三步，利用抛物线与x轴的交点坐标代入解析式得到a、b、c的等量关系，结合对称轴的其他范围推导复杂不等式；第四步，代入x=±1等特殊值，根据对应函数值的符号判断相关不等式，逐个排除错误选项即可得到答案。
【解析】
解：①先确定a、b、c的符号：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵抛物线对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$。
②逐个分析选项：
A选项：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，因此$abc＞0$，A错误；
B选项：由图象可知抛物线对称轴在x=1左侧，即$-\frac{b}{2a}＜1$，
∵$a＞0$，两边同乘$2a$不等号方向不变，得$-b＜2a$，移项得$2a+b＞0$，B错误；
C选项：
∵抛物线过点$(2,0)$，代入解析式得$4a+2b+c=0$，整理得$c=-4a-2b$，
则$2b-c=2b-(-4a-2b)=4a+4b=4(a+b)$；
又由图象可知抛物线对称轴在$x=\frac{1}{2}$右侧，即$-\frac{b}{2a}＞\frac{1}{2}$，两边同乘$2a$得$-b＞a$，移项得$a+b＜0$，
∴$4(a+b)＜0$，即$2b-c＜0$，C正确；
D选项：由图象可知，当$x=-1$时，对应函数值在x轴上方，即$y＞0$，代入$x=-1$得$y=a-b+c＞0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数上点的坐标特征；不等式的性质
【点评】
本题是二次函数图象的典型考法，需要将图象的几何特征（开口、对称轴、交点）和代数表达式结合分析，解题时要注意不等式变形时不等号方向的变化，结合特殊点的函数值推导关系是解题关键。
【难度系数】
0.6
要解决这类二次函数图象对应系数不等式的问题，可按以下思路分析：第一步，先通过抛物线开口方向确定a的符号，结合“对称轴左同右异”的规律确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，先判断符号类选项；第二步，结合对称轴的取值范围，变形后判断和a、b相关的不等式；第三步，利用抛物线与x轴的交点坐标代入解析式得到a、b、c的等量关系，结合对称轴的其他范围推导复杂不等式；第四步，代入x=±1等特殊值，根据对应函数值的符号判断相关不等式，逐个排除错误选项即可得到答案。
【解析】
解：①先确定a、b、c的符号：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵抛物线对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$。
②逐个分析选项：
A选项：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，因此$abc＞0$，A错误；
B选项：由图象可知抛物线对称轴在x=1左侧，即$-\frac{b}{2a}＜1$，
∵$a＞0$，两边同乘$2a$不等号方向不变，得$-b＜2a$，移项得$2a+b＞0$，B错误；
C选项：
∵抛物线过点$(2,0)$，代入解析式得$4a+2b+c=0$，整理得$c=-4a-2b$，
则$2b-c=2b-(-4a-2b)=4a+4b=4(a+b)$；
又由图象可知抛物线对称轴在$x=\frac{1}{2}$右侧，即$-\frac{b}{2a}＞\frac{1}{2}$，两边同乘$2a$得$-b＞a$，移项得$a+b＜0$，
∴$4(a+b)＜0$，即$2b-c＜0$，C正确；
D选项：由图象可知，当$x=-1$时，对应函数值在x轴上方，即$y＞0$，代入$x=-1$得$y=a-b+c＞0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数上点的坐标特征；不等式的性质
【点评】
本题是二次函数图象的典型考法，需要将图象的几何特征（开口、对称轴、交点）和代数表达式结合分析，解题时要注意不等式变形时不等号方向的变化，结合特殊点的函数值推导关系是解题关键。
【难度系数】
0.6
3[2025上海中考]将函数$y=3x^2$的图象向下平移2个单位后，得到的新函数图象的表达式为
$y=3x^2-2$
.答案
3.$y=3x^2-2$ 【解析】
∵将函数$y=3x^2$的图象向下平移2个单位,
∴平移后的新函数图象的表达式为$y=3x^2-2$. 故答案为 $y=3x^2-2$.
∵将函数$y=3x^2$的图象向下平移2个单位,
∴平移后的新函数图象的表达式为$y=3x^2-2$. 故答案为 $y=3x^2-2$.
