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1. 如图，在$△ ABC$中，点$P$是$∠ BAC$，$∠ ABC$的平分线的交点，则点$P$一定在 （
A.边$BC$的垂直平分线上
B.边$AC$上的高上
C.$∠ ACB$的平分线上
D.边$AC$上的中线上
C
）A.边$BC$的垂直平分线上
B.边$AC$上的高上
C.$∠ ACB$的平分线上
D.边$AC$上的中线上
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路：首先回忆角平分线的性质和判定定理，已知点P是两个内角的平分线交点，先根据角平分线的性质得到点P到三角形三边的距离关系，再结合角平分线的判定定理判断点P的位置，最后逐一排除错误选项即可。具体思考步骤：1. 角平分线上的点到角两边的距离相等，因此P在∠BAC平分线上可得P到AB、AC距离相等，P在∠ABC平分线上可得P到AB、BC距离相等；2. 推导得出P到AC、BC距离相等，根据角平分线的判定，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此P在∠ACB的平分线上；3. 对比其余选项：垂直平分线对应到线段两端点距离相等，高对应垂直关系，中线对应边的中点，均不符合推导结论，即可得出答案。
【解析】
解：
∵点P是∠BAC、∠ABC的平分线的交点，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到AC、BC的距离相等，
根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在该角的平分线上，
∴点P在∠ACB的平分线上。
对其余选项分析：
A. 边BC的垂直平分线上的点到B、C两点的距离相等，与推导的距离关系不符，错误；
B. 边AC上的高是过B垂直于AC的线段，与点P的性质无关，错误；
D. 边AC上的中线是连接B与AC中点的线段，与点P的性质无关，错误。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线的性质与判定的应用，解题的关键是明确三角形三个内角的平分线交于同一点，该点到三角形三边的距离相等，熟练掌握相关定理就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆角平分线的性质和判定定理，已知点P是两个内角的平分线交点，先根据角平分线的性质得到点P到三角形三边的距离关系，再结合角平分线的判定定理判断点P的位置，最后逐一排除错误选项即可。具体思考步骤：1. 角平分线上的点到角两边的距离相等，因此P在∠BAC平分线上可得P到AB、AC距离相等，P在∠ABC平分线上可得P到AB、BC距离相等；2. 推导得出P到AC、BC距离相等，根据角平分线的判定，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此P在∠ACB的平分线上；3. 对比其余选项：垂直平分线对应到线段两端点距离相等，高对应垂直关系，中线对应边的中点，均不符合推导结论，即可得出答案。
【解析】
解：
∵点P是∠BAC、∠ABC的平分线的交点，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到AC、BC的距离相等，
根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在该角的平分线上，
∴点P在∠ACB的平分线上。
对其余选项分析：
A. 边BC的垂直平分线上的点到B、C两点的距离相等，与推导的距离关系不符，错误；
B. 边AC上的高是过B垂直于AC的线段，与点P的性质无关，错误；
D. 边AC上的中线是连接B与AC中点的线段，与点P的性质无关，错误。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线的性质与判定的应用，解题的关键是明确三角形三个内角的平分线交于同一点，该点到三角形三边的距离相等，熟练掌握相关定理就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8
2.如图，O是$△ ABC$三条角平分线的交点.若$△ ABC$的三边$AB$，$BC$，$CA$的长分别为40，50，60，则$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=$
4:5:6
.答案
2.4:5:6
解析
【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是三角形三条角平分线的交点，因此点O到三角形三边的距离相等，即△ABO、△BCO、△CAO分别以AB、BC、CA为底时，对应的高相等。根据三角形面积公式，高相等时，三角形的面积比等于对应底边长的比，因此只需将三边长度作比化简即可得到三个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、BC、CA三边的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × h$，
$S_{△ BCO}=\frac{1}{2} × BC × h$，
$S_{△ CAO}=\frac{1}{2} × CA × h$，
因此$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:CA$。
