8.如图，$AB// CD$，BP和CP分别平分$∠ ABC$和$∠ DCB$，AD过点P且与AB垂直，垂足为点A。若$AD=8$，则点P到BC的距离是（）

A.8
B.6
C.4
D.2

8.C

【分析】
首先根据已知条件AB//CD、AD⊥AB，可推出AD⊥CD，即PA是点P到AB的距离，PD是点P到CD的距离。遇到角平分线要联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们过点P作BC的垂线，该垂线的长度既等于点P到AB的距离PA，也等于点P到CD的距离PD，进而可推出该长度是AD的一半，即可求出结果。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E。
∵AB//CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE。
∴PE=PA=PD。
又
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4，即点P到BC的距离是4。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题目，解题核心是通过作辅助线构造点到直线的距离，结合角平分线性质得到相等的线段关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7

9.若点$P(a-2,3a+6)$在第二、四象限的角平分线上，则点$P$的坐标为。

9.$(-3,3)$

【分析】
解题时首先回忆第二、四象限角平分线上的点的坐标特征：该线上的所有点横纵坐标互为相反数，即横纵坐标之和为0。我们可以利用这个性质建立关于参数a的方程，先求解得到a的值，再将a代入点P的横、纵坐标表达式，即可求出点P的坐标。
【解析】
∵ 点$P(a-2, 3a+6)$在第二、四象限的角平分线上
∴ 点P的横坐标与纵坐标互为相反数，可得：
$(a-2)+(3a+6)=0$
合并同类项得：$4a+4=0$
移项解得：$a=-1$
将$a=-1$代入横、纵坐标表达式：
横坐标：$a-2=-1-2=-3$
纵坐标：$3a+6=3×(-1)+6=3$
∴ 点P的坐标为$(-3,3)$
【答案】
$(-3,3)$
【知识点】
象限角平分线坐标性质；一元一次方程求解
【点评】
本题核心考查第二、四象限角平分线上的点的坐标规律，解题关键是熟记对应位置点的坐标特征，通过列方程求解参数即可得到结果，是对基础知识点应用的考查。
【难度系数】
0.8

10.[转化思想]如图，在$△ ABC$中，AD是$∠ BAC$的平分线，$AB=14\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，则$\frac{CD}{BD}=$.

10.$\frac{5}{7}$

【分析】
本题已知AD是角平分线，要求CD与BD的比值，我们可以结合角平分线的性质，用面积法建立线段比例关系：首先利用角平分线上的点到角两边的距离相等，得到△ABD和△ACD的一组高相等，此时两个三角形的面积比等于对应底AB、AC的比；再观察这两个三角形有共同的高（从A向BC作的垂线），此时它们的面积比又等于对应底BD、CD的比，联立两个比例式即可求出CD与BD的比值。
【解析】
过点D作$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AC$于点F，过点A作$AH⊥ BC$于点H。
1. 因为AD是$∠ BAC$的平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，根据角平分线的性质，得$DE=DF$。
2. 计算$△ ABD$和$△ ACD$的面积比：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· DF$，
因此$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}· AB· DE}{\frac{1}{2}· AC· DF}=\frac{AB}{AC}=\frac{14}{10}=\frac{7}{5}$。
3. 以BC边上的高AH计算两个三角形的面积比：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· BD· AH$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· CD· AH$，
因此$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}· BD· AH}{\frac{1}{2}· CD· AH}=\frac{BD}{CD}$。
4. 联立得$\frac{BD}{CD}=\frac{7}{5}$，因此$\frac{CD}{BD}=\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例线段
【点评】
本题考查转化思想的应用，通过面积法将角平分线的性质和线段比例关联起来，是求解角平分线相关线段比值的经典方法，同学们要熟练掌握这种利用面积搭桥转化比例的解题技巧。
【难度系数】
0.6

11.[转化思想]如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$DE ⊥ AB$，垂足为点$E$.若$AB=10\ \mathrm{cm}$，求$△ DBE$的周长.

11.解:$\because AD$平分$∠ BAC$,且$∠ C=90°$,$DE⊥ AB$,$\therefore DC=DE$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中,$\because\begin{cases}AD=AD,\\DC=DE,\end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ AED$.(HL)$\therefore AC=AE$.
又$\because AC=BC$,
$\therefore DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB$.
$\because AB=10\ \mathrm{cm}$,$\therefore△ DBE$的周长$=DE+EB+BD=10\ \mathrm{cm}$.