解析
【分析】
解决本题需先回忆函数图象平移的规律：上下平移时对函数的常数项执行“上加下减”的操作，即图象向上平移n个单位就在原函数表达式末尾加n，向下平移n个单位就在原函数表达式末尾减n。本题是将二次函数图象向下平移2个单位，直接套用该规律即可求出新函数的表达式。
【解析】
根据函数图象上下平移“上加下减”的规律：
将函数$y=3x^2$的图象向下平移2个单位，即把原函数的函数值整体减去2，
因此平移后得到的新函数图象的表达式为$y=3x^2 - 2$。
【答案】
$y=3x^2-2$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题是基础常考题，核心考查函数图象的平移规则，牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解决本题需先回忆函数图象平移的规律：上下平移时对函数的常数项执行“上加下减”的操作，即图象向上平移n个单位就在原函数表达式末尾加n，向下平移n个单位就在原函数表达式末尾减n。本题是将二次函数图象向下平移2个单位，直接套用该规律即可求出新函数的表达式。
【解析】
根据函数图象上下平移“上加下减”的规律：
将函数$y=3x^2$的图象向下平移2个单位，即把原函数的函数值整体减去2，
因此平移后得到的新函数图象的表达式为$y=3x^2 - 2$。
【答案】
$y=3x^2-2$
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题是基础常考题，核心考查函数图象的平移规则，牢记“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移口诀即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4[2025河南中考]在二次函数$y=ax^2+bx-2$中，x与y的几组对应值如下表所示.
(1)求二次函数的表达式.
(2)求二次函数图象的顶点坐标,并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后,当$0≤x≤3$时,若图象对应的函数最大值与最小值的差为5,请直接写出n的值.
(1)求二次函数的表达式.
(2)求二次函数图象的顶点坐标,并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后,当$0≤x≤3$时,若图象对应的函数最大值与最小值的差为5,请直接写出n的值.
答案
4.【解】(1)把$(-2,-2)$和$(1,1)$代入$y=ax^2+bx-2$,得$\begin{cases}4a-2b-2=-2,\\a+b-2=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=x^2+2x-2$.(2)将$y=x^2+2x-2$配方,得$y=(x+1)^2-3$,
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$.图象如图所示：
(3)$4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$.抛物线向右平移$n$个单位长度后,得到抛物线$y=(x+1-n)^2-3$,则平移后的抛物线的对称轴是直线$x=n-1$,抛物线开口向上.①当$n-1≥3$时,$n≥4$,此时当$x=0$时,$y$取得最大值,为$(1-n)^2-3$;当$x=3$时,$y$取得最小值,为$(4-n)^2-3$.又∵最大值与最小值的差为5,
∴$(1-n)^2-3-(4-n)^2+3=5$,
∴$n=\frac{10}{3}$(不合题意,舍去).②当$0＜n-1＜3$时,$1＜n＜4$,此时当$x=0$时,$y=(1-n)^2-3$;当$x=3$时,$y=(4-n)^2-3$;当$x=n-1$时,$y$取得最小值,为$-3$.又
∵最大值与最小值的差为5,
∴当$(1-n)^2-3+3=5$时,解得$n=1-\sqrt{5}$(不合题意,舍去)或$1+\sqrt{5}$;当$(4-n)^2-3+3=5$时,解得$n=4+\sqrt{5}$(不合题意,舍去)或$4-\sqrt{5}$.③当$n-1≤0$且$n＞0$时,$0＜n≤1$,此时当$x=0$时,$y$取得最小值,为$(1-n)^2-3$;当$x=3$时,$y$取得最大值,为$(4-n)^2-3$.又
∵最大值与最小值的差为5,
∴$(4-n)^2-3-(1-n)^2+3=5$,
∴$n=\frac{5}{3}$(不合题意,舍去).综上,$n=1+\sqrt{5}$或$4-\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式时，已知解析式为$y=ax^2+bx-2$，仅含有a、b两个未知系数，因此选取两个已知点的坐标代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2) 求顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，直接得到顶点坐标为$(h,k)$；画图象时选取顶点、与坐标轴交点等特征点，用平滑曲线连接即可。
(3) 二次函数向右平移遵循“左加右减”的规律，可先写出平移后的解析式，确定其对称轴。由于抛物线开口向上，区间$0≤x≤3$内的最值和对称轴与区间的位置关系相关，因此分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况讨论，分别表示出最大值和最小值，根据最值差为5列方程求解，舍去不符合范围的解即可得到n的值。
【解析】
(1) 把点$(-2,-2)$和$(1,1)$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a-2b-2=-2\\a+b-2=1\end{cases}$
化简得$\begin{cases}2a-b=0\\a+b=3\end{cases}$，两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a+b=3$得$b=2$。
∴二次函数的表达式为$y=x^2+2x-2$。
(2) 将$y=x^2+2x-2$配方：
$y=x^2+2x+1-3=(x+1)^2-3$
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
图象如图所示：
(3) 抛物线向右平移n个单位长度后，得到解析式为$y=(x+1-n)^2-3$，对称轴为直线$x=n-1$，抛物线开口向上。
① 当$n-1≥3$即$n≥4$时，$0≤x≤3$内y随x增大而减小：
