9(2026·南京溧水区月考)如图,已知A,B,C,D,E均在$\odot O$上,且AC为直径,则$∠ A+∠ B+∠ C=$().

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

9.D

10 如图，点A,B,C在$\odot O$上，$BC // OA$，连接BO并延长，交$\odot O$于点D，连接AC，DC。若$∠ A=18°$，则$∠ D$的大小为$\underline{\hspace{5cm}}°$。

10.54

11 (2026·盐城大丰区期中)如图，AB，CD是$\odot O$的直径，弦$CE // AB$，$\overset{\frown}{CE}$为$40°$，则$∠ AOC$的度数是°。

11.70

12(2026·镇江京口区期中)如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$CE ⊥ AB$于点E，BD交CE于点F，$CF=BF$.
(1)求证:C是$\overset{\frown}{BD}$的中点；
(2)若$CD=3$，$AC=5$，则$\odot O$的半径为.

12.(1)$\because AB$是$\odot O$的直径，$CE⊥ AB$于点 E，
$\therefore ∠ ACB=∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ ACE=90°$，$∠ BCE+∠ ACE=90°$，
$\therefore ∠ A=∠ BCE$.
$\because \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BF}$，$\therefore ∠ CBD=∠ BCE$，$\therefore ∠ A=∠ CBD$，
$\therefore \overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点.
(2)$\frac{\sqrt{34}}{2}$
[解析]由(1)得 C 是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
$\therefore CB=CD=3$. $\because ∠ ACB=90°$，$AC=5$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+CB^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{34}}{2}$，$\therefore \odot O$的半径为$\frac{\sqrt{34}}{2}$.

13(2026·无锡梁溪区月考)如图，AB是$\odot O$的直径，$CD=CB$，$CE⊥ AB$于点$E$，连接$BD$交$CE$于点$F$。
(1)求证:$CF=BF$；
(2)若$CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，求弦$BD$的长。
（第13题）

13.(1)$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ ABC$.
$\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ ECB=90°-∠ ABC$，$\therefore ∠ ECB=∠ A$.
又$CD=CB$，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，$\therefore ∠ DBC=∠ A$，
$\therefore ∠ ECB=∠ DBC$，$\therefore CF=BF$.
(2)如图，连接 OC，交 BD 于点 G.

$\because BC=CD$，
$\therefore OC⊥ BD$，$BD=2BG$.
$\because ∠ ACB=90°$，$BC=CD=4\sqrt{5}$，
$AC=8\sqrt{5}$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=20$，
$\therefore \odot O$的半径为 10.
设$OG=x$，则$CG=10-x$，
由勾股定理，得$BG^2=OB^2-OG^2=BC^2-CG^2$，
即$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$，
解得$x=6$，$\therefore BG=\sqrt{10^2-6^2}=8$，$\therefore BD=16$.

14 新考法 新定义问题（2026·无锡月考）如图(1),C,D是半圆ACB上的两点,P是直径AB上一点,且满足$∠ APC=∠ BPD$,则称$∠ CPD$是弧CD的“幸运角”.

(1)如图(2),若弦$CE⊥ AB$,D是弧BC上的一点,连接DE交AB于点P,连接CP.$∠ CPD$是弧CD的“幸运角”吗?请说明理由.
(2)设$\overset{\frown}{CD}$的度数为n,请用含n的式子表示$\overset{\frown}{CD}$的“幸运角”度数.
(3)在(1)的条件下,直径$AB=10$,$\overset{\frown}{CD}$的“幸运角”为$90°$,当$DE=7\sqrt{2}$时,求CE的长.

14.(1)$∠ CPD$是弧 CD 的“幸运角”. 理由如下：
$\because AB$是$\odot O$的直径，$CE⊥ AB$，$\therefore AB$垂直平分 CE，
$\therefore PC=PE$.
$\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ CPA=∠ EPA$.
$\because ∠ EPA=∠ BPD$，$\therefore ∠ CPA=∠ BPD$，
$\therefore ∠ CPD$是弧 CD 的“幸运角”.
(2)$\because \overset{\frown}{CD}$的度数为$n$，$\therefore ∠ CED=\frac{n}{2}$.
$\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ APE=90°-∠ CED=90°-\frac{n}{2}$，
$\therefore ∠ BPD=∠ APE=90°-\frac{n}{2}$，$\therefore ∠ APC=∠ BPD=90°-\frac{n}{2}$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}$的“幸运角”度数$=∠ CPD=180°-∠ APC-∠ BPD=n$.
故$\overset{\frown}{CD}$的“幸运角”度数为$n$.
(3)如图，连接 OC，OD.

$\because \overset{\frown}{CD}$的“幸运角”度数为$90°$，
$\therefore ∠ APC=∠ BPD=45°$，
$\therefore ∠ APE=∠ BPD=45°$.
$\because CE⊥ AB$，$\therefore ∠ E=∠ APE=45°$，
$\therefore ∠ COD=2∠ E=90°$.
$\because$直径$AB=10$，$\therefore OC=OD=5$，
$\therefore CD=\sqrt{2}OC=5\sqrt{2}$.
$\because ∠ CPD=90°$，$∠ E=45°$，
$\therefore △ CPE$为等腰直角三角形，
$\therefore PC=PE$.
设$PC=PE=x$，则$PD=DE-PE=7\sqrt{2}-x$，
在$\mathrm{Rt}△ PCD$中，
$\because PC^2+PD^2=CD^2$，$\therefore x^2+(7\sqrt{2}-x)^2=(5\sqrt{2})^2$，
解得$x=3\sqrt{2}$或$x=4\sqrt{2}$，
$\therefore PC=PE=3\sqrt{2}$或$4\sqrt{2}$，$\therefore CE=\sqrt{2}PC=6$或$8$.