将AB=40，BC=50，CA=60代入，得比值为$40:50:60=4:5:6$。
【答案】
$4:5:6$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是抓住三个三角形等高的特点，将面积比转化为底边长的比，熟练掌握角平分线的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是三角形三条角平分线的交点，因此点O到三角形三边的距离相等，即△ABO、△BCO、△CAO分别以AB、BC、CA为底时，对应的高相等。根据三角形面积公式，高相等时，三角形的面积比等于对应底边长的比，因此只需将三边长度作比化简即可得到三个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、BC、CA三边的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × h$，
$S_{△ BCO}=\frac{1}{2} × BC × h$，
$S_{△ CAO}=\frac{1}{2} × CA × h$，
因此$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:CA$。
将AB=40，BC=50，CA=60代入，得比值为$40:50:60=4:5:6$。
【答案】
$4:5:6$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是抓住三个三角形等高的特点，将面积比转化为底边长的比，熟练掌握角平分线的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.[2026·蚌埠固镇县期末]如图,在$△ ABC$中,点O是$△ ABC$内一点,且点O到$△ ABC$三边的距离相等.若$∠ A=70°$,则$∠ BOC$的度数为
125°
.答案
3.125°
解析
【分析】
解题时首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，判断点O是△ABC三个内角的角平分线交点，即OB平分∠ABC、OC平分∠ACB；再结合三角形内角和定理，先求出∠ABC与∠ACB的和，再算出∠OBC与∠OCB的和，最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$。
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
角平分线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先根据点到三边距离相等判断出点O是三角形的角平分线交点，再结合三角形内角和定理逐步推导，也可直接利用“三角形两内角平分线的夹角等于90°加第三个角度数的一半”这一结论快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，判断点O是△ABC三个内角的角平分线交点，即OB平分∠ABC、OC平分∠ACB；再结合三角形内角和定理，先求出∠ABC与∠ACB的和，再算出∠OBC与∠OCB的和，最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$。
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-55°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
角平分线的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先根据点到三边距离相等判断出点O是三角形的角平分线交点，再结合三角形内角和定理逐步推导，也可直接利用“三角形两内角平分线的夹角等于90°加第三个角度数的一半”这一结论快速求解。
【难度系数】
0.7
4.如图是三角形草坪ABC，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，则凉亭的位置应选在$△ ABC$（
A.三条中线的交点处
B.三边垂直平分线的交点处
C.三条角平分线的交点处
D.三条高所在直线的交点处
C
）A.三条中线的交点处
B.三边垂直平分线的交点处
C.三条角平分线的交点处
D.三条高所在直线的交点处
答案
4.C
解析
【分析】
首先提取题目的核心要求：找到△ABC内一点，使其到三边的距离相等。我们先回忆已学的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。由此可推导，若一个点到三角形三边距离都相等，那么这个点需要同时在△ABC三个内角的角平分线上，也就是三条角平分线的交点。接下来我们再逐一辨析其他选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
解：首先明确题目的要求是寻找到△ABC三边距离相等的点。
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。若点在∠A的角平分线上，则它到AB、AC的距离相等；若该点同时在∠B的角平分线上，则它到AB、BC的距离相等，此时该点到AB、AC、BC三边的距离均相等，因此符合要求的点是三角形三条角平分线的交点。
2. 逐一分析选项：