x=0时取最大值$(1-n)^2-3$，x=3时取最小值$(4-n)^2-3$，列方程：
$(1-n)^2-3-[(4-n)^2-3]=5$，解得$n=\frac{10}{3}$，不符合$n≥4$，舍去。
② 当$0＜n-1＜3$即$1＜n＜4$时，x=n-1时取最小值-3，最大值为x=0或x=3处的函数值：
若x=0处取最大值：$(1-n)^2-3 - (-3)=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$（$n=1-\sqrt{5}$不符合范围，舍去）；
若x=3处取最大值：$(4-n)^2-3 - (-3)=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$（$n=4+\sqrt{5}$不符合范围，舍去）。
③ 当$n-1≤0$即$n≤1$时，$0≤x≤3$内y随x增大而增大：
x=3时取最大值$(4-n)^2-3$，x=0时取最小值$(1-n)^2-3$，列方程：
$(4-n)^2-3-[(1-n)^2-3]=5$，解得$n=\frac{5}{3}$，不符合$n≤1$，舍去。
综上可得n的值为$1+\sqrt{5}$或$4-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2+2x-2}$
(2) 顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$，图象如下：
(3) $\boldsymbol{4-\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{1+\sqrt{5}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的平移
【点评】
本题前两问为基础题型，考查二次函数解析式求解、顶点坐标计算的基础技能；第三问为平移背景下的区间最值问题，需要结合二次函数单调性分类讨论对称轴和区间的位置关系，解题时要注意验证解是否符合对应分类的范围，避免多解或漏解，侧重考查分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.5
(1) 求二次函数表达式时，已知解析式为$y=ax^2+bx-2$，仅含有a、b两个未知系数，因此选取两个已知点的坐标代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2) 求顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，直接得到顶点坐标为$(h,k)$；画图象时选取顶点、与坐标轴交点等特征点，用平滑曲线连接即可。
(3) 二次函数向右平移遵循“左加右减”的规律，可先写出平移后的解析式，确定其对称轴。由于抛物线开口向上，区间$0≤x≤3$内的最值和对称轴与区间的位置关系相关，因此分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况讨论，分别表示出最大值和最小值，根据最值差为5列方程求解，舍去不符合范围的解即可得到n的值。
【解析】
(1) 把点$(-2,-2)$和$(1,1)$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a-2b-2=-2\\a+b-2=1\end{cases}$
化简得$\begin{cases}2a-b=0\\a+b=3\end{cases}$，两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a+b=3$得$b=2$。
∴二次函数的表达式为$y=x^2+2x-2$。
(2) 将$y=x^2+2x-2$配方：
$y=x^2+2x+1-3=(x+1)^2-3$
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
图象如图所示：
(3) 抛物线向右平移n个单位长度后，得到解析式为$y=(x+1-n)^2-3$，对称轴为直线$x=n-1$，抛物线开口向上。
① 当$n-1≥3$即$n≥4$时，$0≤x≤3$内y随x增大而减小：
x=0时取最大值$(1-n)^2-3$，x=3时取最小值$(4-n)^2-3$，列方程：
$(1-n)^2-3-[(4-n)^2-3]=5$，解得$n=\frac{10}{3}$，不符合$n≥4$，舍去。
② 当$0＜n-1＜3$即$1＜n＜4$时，x=n-1时取最小值-3，最大值为x=0或x=3处的函数值：
若x=0处取最大值：$(1-n)^2-3 - (-3)=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$（$n=1-\sqrt{5}$不符合范围，舍去）；
若x=3处取最大值：$(4-n)^2-3 - (-3)=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$（$n=4+\sqrt{5}$不符合范围，舍去）。
③ 当$n-1≤0$即$n≤1$时，$0≤x≤3$内y随x增大而增大：
x=3时取最大值$(4-n)^2-3$，x=0时取最小值$(1-n)^2-3$，列方程：
$(4-n)^2-3-[(1-n)^2-3]=5$，解得$n=\frac{5}{3}$，不符合$n≤1$，舍去。
综上可得n的值为$1+\sqrt{5}$或$4-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2+2x-2}$
(2) 顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$，图象如下：
(3) $\boldsymbol{4-\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{1+\sqrt{5}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的平移
【点评】
本题前两问为基础题型，考查二次函数解析式求解、顶点坐标计算的基础技能；第三问为平移背景下的区间最值问题，需要结合二次函数单调性分类讨论对称轴和区间的位置关系，解题时要注意验证解是否符合对应分类的范围，避免多解或漏解，侧重考查分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.5
5[2025福建中考]在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象过点$A(1,t),B(2,t)$.
