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13.如图,是$4×4$的正方形网格,其中已有3个小方格涂成了阴影,请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影,使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形.请用三种方法在图中补全图形,并画出它们各自的对称轴.(所画的三个图形不能全等)
答案
13.(答案不唯一)如图所示：
解析
【分析】
要解决这道题，我们首先回忆轴对称图形的核心特征：存在一条直线（对称轴），将图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，即每个阴影小方格都有对应的对称方格也为阴影。
解题思路如下：
1. 先确定网格中可能的对称轴：常见的有竖直中线、水平中线、斜向对角线类直线这三类；
2. 对每一条候选对称轴，观察已有的3个阴影方格：若其中2个阴影方格已经关于该对称轴对称（或自身在对称轴上），仅剩下1个阴影方格的对称方格是空白的，我们就将这个空白方格涂为阴影，此时4个阴影方格就能构成轴对称图形；
3. 选择3种不同的对称轴，对应得到3种不同的涂色方案，保证涂完的阴影图形不全等，再画出对应的对称轴即可。
【解析】
我们结合轴对称图形的定义，给出三种符合要求的作法：
作法1：选择竖直方向、过网格左右中间的直线为对称轴。
观察已有阴影：第二行的2个阴影方格分别在对称轴两侧，刚好关于该竖直线对称，仅第三行最右侧的阴影方格的对称方格为第三行最左侧的空白方格，将其涂为阴影，此时所有阴影方格沿该竖直线对折后完全重合，画出这条竖直对称轴。
作法2：选择水平方向、过网格上下中间的直线为对称轴。
观察已有阴影：第二行的2个阴影方格的中心刚好在这条水平对称轴上，对折后与自身重合，仅第三行最右侧的阴影方格的对称方格为第一行最右侧的空白方格，将其涂为阴影，此时所有阴影方格沿该水平线对折后完全重合，画出这条水平对称轴。
作法3：选择斜向、沿网格从右上到左下方向穿过(2,3)和(3,2)格点的直线为对称轴。
观察已有阴影：第二行第3列和第三行第4列的阴影方格在对称轴上，对折后与自身重合，仅第二行第2列的阴影方格的对称方格为空白方格，将其涂为阴影，此时所有阴影方格沿该斜直线对折后完全重合，画出这条斜向对称轴。
以上三种作法得到的阴影图形形状不同，不全等，符合题目要求。
【答案】
【知识点】
轴对称图形的概念，对称轴的识别，网格作图
【点评】
本题是开放性作图题，需要灵活运用轴对称图形的性质，结合网格的结构特点寻找合适的对称轴，能有效锻炼空间想象能力和发散思维，解题时注意要保证三种涂法的图形不全等即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们首先回忆轴对称图形的核心特征：存在一条直线（对称轴），将图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，即每个阴影小方格都有对应的对称方格也为阴影。
解题思路如下：
1. 先确定网格中可能的对称轴：常见的有竖直中线、水平中线、斜向对角线类直线这三类；
2. 对每一条候选对称轴，观察已有的3个阴影方格：若其中2个阴影方格已经关于该对称轴对称（或自身在对称轴上），仅剩下1个阴影方格的对称方格是空白的，我们就将这个空白方格涂为阴影，此时4个阴影方格就能构成轴对称图形；
3. 选择3种不同的对称轴，对应得到3种不同的涂色方案，保证涂完的阴影图形不全等，再画出对应的对称轴即可。
【解析】
我们结合轴对称图形的定义，给出三种符合要求的作法：
作法1：选择竖直方向、过网格左右中间的直线为对称轴。
观察已有阴影：第二行的2个阴影方格分别在对称轴两侧，刚好关于该竖直线对称，仅第三行最右侧的阴影方格的对称方格为第三行最左侧的空白方格，将其涂为阴影，此时所有阴影方格沿该竖直线对折后完全重合，画出这条竖直对称轴。
作法2：选择水平方向、过网格上下中间的直线为对称轴。
观察已有阴影：第二行的2个阴影方格的中心刚好在这条水平对称轴上，对折后与自身重合，仅第三行最右侧的阴影方格的对称方格为第一行最右侧的空白方格，将其涂为阴影，此时所有阴影方格沿该水平线对折后完全重合，画出这条水平对称轴。
作法3：选择斜向、沿网格从右上到左下方向穿过(2,3)和(3,2)格点的直线为对称轴。
观察已有阴影：第二行第3列和第三行第4列的阴影方格在对称轴上，对折后与自身重合，仅第二行第2列的阴影方格的对称方格为空白方格，将其涂为阴影，此时所有阴影方格沿该斜直线对折后完全重合，画出这条斜向对称轴。
以上三种作法得到的阴影图形形状不同，不全等，符合题目要求。
【答案】
【知识点】
轴对称图形的概念，对称轴的识别，网格作图
【点评】
本题是开放性作图题，需要灵活运用轴对称图形的性质，结合网格的结构特点寻找合适的对称轴，能有效锻炼空间想象能力和发散思维，解题时注意要保证三种涂法的图形不全等即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.7
14.某养鸡场租用甲、乙两种不同的卡车装运玉米，甲种卡车比乙种卡车每辆少装1 t，甲种卡车共装了22 t，乙种卡车共装了27.5 t，这两种卡车的辆数有可能相等吗？为什么？（每辆卡车都装满）
答案
14.假设两种卡车辆数相等，设甲种卡车每辆装玉米$x$ t,乙种卡车每辆装玉米$(x+1)\mathrm{t}$.
