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一、选择题
1. 若分式$\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4x + 3}$的值为零，那么(
A.$x = 3$或$x = - 3$
B.$x = 3$且$x = - 3$
C.$x = 3$
D.$x = - 3$
1. 若分式$\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4x + 3}$的值为零，那么(
D
).A.$x = 3$或$x = - 3$
B.$x = 3$且$x = - 3$
C.$x = 3$
D.$x = - 3$
答案
1. D
解析
要使分式$\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4x + 3}$的值为零，则分子为零且分母不为零。
分子$x^{2}-9=0$，即$(x - 3)(x + 3)=0$，解得$x = 3$或$x=-3$。
分母$x^{2}-4x + 3≠0$，即$(x - 1)(x - 3)≠0$，解得$x≠1$且$x≠3$。
综上，$x=-3$。
D
分子$x^{2}-9=0$，即$(x - 3)(x + 3)=0$，解得$x = 3$或$x=-3$。
分母$x^{2}-4x + 3≠0$，即$(x - 1)(x - 3)≠0$，解得$x≠1$且$x≠3$。
综上，$x=-3$。
D
2. 下列等式从左到右的变形正确的是(
A.$\frac{a + b}{a - b}=\frac{b + 1}{a + 1}$
B.$\frac{b}{a}=\frac{bm}{am}$
C.$\frac{ab}{a^{2}}=\frac{b}{a}$
D.$\frac{b}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}$
C
).A.$\frac{a + b}{a - b}=\frac{b + 1}{a + 1}$
B.$\frac{b}{a}=\frac{bm}{am}$
C.$\frac{ab}{a^{2}}=\frac{b}{a}$
D.$\frac{b}{a}=\frac{b^{2}}{a^{2}}$
答案
2. C
3. 分式$\frac{4y + 3x}{4a},\frac{x^{2}-1}{x^{4}-1},\frac{x^{2}-xy + y^{2}}{x + y},\frac{a^{2}+2ab}{ab - 2b^{2}}$中，最简分式有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
C
).A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
3. C
解析
- $\frac{4y + 3x}{4a}$：分子$4y + 3x$与分母$4a$没有公因式，是最简分式。
$\frac{x^{2}-1}{x^{4}-1}$：$x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)$，分子分母有公因式$x^{2}-1$，不是最简分式。
$\frac{x^{2}-xy + y^{2}}{x + y}$：分子$x^{2}-xy + y^{2}$在实数范围内不能分解因式，与分母$x + y$没有公因式，是最简分式。
$\frac{a^{2}+2ab}{ab - 2b^{2}}$：分子$a^{2}+2ab=a(a + 2b)$，分母$ab - 2b^{2}=b(a - 2b)$，分子分母没有公因式，是最简分式。
最简分式有3个。C
$\frac{x^{2}-1}{x^{4}-1}$：$x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)$，分子分母有公因式$x^{2}-1$，不是最简分式。
$\frac{x^{2}-xy + y^{2}}{x + y}$：分子$x^{2}-xy + y^{2}$在实数范围内不能分解因式，与分母$x + y$没有公因式，是最简分式。
$\frac{a^{2}+2ab}{ab - 2b^{2}}$：分子$a^{2}+2ab=a(a + 2b)$，分母$ab - 2b^{2}=b(a - 2b)$，分子分母没有公因式，是最简分式。
最简分式有3个。C
二、填空题
4. 写出未知的分子或分母：$\frac{a - 1}{a + 1}=\frac{a^{2}-1}{( )}=\frac{( )}{a^{2}-1}$.
4. 写出未知的分子或分母：$\frac{a - 1}{a + 1}=\frac{a^{2}-1}{( )}=\frac{( )}{a^{2}-1}$.
答案
4. $ a^{2}+2a+1 $，$ a^{2}-2a+1 $
5. 化简：$\frac{a^{2}+ab}{a^{2}-b^{2}}=$
$ \dfrac{a}{a - b} $
.答案
5. $ \dfrac{a}{a - b} $
解析
$\dfrac{a^{2}+ab}{a^{2}-b^{2}}=\dfrac{a(a + b)}{(a + b)(a - b)}=\dfrac{a}{a - b}$
6. 若$x - 2y = 0$，则分式$\frac{10x - 11y}{x - y}$的值为
9
.答案
6. 9
解析
由$x - 2y = 0$，得$x = 2y$。
将$x = 2y$代入分式$\frac{10x - 11y}{x - y}$，得：
$\begin{aligned}\frac{10×2y - 11y}{2y - y}&=\frac{20y - 11y}{y}\\&=\frac{9y}{y}\\&=9\end{aligned}$
9
将$x = 2y$代入分式$\frac{10x - 11y}{x - y}$，得：
$\begin{aligned}\frac{10×2y - 11y}{2y - y}&=\frac{20y - 11y}{y}\\&=\frac{9y}{y}\\&=9\end{aligned}$
9
三、解答题
7. 约分：
(1) $\frac{-6ab}{3b^{2}}$；
(2) $\frac{n^{2}-9}{3n - n^{2}}$；
(3) $\frac{x^{2}-3xy}{x^{2}-6xy + 9y^{2}}$.
7. 约分：
(1) $\frac{-6ab}{3b^{2}}$；
(2) $\frac{n^{2}-9}{3n - n^{2}}$；
(3) $\frac{x^{2}-3xy}{x^{2}-6xy + 9y^{2}}$.
答案
7. (1) $ -\dfrac{2a}{b} $ (2) $ -\dfrac{n + 3}{n} $ (3) $ \dfrac{x}{x - 3y} $
解析
(1) $\frac{-6ab}{3b^{2}}=-\frac{2a}{b}$
(2) $\frac{n^{2}-9}{3n - n^{2}}=\frac{(n+3)(n-3)}{-n(n-3)}=-\frac{n+3}{n}$
(3) $\frac{x^{2}-3xy}{x^{2}-6xy + 9y^{2}}=\frac{x(x-3y)}{(x-3y)^{2}}=\frac{x}{x-3y}$
(2) $\frac{n^{2}-9}{3n - n^{2}}=\frac{(n+3)(n-3)}{-n(n-3)}=-\frac{n+3}{n}$
(3) $\frac{x^{2}-3xy}{x^{2}-6xy + 9y^{2}}=\frac{x(x-3y)}{(x-3y)^{2}}=\frac{x}{x-3y}$
8. 先化简，再求值：$\frac{x^{2}+2x + 1}{x + 1}$，其中$x=\sqrt{2}-1$.
答案
8. $ \sqrt{2} $
解析
$\frac{x^{2}+2x + 1}{x + 1}=\frac{(x+1)^{2}}{x+1}=x+1$，当$x=\sqrt{2}-1$时，原式$=\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}$
9. 化简：$2a-(a + 1)+\frac{a^{2}-1}{a - 1}$.
答案
9. 化简得 $ 2a $，其中 $ a ≠ 1 $
解析
$2a-(a + 1)+\frac{a^{2}-1}{a - 1}$
$=2a - a - 1 + \frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}$
$=a - 1 + a + 1$
$=2a$，其中$a ≠ 1$
$=2a - a - 1 + \frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}$
$=a - 1 + a + 1$
$=2a$，其中$a ≠ 1$