(1)求$\dfrac{b}{a}$的值.
(2)已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\dfrac{3}{4}a^2$.
(i)求该二次函数的表达式；
(ii)若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点,且$m≠0$,求证:$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$.
(1)求$\dfrac{b}{a}$的值.
(2)已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\dfrac{3}{4}a^2$.
(i)求该二次函数的表达式；
(ii)若$M(x_1,m),N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点,且$m≠0$,求证:$\dfrac{(x_1-1)^2}{m}=\dfrac{x_2-2}{x_1-2}$.
答案
5.(1)【解】
∵点$A(1,t)$和$B(2,t)$在二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象上,
∴点$A(1,t)$和$B(2,t)$关于抛物线的对称轴对称,
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$,
∴$\frac{b}{a}=-3$.(2)(i)【解】由$\frac{b}{a}=-3$得$b=-3a$,
∴抛物线的表达式为$y=ax^2+bx-2=ax^2-3ax-2=a(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}a-2$,
∴抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$.
∵函数的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$,
∴$a＜0$,$-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$,解得$a=-1$或$a=4$(舍去),
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+3x-2$.(ii)【证明】
∵点$M(x_1,m)$和$N(x_2,m)$在该二次函数图象上,
∴$m=-x_1^2+3x_1-2$,$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3}{2}$,
∴$x_1+x_2=3$,
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1^2-3x_1+2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-(x_1-1)-(x_2-2)}{x_1-2}=\frac{-(x_1+x_2)+3}{x_1-2}=\frac{-3+3}{x_1-2}=0$,
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$.
∵点$A(1,t)$和$B(2,t)$在二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象上,
∴点$A(1,t)$和$B(2,t)$关于抛物线的对称轴对称,
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$,
∴$\frac{b}{a}=-3$.(2)(i)【解】由$\frac{b}{a}=-3$得$b=-3a$,
∴抛物线的表达式为$y=ax^2+bx-2=ax^2-3ax-2=a(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}a-2$,
∴抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$.
∵函数的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$,
∴$a＜0$,$-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$,解得$a=-1$或$a=4$(舍去),
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+3x-2$.(ii)【证明】
∵点$M(x_1,m)$和$N(x_2,m)$在该二次函数图象上,
∴$m=-x_1^2+3x_1-2$,$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3}{2}$,
∴$x_1+x_2=3$,
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1^2-3x_1+2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-(x_1-1)-(x_2-2)}{x_1-2}=\frac{-(x_1+x_2)+3}{x_1-2}=\frac{-3+3}{x_1-2}=0$,
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$.