【分析】
解题时首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得到DC=DE；再通过HL定理证明Rt△ACD和Rt△AED全等，推导得出AC=AE；结合已知AC=BC的条件，对△DBE的周长的三条边逐次进行等量代换，最终将其周长转化为已知长度的AB线段，代入AB的数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，且∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中,
$\because\begin{cases}AD=AD,\\DC=DE,\end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ AED$.(HL)
$\therefore AC=AE$.
又$\because AC=BC$,
$\therefore△ DBE$的周长$=DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB$.
$\because AB=10\ \mathrm{cm}$,
$\therefore△ DBE$的周长为$10\ \mathrm{cm}$.
【答案】
$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；等量代换
【点评】
本题是几何中转化思想的典型应用，核心是借助角平分线性质和全等三角形的性质，将未知三角形的周长转化为已知线段的长度，解题关键是准确找到可代换的相等线段。
【难度系数】
0.7

12.(1)【感知】如图①，AD平分∠∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知BD，CD的数量关系为；
(2)【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求证：BD＝CD；
(3)【应用】如图③，AD平分∠BAC，BD＝CD，AC≠AB.求证：∠ABD＋∠ACD＝180°.

12.(1)$BD=CD$
(2)证明:如图②,过点$D$分别作$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$交$AC$的延长线于点$F$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
$\therefore DE=DF$,$∠ DEB=∠ F=90°$.
$\because∠ EBD+∠ ACD=180°$,$∠ ACD+∠ FCD=180°$,
$\therefore∠ EBD=∠ FCD$.
在$△ DEB$和$△ DFC$中,$\because\begin{cases}∠ EBD=∠ FCD,\\∠ DEB=∠ F,\\DE=DF,\end{cases}$
$\therefore△ DEB≌△ DFC$.(AAS)
$\therefore BD=CD$.
(3)证明:如图③,过点$D$分别作$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
$\therefore DE=DF$,$∠ DEB=∠ DFC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ DEB$和$\mathrm{Rt}△ DFC$中,$\because\begin{cases}BD=CD,\\DE=DF,\end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ DEB≌\mathrm{Rt}△ DFC$.(HL)
$\therefore∠ ABD=∠ FCD$.
又$\because∠ FCD+∠ ACD=180°$,$\therefore∠ ABD+∠ ACD=180°$.

【分析】
(1) 已知AD平分∠BAC，∠B=90°，由∠B+∠C=180°可得∠C=90°，即DB⊥AB、DC⊥AC，根据角平分线的性质可直接推出BD和CD的数量关系。
(2) 要证BD=CD，可构造全等三角形证明。过点D作AB、AC的垂线，由角平分线性质得两条垂线段相等，再利用同角的补角相等得到一组对应角相等，结合直角相等，用AAS证明两个三角形全等，即可得证。
(3) 要证两角互补，同样过点D作AB、AC的垂线，先由角平分线性质得垂线段相等，结合已知BD=CD，用HL证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，再结合平角的性质即可推出两角互补的结论。
【解析】
(1) 解：
∵AD平分∠BAC，∠B=90°，∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，即DC⊥AC，DB⊥AB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得BD=CD。
(2) 证明：如图②，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEB=∠F=90°。
∵∠EBD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠EBD=∠FCD。
在△DEB和△DFC中，
$\begin{cases}∠EBD=∠FCD,\\∠DEB=∠F,\\DE=DF,\end{cases}$
∴△DEB≌△DFC(AAS)。
∴BD=CD。
(3) 证明：如图③，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\begin{cases}BD=CD,\\DE=DF,\end{cases}$
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)。
∴∠ABD=∠FCD。
又
∵∠FCD+∠ACD=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°。
【答案】
12.(1)$BD=CD$
(2)证明:如图②,过点$D$分别作$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$交$AC$的延长线于点$F$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
$\therefore DE=DF$,$∠ DEB=∠ F=90°$.
$\because∠ EBD+∠ ACD=180°$,$∠ ACD+∠ FCD=180°$,
$\therefore∠ EBD=∠ FCD$.
在$△ DEB$和$△ DFC$中,$\because\begin{cases}∠ EBD=∠ FCD,\\∠ DEB=∠ F,\\DE=DF,\end{cases}$
$\therefore△ DEB≌△ DFC$.(AAS)
$\therefore BD=CD$.
(3)证明:如图③,过点$D$分别作$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,
$\therefore DE=DF$,$∠ DEB=∠ DFC=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ DEB$和$\mathrm{Rt}△ DFC$中,$\because\begin{cases}BD=CD,\\DE=DF,\end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ DEB≌\mathrm{Rt}△ DFC$.(HL)
$\therefore∠ ABD=∠ FCD$.
又$\because∠ FCD+∠ ACD=180°$,$\therefore∠ ABD+∠ ACD=180°$.

【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题从特殊到一般设置递进式问题，核心考查角平分线性质的应用，通过作垂线段构造全等三角形是解题的关键，能有效锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6