A. 三条中线的交点是三角形的重心，性质为分每条中线为2:1的两段，不满足到三边距离相等，排除；
B. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，性质为到三角形三个顶点的距离相等，不满足到三边距离相等，排除；
C. 三条角平分线的交点符合上述推导，满足到三边距离相等，正确；
D. 三条高所在直线的交点是三角形的垂心，没有到三边距离相等的性质，排除。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊交点性质
【点评】
本题主要考查三角形不同特殊交点的性质区分，解题的关键是准确记忆各类特殊点对应的性质，尤其要注意区分“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”对应的交点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
首先提取题目的核心要求：找到△ABC内一点，使其到三边的距离相等。我们先回忆已学的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。由此可推导，若一个点到三角形三边距离都相等，那么这个点需要同时在△ABC三个内角的角平分线上，也就是三条角平分线的交点。接下来我们再逐一辨析其他选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
解：首先明确题目的要求是寻找到△ABC三边距离相等的点。
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。若点在∠A的角平分线上，则它到AB、AC的距离相等；若该点同时在∠B的角平分线上，则它到AB、BC的距离相等，此时该点到AB、AC、BC三边的距离均相等，因此符合要求的点是三角形三条角平分线的交点。
2. 逐一分析选项：
A. 三条中线的交点是三角形的重心，性质为分每条中线为2:1的两段，不满足到三边距离相等，排除；
B. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，性质为到三角形三个顶点的距离相等，不满足到三边距离相等，排除；
C. 三条角平分线的交点符合上述推导，满足到三边距离相等，正确；
D. 三条高所在直线的交点是三角形的垂心，没有到三边距离相等的性质，排除。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊交点性质
【点评】
本题主要考查三角形不同特殊交点的性质区分，解题的关键是准确记忆各类特殊点对应的性质，尤其要注意区分“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”对应的交点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
5.[易错题]某湖外围的三条公路经过A,B,C三个村庄,如图所示.现要新建一个加油站P,要求到三条公路的距离相等,这样的加油站的位置有 (
B
) A.4处 B.3处 C.2处 D.1处 答案
5.B 易错点:未考虑真实情境限制,加油站不可设于湖内.
解析
【分析】
要确定到三条公路距离相等的加油站位置，需结合角平分线的性质思考：到两条相交直线距离相等的点，在这两条直线的夹角平分线上。首先先找出所有满足到三条两两相交公路距离相等的点，再结合加油站不能建在湖内的实际限制，筛选出符合条件的位置即可。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，解题步骤如下：
1. 三条公路两两相交构成△ABC，常规情况下，到三条公路距离相等的点共有4个：1个是△ABC三个内角平分线的交点，位于三角形内部；另外3个是△ABC任意两个外角的平分线与第三个内角的平分线的交点，均在三角形外部。
2. 结合题目实际情境，三角形内部的交点在湖的范围内，无法修建加油站，不符合要求，应排除。
3. 剩余3个位于三角形外部的交点均不在湖内，满足修建要求，因此符合条件的加油站位置共有3处。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质 三角形内外角平分线 实际场景限制
【点评】
本题是易错题，解题时很容易受惯性思维影响，忽略湖的实际限制，直接按照“到三角形三边所在直线距离相等的点有4个”误选A，做题时要注意结合题目给出的实际场景对结果进行筛选，避免出错。
【难度系数】
0.6
要确定到三条公路距离相等的加油站位置，需结合角平分线的性质思考：到两条相交直线距离相等的点，在这两条直线的夹角平分线上。首先先找出所有满足到三条两两相交公路距离相等的点，再结合加油站不能建在湖内的实际限制，筛选出符合条件的位置即可。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，解题步骤如下：
1. 三条公路两两相交构成△ABC，常规情况下，到三条公路距离相等的点共有4个：1个是△ABC三个内角平分线的交点，位于三角形内部；另外3个是△ABC任意两个外角的平分线与第三个内角的平分线的交点，均在三角形外部。
2. 结合题目实际情境，三角形内部的交点在湖的范围内，无法修建加油站，不符合要求，应排除。
3. 剩余3个位于三角形外部的交点均不在湖内，满足修建要求，因此符合条件的加油站位置共有3处。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质 三角形内外角平分线 实际场景限制