解析
【分析】
(1) 已知A、B两点纵坐标相同，说明两点关于抛物线对称轴对称，先计算两点横坐标的平均值得到抛物线对称轴，再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，即可求出$\frac{b}{a}$的值。
(2)(i) 由(1)得到b与a的数量关系，将二次函数解析式转化为顶点式，函数存在最大值说明抛物线开口向下，即$a＜0$，顶点纵坐标就是函数最大值，据此列方程求解a，舍去不符合题意的正根即可得到函数表达式。
(ii) M、N两点纵坐标相同，说明两点关于对称轴对称，可得$x_1+x_2=3$，同时m可通过点M的坐标代入解析式用$x_1$表示，将待证等式左右两边作差，把$x_2=3-x_1$和m的表达式代入差式化简，若差为0即可证明等式成立。
【解析】
(1)
∵点$A(1,t)$和$B(2,t)$在二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象上，
∴点$A(1,t)$和$B(2,t)$关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{b}{a}=-3$。
(2)(i) 由$\frac{b}{a}=-3$得$b=-3a$，
∴抛物线的表达式为$y=ax^2+bx-2=ax^2-3ax-2=a(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}a-2$，
∴抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$。
∵函数的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$，
∴$a＜0$，$-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$，解得$a=-1$或$a=4$(舍去)，
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+3x-2$。
(ii) 证明：
∵点$M(x_1,m)$和$N(x_2,m)$在该二次函数图象上，
∴$m=-x_1^2+3x_1-2$，$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3}{2}$，
∴$x_1+x_2=3$，
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1^2-3x_1+2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-(x_1-1)-(x_2-2)}{x_1-2}=\frac{-(x_1+x_2)+3}{x_1-2}=\frac{-3+3}{x_1-2}=0$，
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$。
【答案】
(1) $\frac{b}{a}=-3$；(2)(i) $y=-x^2+3x-2$；(ii) 等式成立，证明如上。
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题围绕二次函数核心性质设计考点，前两问侧重基础性质的直接应用，最后一问需要结合对称性完成代数式的变形推导，能够有效考查学生对二次函数知识的掌握程度和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知A、B两点纵坐标相同，说明两点关于抛物线对称轴对称，先计算两点横坐标的平均值得到抛物线对称轴，再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，即可求出$\frac{b}{a}$的值。
(2)(i) 由(1)得到b与a的数量关系，将二次函数解析式转化为顶点式，函数存在最大值说明抛物线开口向下，即$a＜0$，顶点纵坐标就是函数最大值，据此列方程求解a，舍去不符合题意的正根即可得到函数表达式。
(ii) M、N两点纵坐标相同，说明两点关于对称轴对称，可得$x_1+x_2=3$，同时m可通过点M的坐标代入解析式用$x_1$表示，将待证等式左右两边作差，把$x_2=3-x_1$和m的表达式代入差式化简，若差为0即可证明等式成立。
【解析】
(1)
∵点$A(1,t)$和$B(2,t)$在二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象上，
∴点$A(1,t)$和$B(2,t)$关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{b}{a}=-3$。
(2)(i) 由$\frac{b}{a}=-3$得$b=-3a$，
∴抛物线的表达式为$y=ax^2+bx-2=ax^2-3ax-2=a(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}a-2$，
∴抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{9}{4}a-2)$。
∵函数的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$，
∴$a＜0$，$-\frac{9}{4}a-2=1-\frac{3}{4}a^2$，解得$a=-1$或$a=4$(舍去)，
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+3x-2$。
(ii) 证明：
∵点$M(x_1,m)$和$N(x_2,m)$在该二次函数图象上，
∴$m=-x_1^2+3x_1-2$，$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3}{2}$，
∴$x_1+x_2=3$，
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2(x_1-2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{(x_1-1)(x_1^2-3x_1+2)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-m(x_1-1)-m(x_2-2)}{m(x_1-2)}=\frac{-(x_1-1)-(x_2-2)}{x_1-2}=\frac{-(x_1+x_2)+3}{x_1-2}=\frac{-3+3}{x_1-2}=0$，
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$。
【答案】
(1) $\frac{b}{a}=-3$；(2)(i) $y=-x^2+3x-2$；(ii) 等式成立，证明如上。
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题围绕二次函数核心性质设计考点，前两问侧重基础性质的直接应用，最后一问需要结合对称性完成代数式的变形推导，能够有效考查学生对二次函数知识的掌握程度和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
6[2025陕西中考]在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2-2ax+a-3(a≠0)$的图象与$x$轴有两个交点,且这两个交点分别位于$y$轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是（
A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时,$y$的值随$x$值的增大而增大
C.函数的最小值小于$-3$
D.当$x=2$时,$y＜0$
D
）A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时,$y$的值随$x$值的增大而增大
C.函数的最小值小于$-3$
D.当$x=2$时,$y＜0$
答案
6.D 【解析】由题意可得,方程$ax^2-2ax+a-3=0(a≠0)$的两根异号,
∴$x_1x_2=\frac{a-3}{a}＜0$,解得$0＜a＜3$,
∴二次项系数$a＞0$,
∴图象开口向上,故A不符合题意;
∵抛物线$y=ax^2-2ax+a-3(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,
∴当$x＞1$时,$y$的值随$x$值的增大而增大,故B不符合题意;
∵当$x=1$时,$y=a-2a+a-3=-3$,
∴函数的最小值为$-3$,故C不符合题意;当$x=2$时,$y=4a-4a+a-3=a-3$.
