10(2025·镇江一模)已知矩形ABCD中，$AB=a$，$BC=b$，若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关系为().

A.$a≥2b$
B.$a＞2b$
C.$a＞b$
D.$a≥ b$

10.A

11（2026·海南万宁实验学校期中）数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t，$\odot B$半径为4.若点A在$\odot B$外，则（）.

A.$t＜6$或$t＞10$
B.$6＜t＜10$
C.$t＜12$或$t＞20$
D.$1＜t＜20$

11.A

12 以坐标原点$O$为圆心，作半径为4的圆，若直线$y=-x+b$与$\odot O$相交，则$b$的取值范围是（）。

A.$0≤ b＜2\sqrt{2}$
B.$-4\sqrt{2}≤ b≤4\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
D.$-4\sqrt{2}＜b＜4\sqrt{2}$

12.D [解析]当直线 $y=-x+b$ 与圆相切,且函数图象经过第一、二、四象限时,如图.

在 $y=-x+b$ 中,令 $x=0$ 时,$y=b$,
则与 $y$ 轴的交点是 $B(0,b)$,
令 $y=0$ 时,$x=b$,则与 $x$ 轴的交点是 $A(b,0)$,
则 $OA=OB=b$,即$△ OAB$ 是等腰直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}△ OAB$ 中,由勾股定理,得
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{b^2+b^2}=\sqrt{2}b$.
连接圆心 $O$ 和切点 $C$,则 $OC=4$,$OC⊥AB$.
∵$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA·OB=\frac{1}{2}AB·OC$,
∴$4=\frac{OA·OB}{AB}=\frac{b·b}{\sqrt{2}b}$,则 $b=4\sqrt{2}$;
同理,当直线 $y=-x+b$ 与圆相切,且函数图象经过第二、三、四象限时,$b=-4\sqrt{2}$.
故若直线 $y=-x+b$ 与$\odot O$ 相交,则 $b$ 的取值范围是 $-4\sqrt{2}＜b＜4\sqrt{2}$.故选 D.

13(2025·河南新乡获嘉期末)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，以点$C$为圆心，$a$为半径画圆.若$\odot C$与斜边$AB$只有一个公共点，则$a$的取值范围是.

13. $a=\frac{12}{5}$ 或 $3＜a≤4$

14(2025·浙江义乌期末)如图，$∠ AOB = 45°$，M是射线OB上一点，$OM=2$，以点M为圆心，r为半径作$\odot M$，若$\odot M$与射线OA有两个公共点，则半径r的取值范围是。

14.$\sqrt{2}＜r≤2$

15(2026·常州武进区期中)如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为1 cm的⊙P的圆心在直线AB上,开始时,PO=6 cm.如果⊙P以1 cm/s的速度向右运动,那么当⊙P的运动时间t(s)满足条件时,⊙P与直线CD相交.

15.$4＜t＜8$ [解析]当点 $P$ 在射线 $OA$ 上时,$\odot P$ 与 $CD$ 相切,如图(1),过 $P$ 作 $PE⊥CD$ 于 $E$,
∴$PE=1$ cm.
∵$∠AOC=30°$,
∴$OP=2PE=2$ cm,
∴$\odot P$ 的圆心在直线 $AB$ 上向右移动了$(6-2)$cm 后与 $CD$ 相切,
∴$\odot P$ 移动所用的时间$=\frac{6-2}{1}=4$(秒);
当点 $P$ 在射线 $OB$ 上时,$\odot P$ 与 $CD$ 相切,如图(2),过点 $P$ 作 $PF⊥CD$ 于点 $F$,
∴$PF=1$ cm.
∵$∠AOC=∠DOB=30°$,
∴$OP=2PF=2$ cm,
∴$\odot P$ 的圆心在直线 $AB$ 上向右移动了$(6+2)$cm 后与 $CD$ 相切,
∴$\odot P$ 移动所用的时间$=\frac{6+2}{1}=8$(秒).
故当$\odot P$ 的运动时间 $t(s)$满足条件 $4＜t＜8$ 时,$\odot P$ 与直线 $CD$ 相交.

16 如图,在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作⊙C,半径为r.
(1)当r取什么值时,点A,B在⊙C外?
(2)当r取什么值时,点A在⊙C内,点B在⊙C外?

16.(1)
∵$AC=3$,$BC=4$,
∴当 $0＜r＜3$ 时,点 $A,B$ 在$\odot C$ 外.
(2)
∵$AC=3$,$BC=4$,
∴当 $3＜r＜4$ 时,点 $A$ 在$\odot C$ 内,点 $B$ 在$\odot C$ 外.

17 新考法 新定义问题 点$P$是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点$P$向$x$轴，$y$轴作垂线段，若垂线段的长度的和为$4$，则点$P$叫做“垂距点”。例如：下图中的$P(1,3)$是“垂距点”。
(1)在点$A(2,2),B(\dfrac{3}{2},-\dfrac{5}{2}),C(-1,5)$中，是“垂距点”的点为；
(2)求函数$y=2x+3$的图象上的“垂距点”的坐标；
(3)$\odot T$的圆心$T$的坐标为$(1,0)$，半径为$r$.若$\odot T$上存在“垂距点”，则$r$的取值范围是。

17.(1)A,B
(2)设函数 $y=2x+3$ 的图象上的“垂距点”的坐标为$(a,2a+3)$,依题意得 $|a|+|2a+3|=4$. ①当 $a＞0$ 时,$a+(2a+3)=4$,解得 $a=\frac{1}{3}$,
∴此时“垂距点”的坐标为$(\frac{1}{3},\frac{11}{3})$;②当$-\frac{3}{2}＜a＜0$ 时,$-a+(2a+3)=4$,解得 $a=1$(不合题意,舍去);③当 $a＜-\frac{3}{2}$ 时,$-a-(2a+3)=4$,解得 $a=-\frac{7}{3}$,
∴此时“垂距点”的坐标为$(-\frac{7}{3},-\frac{5}{3})$.综上所述,函数 $y=2x+3$ 的图象上的“垂距点”的坐标是$(\frac{1}{3},\frac{11}{3})$和$(-\frac{7}{3},-\frac{5}{3})$.
(3)$\frac{3\sqrt{2}}{2}≤r＜5$ [解析]设“垂距点”的坐标为$(x,y)$,则$|x|+|y|=4(x·y≠0)$.
当 $x＞0,y＞0$ 时,$x+y=4$,即 $y=-x+4(0＜x＜4)$;
当 $x＜0,y＞0$ 时,$-x+y=4$,即 $y=x+4(-4＜x＜0)$;
当 $x＜0,y＜0$ 时,$-x-y=4$,即 $y=-x-4(-4＜x＜0)$;
当 $x＞0,y＜0$ 时,$x-y=4$,即 $y=x-4(0＜x＜4)$.
画出函数图象,如图所示.

当$\odot T$ 与 $DE$ 相切时,过点 $T$ 作 $TN⊥$ 直线 $DE$ 于点 $N$,易证$△ DNT$ 为等腰直角三角形,
∴$TN=\frac{\sqrt{2}}{2}TD=\frac{\sqrt{2}}{2}×|4-1|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$;
当$\odot T$ 过点 $F(-4,0)$ 时,$\odot T$ 上不存在“垂距点”,此时 $r=FT=|1-(-4)|=5$.
∴若$\odot T$ 上存在“垂距点”,则 $r$ 的取值范围是 $\frac{3\sqrt{2}}{2}≤r＜5$.