【点评】
本题是易错题，解题时很容易受惯性思维影响，忽略湖的实际限制，直接按照“到三角形三边所在直线距离相等的点有4个”误选A，做题时要注意结合题目给出的实际场景对结果进行筛选，避免出错。
【难度系数】
0.6
6.[整体思想]如图，$△ ABC$ 的面积是 21，$BO$，$CO$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$，$OD⊥ BC$于点$D$，且$OD=3$，则$△ ABC$的周长为
14
。答案
6.14
解析
【分析】
本题可利用角平分线的性质结合整体思想求解：首先回忆角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点O到△ABC三边的距离都等于OD的长度；再将△ABC的面积拆分为三个以O为顶点、分别以△ABC三边为底的小三角形的面积和，结合已知面积列等式，即可整体求出△ABC的周长，无需单独计算各边长度。
【解析】
过点O作$OE⊥ AB$于点E，$OF⊥ AC$于点F。
∵$BO$平分$∠ ABC$，$OD⊥ BC$，$OE⊥ AB$，
∴$OE=OD=3$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
同理，$CO$平分$∠ ACB$，$OD⊥ BC$，$OF⊥ AC$，
∴$OF=OD=3$。
$△ ABC$的面积等于$△ OAB$、$△ OBC$、$△ OAC$的面积之和，即：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
代入三角形面积公式得：
$21=\frac{1}{2}× AB× OE + \frac{1}{2}× BC× OD + \frac{1}{2}× AC× OF$
将$OE=OF=OD=3$代入，提取公因式：
$21=\frac{1}{2}×3×(AB+BC+AC)$
解得$AB+BC+AC=\frac{21×2}{3}=14$，即$△ ABC$的周长为14。
【答案】
14
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，整体思想
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到三角形内角平分线交点到三边距离相等，通过分割大三角形面积的方法，结合整体思想直接求出周长，简化了计算步骤。
【难度系数】
0.7
本题可利用角平分线的性质结合整体思想求解：首先回忆角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点O到△ABC三边的距离都等于OD的长度；再将△ABC的面积拆分为三个以O为顶点、分别以△ABC三边为底的小三角形的面积和，结合已知面积列等式，即可整体求出△ABC的周长，无需单独计算各边长度。
【解析】
过点O作$OE⊥ AB$于点E，$OF⊥ AC$于点F。
∵$BO$平分$∠ ABC$，$OD⊥ BC$，$OE⊥ AB$，
∴$OE=OD=3$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
同理，$CO$平分$∠ ACB$，$OD⊥ BC$，$OF⊥ AC$，
∴$OF=OD=3$。
$△ ABC$的面积等于$△ OAB$、$△ OBC$、$△ OAC$的面积之和，即：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
代入三角形面积公式得：
$21=\frac{1}{2}× AB× OE + \frac{1}{2}× BC× OD + \frac{1}{2}× AC× OF$
将$OE=OF=OD=3$代入，提取公因式：
$21=\frac{1}{2}×3×(AB+BC+AC)$
解得$AB+BC+AC=\frac{21×2}{3}=14$，即$△ ABC$的周长为14。
【答案】
14
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，整体思想
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到三角形内角平分线交点到三边距离相等，通过分割大三角形面积的方法，结合整体思想直接求出周长，简化了计算步骤。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$△ ABC$中,点$D$在$BC$边上,$∠ BAD=100°$,$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$E$,过点$E$作$EF⊥ BA$的延长线于点$F$,且$∠ AEF=50°$,连接$DE$.
(1)$∠ CAD$的度数为________;
(2)求证:$DE$平分$∠ ADC$;
(3)若$AB=7$,$AD=4$,$CD=8$,且$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积.
(1)$∠ CAD$的度数为________;
(2)求证:$DE$平分$∠ ADC$;
(3)若$AB=7$,$AD=4$,$CD=8$,且$S_{△ ACD}=15$,求$△ ABE$的面积.
答案
7.(1)$40°$
(2)证明:如图,过点 E 分别作 $EG⊥AD$ 于点 G,$EH⊥BC$ 于点 H.