∵$0＜a＜3$,
∴$a-3＜0$,即当$x=2$时,$y＜0$,故D符合题意.故选 D.
∴$x_1x_2=\frac{a-3}{a}＜0$,解得$0＜a＜3$,
∴二次项系数$a＞0$,
∴图象开口向上,故A不符合题意;
∵抛物线$y=ax^2-2ax+a-3(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,
∴当$x＞1$时,$y$的值随$x$值的增大而增大,故B不符合题意;
∵当$x=1$时,$y=a-2a+a-3=-3$,
∴函数的最小值为$-3$,故C不符合题意;当$x=2$时,$y=4a-4a+a-3=a-3$.
∵$0＜a＜3$,
∴$a-3＜0$,即当$x=2$时,$y＜0$,故D符合题意.故选 D.
解析
【分析】
解题时首先从题干条件“二次函数图象与x轴的两个交点在y轴两侧”入手，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积小于0，先求出a的取值范围；再结合二次函数的开口方向、对称轴、增减性、最值以及代入求值等知识点，逐一判断四个选项的正误，最终选出正确结论。
【解析】
由题意可知，方程$ax^2-2ax+a-3=0(a≠0)$的两根异号，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{a-3}{a}＜0$，解得$0＜a＜3$。
A选项：
∵$a＞0$，
∴二次函数图象开口向上，故A不符合题意；
B选项：二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，开口向上，因此当$x＞1$时，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
C选项：将$x=1$代入函数解析式得$y=a-2a+a-3=-3$，即函数的最小值为$-3$，故C不符合题意；
D选项：将$x=2$代入函数解析式得$y=4a-4a+a-3=a-3$，
∵$0＜a＜3$，
∴$a-3＜0$，即$x=2$时$y＜0$，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；根与系数的关系；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，解题核心是先根据交点的位置特征求出参数a的取值范围，再结合二次函数的图象性质逐一验证选项，能有效考查学生对二次函数相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先从题干条件“二次函数图象与x轴的两个交点在y轴两侧”入手，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积小于0，先求出a的取值范围；再结合二次函数的开口方向、对称轴、增减性、最值以及代入求值等知识点，逐一判断四个选项的正误，最终选出正确结论。
【解析】
由题意可知，方程$ax^2-2ax+a-3=0(a≠0)$的两根异号，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{a-3}{a}＜0$，解得$0＜a＜3$。
A选项：
∵$a＞0$，
∴二次函数图象开口向上，故A不符合题意；
B选项：二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，开口向上，因此当$x＞1$时，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
C选项：将$x=1$代入函数解析式得$y=a-2a+a-3=-3$，即函数的最小值为$-3$，故C不符合题意；
D选项：将$x=2$代入函数解析式得$y=4a-4a+a-3=a-3$，
∵$0＜a＜3$，
∴$a-3＜0$，即$x=2$时$y＜0$，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；根与系数的关系；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，解题核心是先根据交点的位置特征求出参数a的取值范围，再结合二次函数的图象性质逐一验证选项，能有效考查学生对二次函数相关知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
7[2024四川自贡中考]九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙
AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是
AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是
46.4
m².答案
7.46.4 【解析】设矩形菜地在射线OA上的一段长为$x$ m,矩形菜地的面积为$S$ m².①当$x≤8$时,$S=x·\frac{16-x-1.4+5}{2}=-\frac{1}{2}x^2+9.8x=-\frac{1}{2}(x-9.8)^2+48.02$.
∵$-\frac{1}{2}＜0$,
∴当$x=8$时,$S_{最大}=46.4$.②当$x＞8$时,$S=x·(\frac{16+6.6+5}{2}-x)=-x^2+13.8x=-(x-6.9)^2+47.61$,在$x＞8$的范围内,$S$均小于46.4.综上,该菜地的最大面积为$46.4\ \mathrm{m}^2$.故答案为46.4.
