1 等腰直角三角形ABC的直角边$AB=BC=10\ \mathrm{cm}$，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以$1\ \mathrm{cm/秒}$的速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，设点P运动时间为t，$△ PCQ$的面积为S。
(1)求出S关于t的函数表达式；
(2)当点P运动几秒时，有$S_{△ PCQ}=S_{△ ABC}$。

(1)当$t ≤ 10$秒时,点P在线段AB上,此时$CQ=t\ \mathrm{cm}$,$PB=(10-t)\mathrm{cm}$,
$\therefore S=\frac{1}{2} × t ×(10-t)=\frac{1}{2}(10 t-t^{2})$;
当$t＞10$秒时,点P在线段AB的延长线上,此时$CQ=t\ \mathrm{cm}$,$PB=(t-10)\mathrm{cm}$,
$\therefore S=\frac{1}{2} × t ×(t-10)=\frac{1}{2}(t^{2}-10 t)$.
(2)$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2} AB · BC=50$,
$\therefore$ 当$t ≤ 10$秒时,$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}(10 t-t^{2})=50$,
整理,得$t^{2}-10 t+100=0$,无解;
当$t＞10$秒时,$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}(t^{2}-10 t)=50$,
整理,得$t^{2}-10 t-100=0$,解得$t=5 \pm 5 \sqrt{5}$(舍去负值),
$\therefore$ 当点P运动$(5+5 \sqrt{5})$秒时,$S_{△ PCQ}=S_{△ ABC}$.

2 如图,在长方形ABCD中,AB=5 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间为t s.
(1)BQ= cm,PB= cm.(用含t的代数式表示)
(2)是否存在t的值,使得五边形APQCD的面积等于26 cm²?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.

(1)$2t$ $(5-t)$
(2)存在$t=1\ \mathrm{s}$,能够使得五边形APQCD的面积等于$26\ \mathrm{cm^2}$.理由如下:
长方形ABCD的面积是$5 × 6=30(\mathrm{cm^2})$,
若五边形APQCD的面积等于$26\ \mathrm{cm^2}$,则$△ PBQ$的面积为$30-26=4(\mathrm{cm^2})$,
$\therefore (5-t) × 2t × \frac{1}{2}=4$,解得$t_1=4$,$t_2=1$.
$\because t ≤ 3$,$\therefore t=4$不符合题意,舍去.
故当$t=1\ \mathrm{s}$时,五边形APQCD的面积等于$26\ \mathrm{cm^2}$.

3 分类讨论思想 如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米。动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止。连接BQ，两动点经过几秒，使得△BQP是等腰三角形。（第3题）

设两动点经过$t(0 ≤ t ≤ 8)$秒,使得$△ BQP$是等腰三角形.
①当$BP=QP$时,过点Q作$QH ⊥ BP$于点H.
则$PQ=\sqrt{(BP-CQ)^2+HQ^2}$,
所以$16-2t=\sqrt{(16-2t-t)^2+6^2}$,
整理,得$5t^2-32t+36=0$,
解得$t=\frac{16 \pm 2\sqrt{19}}{5}$;
②当$BP=BQ$时,$BQ=\sqrt{BC^2+CQ^2}$,
则$16-2t=\sqrt{6^2+t^2}$,整理,得$3t^2-64t+220=0$,
解得$t=\frac{32 \pm 2\sqrt{91}}{3}$;
③当$PQ=BQ$时,$\sqrt{(BP-CQ)^2+HQ^2}=\sqrt{BC^2+CQ^2}$,
即$\sqrt{(16-2t-t)^2+6^2}=\sqrt{6^2+t^2}$,
整理,得$(16-3t)^2=t^2$,
解得$t_1=4$,$t_2=8$(与点B重合,舍去).
综上所述,当两动点经过$\frac{16 \pm 2\sqrt{19}}{5}$秒或4秒或$\frac{32 \pm 2\sqrt{91}}{3}$秒时,$△ BQP$是等腰三角形.