$\because EF⊥BF,\therefore ∠AFE=90°,$
$\therefore ∠FAE=90°-∠AEF=90°-50°=40°.$
$\because ∠CAD=40°,\therefore ∠CAD=∠FAE$,即 AE 平分$∠DAF.$
$\because EG⊥AD,EF⊥BA,\therefore EF=EG.$
$\because BE$ 平分$∠ABC,EF⊥BA,EH⊥BC,$
$\therefore EF=EH,\therefore EG=EH.$
$\because EG⊥AD,EH⊥BC,$
$\therefore$ 点 E 在$∠ADC$ 的平分线上,即 DE 平分$∠ADC.$
(3)解:$\because S_{△ACD}=15,\therefore S_{△ADE}+S_{△CDE}=15,$
$\therefore \frac{1}{2}AD· EG+\frac{1}{2}CD· EH=15,$
即 $\frac{1}{2}×4· EG+\frac{1}{2}×8· EG=15,\therefore EG=\frac{5}{2},$
$\therefore EF=EG=\frac{5}{2},$
$\therefore △ABE$ 的面积$=\frac{1}{2}AB· EF=\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}.$
解析
【分析】
(1) 求∠CAD的度数：已知EF垂直BA的延长线，△AEF为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可先算出∠FAE的度数，该角与∠CAD相等，即可得到∠CAD的度数。
(2) 证明DE平分∠ADC：根据角平分线的判定定理，只需证明点E到AD、BC的距离相等即可。因此过E作AD、BC的垂线EG、EH，结合BE是∠ABC的角平分线，可得EF=EH；再由(1)的结论可知AE平分∠DAF，可得EF=EG，等量代换得到EG=EH，即可证明结论。
(3) 求△ABE的面积：已知AB的长度，只需算出AB边上的高EF即可。将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积和，两个三角形的高分别为EG、EH，且EG=EH，代入已知数据即可求出EG，也就是EF的长度，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 解：
∵EF⊥BF，
∴∠AFE=90°，在Rt△AEF中，∠FAE=90°-∠AEF=90°-50°=40°，
∴∠CAD=∠FAE=40°。
(2) 证明：如图，过点E分别作 $EG⊥AD$ 于点 G,$EH⊥BC$ 于点 H。
$\because EF⊥BF,\therefore ∠AFE=90°,$
$\therefore ∠FAE=90°-∠AEF=90°-50°=40°.$
$\because ∠CAD=40°,\therefore ∠CAD=∠FAE$,即 AE 平分$∠DAF.$
$\because EG⊥AD,EF⊥BA,\therefore EF=EG.$
$\because BE$ 平分$∠ABC,EF⊥BA,EH⊥BC,$
$\therefore EF=EH,\therefore EG=EH.$
$\because EG⊥AD,EH⊥BC,$
$\therefore$ 点 E 在$∠ADC$ 的平分线上,即 DE 平分$∠ADC.$
(3) 解:$\because S_{△ACD}=15,\therefore S_{△ADE}+S_{△CDE}=15,$
$\therefore \frac{1}{2}AD· EG+\frac{1}{2}CD· EH=15,$
由(2)知$EG=EH$，代入得 $\frac{1}{2}×4· EG+\frac{1}{2}×8· EG=15,$
解得$EG=\frac{5}{2},$
$\therefore EF=EG=\frac{5}{2},$
$\therefore △ABE$ 的面积$=\frac{1}{2}AB· EF=\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}.$
【答案】
(1)$40°$
(2)证明:如图,过点 E 分别作 $EG⊥AD$ 于点 G,$EH⊥BC$ 于点 H.