∵$-\frac{1}{2}＜0$,
∴当$x=8$时,$S_{最大}=46.4$.②当$x＞8$时,$S=x·(\frac{16+6.6+5}{2}-x)=-x^2+13.8x=-(x-6.9)^2+47.61$,在$x＞8$的范围内,$S$均小于46.4.综上,该菜地的最大面积为$46.4\ \mathrm{m}^2$.故答案为46.4.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合矩形的周长、面积关系，利用二次函数求最值的方法求解。首先明确AB、CD垂直相交，EO段为围墙空缺，需分两种情况讨论：①矩形在AB上的边全部落在AO段（即长度不超过AO=8m），此时若用到EO段需要额外补围栏；②矩形在AB上的边超出O点延伸到OB段，对应围栏的计算方式不同。分别列出两种情况下面积关于边长的二次函数表达式，结合自变量的取值范围求最大值，最后比较两个最大值得到最终结果。
【解析】
设矩形菜地在射线OA上的一边长为$x$ m，矩形菜地的面积为$S$ m²。
已知$AO=AE+EO=6.6+1.4=8\ \mathrm{m}$，分两种情况讨论：
① 当$x≤8$时，矩形沿CD方向的边长为$\frac{16 - x - 1.4 + 5}{2}$ m，
则面积$S=x·\frac{16-x-1.4+5}{2}=-\frac{1}{2}x^2+9.8x$，
配方得：$S=-\frac{1}{2}(x-9.8)^2+48.02$，
$\because -\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，在$x≤8$的范围内，$S$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=8$时，$S$取得最大值，$S_{最大}=-\frac{1}{2}×(8-9.8)^2+48.02=46.4$；
② 当$x＞8$时，矩形沿CD方向的边长为$(\frac{16+6.6+5}{2}-x)$ m，
则面积$S=x·(\frac{16+6.6+5}{2}-x)=-x^2+13.8x$，
配方得：$S=-(x-6.9)^2+47.61$，
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=6.9$，在$x＞8$的范围内，$S$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 在$x＞8$的范围内，$S＜-(8-6.9)^2+47.61=46.4$；
综上，该菜地的最大面积为$46.4\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
46.4
【知识点】
二次函数实际应用，分段函数，二次函数最值
【点评】
本题结合劳动实践场景，考查了二次函数在最值问题中的应用，解题的关键是结合围墙的空缺情况合理分类讨论，正确列出不同情况下面积的函数表达式，同时要注意自变量的取值范围对最值取值的影响，避免直接取顶点值导致错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要结合矩形的周长、面积关系，利用二次函数求最值的方法求解。首先明确AB、CD垂直相交，EO段为围墙空缺，需分两种情况讨论：①矩形在AB上的边全部落在AO段（即长度不超过AO=8m），此时若用到EO段需要额外补围栏；②矩形在AB上的边超出O点延伸到OB段，对应围栏的计算方式不同。分别列出两种情况下面积关于边长的二次函数表达式，结合自变量的取值范围求最大值，最后比较两个最大值得到最终结果。
【解析】
设矩形菜地在射线OA上的一边长为$x$ m，矩形菜地的面积为$S$ m²。
已知$AO=AE+EO=6.6+1.4=8\ \mathrm{m}$，分两种情况讨论：
① 当$x≤8$时，矩形沿CD方向的边长为$\frac{16 - x - 1.4 + 5}{2}$ m，
则面积$S=x·\frac{16-x-1.4+5}{2}=-\frac{1}{2}x^2+9.8x$，
配方得：$S=-\frac{1}{2}(x-9.8)^2+48.02$，
$\because -\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，在$x≤8$的范围内，$S$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=8$时，$S$取得最大值，$S_{最大}=-\frac{1}{2}×(8-9.8)^2+48.02=46.4$；
② 当$x＞8$时，矩形沿CD方向的边长为$(\frac{16+6.6+5}{2}-x)$ m，
则面积$S=x·(\frac{16+6.6+5}{2}-x)=-x^2+13.8x$，
配方得：$S=-(x-6.9)^2+47.61$，
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=6.9$，在$x＞8$的范围内，$S$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 在$x＞8$的范围内，$S＜-(8-6.9)^2+47.61=46.4$；
综上，该菜地的最大面积为$46.4\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
46.4
【知识点】
二次函数实际应用，分段函数，二次函数最值
【点评】
本题结合劳动实践场景，考查了二次函数在最值问题中的应用，解题的关键是结合围墙的空缺情况合理分类讨论，正确列出不同情况下面积的函数表达式，同时要注意自变量的取值范围对最值取值的影响，避免直接取顶点值导致错误。
【难度系数】
0.6