$\because EF⊥BF,\therefore ∠AFE=90°,$
$\therefore ∠FAE=90°-∠AEF=90°-50°=40°.$
$\because ∠CAD=40°,\therefore ∠CAD=∠FAE$,即 AE 平分$∠DAF.$
$\because EG⊥AD,EF⊥BA,\therefore EF=EG.$
$\because BE$ 平分$∠ABC,EF⊥BA,EH⊥BC,$
$\therefore EF=EH,\therefore EG=EH.$
$\because EG⊥AD,EH⊥BC,$
$\therefore$ 点 E 在$∠ADC$ 的平分线上,即 DE 平分$∠ADC.$
(3)$\frac{35}{4}$
【知识点】
角平分线的性质与判定；直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是合理构造辅助线，灵活运用角平分线的相关性质实现线段的等量转化，同时结合面积拆分的方法求解，对几何逻辑推理能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠CAD的度数：已知EF垂直BA的延长线，△AEF为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可先算出∠FAE的度数，该角与∠CAD相等，即可得到∠CAD的度数。
(2) 证明DE平分∠ADC：根据角平分线的判定定理，只需证明点E到AD、BC的距离相等即可。因此过E作AD、BC的垂线EG、EH，结合BE是∠ABC的角平分线，可得EF=EH；再由(1)的结论可知AE平分∠DAF，可得EF=EG，等量代换得到EG=EH，即可证明结论。
(3) 求△ABE的面积：已知AB的长度，只需算出AB边上的高EF即可。将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积和，两个三角形的高分别为EG、EH，且EG=EH，代入已知数据即可求出EG，也就是EF的长度，再用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 解：
∵EF⊥BF，
∴∠AFE=90°，在Rt△AEF中，∠FAE=90°-∠AEF=90°-50°=40°，
∴∠CAD=∠FAE=40°。
(2) 证明：如图，过点E分别作 $EG⊥AD$ 于点 G,$EH⊥BC$ 于点 H。
$\because EF⊥BF,\therefore ∠AFE=90°,$
$\therefore ∠FAE=90°-∠AEF=90°-50°=40°.$
$\because ∠CAD=40°,\therefore ∠CAD=∠FAE$,即 AE 平分$∠DAF.$
$\because EG⊥AD,EF⊥BA,\therefore EF=EG.$
$\because BE$ 平分$∠ABC,EF⊥BA,EH⊥BC,$
$\therefore EF=EH,\therefore EG=EH.$
$\because EG⊥AD,EH⊥BC,$
$\therefore$ 点 E 在$∠ADC$ 的平分线上,即 DE 平分$∠ADC.$
(3) 解:$\because S_{△ACD}=15,\therefore S_{△ADE}+S_{△CDE}=15,$
$\therefore \frac{1}{2}AD· EG+\frac{1}{2}CD· EH=15,$
由(2)知$EG=EH$，代入得 $\frac{1}{2}×4· EG+\frac{1}{2}×8· EG=15,$
解得$EG=\frac{5}{2},$
$\therefore EF=EG=\frac{5}{2},$
$\therefore △ABE$ 的面积$=\frac{1}{2}AB· EF=\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}.$
【答案】
(1)$40°$
(2)证明:如图,过点 E 分别作 $EG⊥AD$ 于点 G,$EH⊥BC$ 于点 H.
$\because EF⊥BF,\therefore ∠AFE=90°,$
$\therefore ∠FAE=90°-∠AEF=90°-50°=40°.$
$\because ∠CAD=40°,\therefore ∠CAD=∠FAE$,即 AE 平分$∠DAF.$
$\because EG⊥AD,EF⊥BA,\therefore EF=EG.$
$\because BE$ 平分$∠ABC,EF⊥BA,EH⊥BC,$
$\therefore EF=EH,\therefore EG=EH.$
$\because EG⊥AD,EH⊥BC,$
$\therefore$ 点 E 在$∠ADC$ 的平分线上,即 DE 平分$∠ADC.$
(3)$\frac{35}{4}$
【知识点】
角平分线的性质与判定；直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是合理构造辅助线，灵活运用角平分线的相关性质实现线段的等量转化，同时结合面积拆分的方法求解，对几何逻辑推理能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.6