依题意,得$\frac{22}{x}=\frac{27.5}{x+1}$,解得$x=4$.
则每种卡车的辆数为$22÷4=5.5$(辆),卡车的辆数不可能为小数，
所以两种卡车的辆数不可能相等.
依题意,得$\frac{22}{x}=\frac{27.5}{x+1}$,解得$x=4$.
则每种卡车的辆数为$22÷4=5.5$(辆),卡车的辆数不可能为小数，
所以两种卡车的辆数不可能相等.
解析
【分析】
要判断两种卡车的辆数是否可能相等，可采用假设法，先假设辆数相等，结合已知条件找等量关系列方程求解。首先设甲种卡车每辆装x t玉米，则乙种卡车每辆装(x+1)t，辆数相等时，甲的总装载量÷甲每辆装载量=乙的总装载量÷乙每辆装载量，据此列分式方程，求出解后再计算卡车辆数，最后结合车辆数必须为正整数的实际要求判断假设是否成立即可。
【解析】
假设两种卡车的辆数相等，设甲种卡车每辆装玉米$x$ t，则乙种卡车每辆装玉米$(x+1)\mathrm{t}$。
依题意列方程得：$\frac{22}{x}=\frac{27.5}{x+1}$
交叉相乘得：$22(x+1)=27.5x$
解得：$x=4$
经检验，$x=4$是原方程的解，且符合题意。
此时每种卡车的辆数为$22÷4=5.5$（辆），由于卡车的辆数必须为正整数，不可能为小数，因此假设不成立。
【答案】
两种卡车的辆数不可能相等，因为假设辆数相等时，求得的卡车辆数为5.5辆，不符合卡车数量为正整数的实际要求。
【知识点】
分式方程的应用，实际问题解的检验
【点评】
本题结合运输场景考查分式方程的应用，解题关键是合理建立假设、找准等量关系列方程，同时要注意方程的解必须符合实际生活的逻辑，不符合要求的解对应的假设不成立。
【难度系数】
0.7
要判断两种卡车的辆数是否可能相等，可采用假设法，先假设辆数相等，结合已知条件找等量关系列方程求解。首先设甲种卡车每辆装x t玉米，则乙种卡车每辆装(x+1)t，辆数相等时，甲的总装载量÷甲每辆装载量=乙的总装载量÷乙每辆装载量，据此列分式方程，求出解后再计算卡车辆数，最后结合车辆数必须为正整数的实际要求判断假设是否成立即可。
【解析】
假设两种卡车的辆数相等，设甲种卡车每辆装玉米$x$ t，则乙种卡车每辆装玉米$(x+1)\mathrm{t}$。
依题意列方程得：$\frac{22}{x}=\frac{27.5}{x+1}$
交叉相乘得：$22(x+1)=27.5x$
解得：$x=4$
经检验，$x=4$是原方程的解，且符合题意。
此时每种卡车的辆数为$22÷4=5.5$（辆），由于卡车的辆数必须为正整数，不可能为小数，因此假设不成立。
【答案】
两种卡车的辆数不可能相等，因为假设辆数相等时，求得的卡车辆数为5.5辆，不符合卡车数量为正整数的实际要求。
【知识点】
分式方程的应用，实际问题解的检验
【点评】
本题结合运输场景考查分式方程的应用，解题关键是合理建立假设、找准等量关系列方程，同时要注意方程的解必须符合实际生活的逻辑，不符合要求的解对应的假设不成立。
【难度系数】
0.7
15. 先阅读下列一段文字，然后解答问题.
已知:方程 $x-\dfrac{1}{x}=1\dfrac{1}{2}$ 的解是 $x_1=2$，
$x_2=-\dfrac{1}{2}$；
方程 $x-\dfrac{1}{x}=2\dfrac{2}{3}$ 的解是 $x_1=3,x_2=-\dfrac{1}{3}$；
方程 $x-\dfrac{1}{x}=3\dfrac{3}{4}$ 的解是 $x_1=4,x_2=-\dfrac{1}{4}$；
方程 $x-\dfrac{1}{x}=4\dfrac{4}{5}$ 的解是 $x_1=5,x_2=-\dfrac{1}{5}$.
问题:观察上述方程及其解，再猜想出方程
$x-\dfrac{1}{x}=10\dfrac{10}{11}$ 的解，并检验.
已知:方程 $x-\dfrac{1}{x}=1\dfrac{1}{2}$ 的解是 $x_1=2$，
$x_2=-\dfrac{1}{2}$；
方程 $x-\dfrac{1}{x}=2\dfrac{2}{3}$ 的解是 $x_1=3,x_2=-\dfrac{1}{3}$；
方程 $x-\dfrac{1}{x}=3\dfrac{3}{4}$ 的解是 $x_1=4,x_2=-\dfrac{1}{4}$；
方程 $x-\dfrac{1}{x}=4\dfrac{4}{5}$ 的解是 $x_1=5,x_2=-\dfrac{1}{5}$.
问题:观察上述方程及其解，再猜想出方程
$x-\dfrac{1}{x}=10\dfrac{10}{11}$ 的解，并检验.
答案
15.$x_1=11,x_2=-\dfrac{1}{11}$.
检验:将$x_1=11$代入原方程,得
左边$=11-\dfrac{1}{11}=10\dfrac{10}{11}$,故左边$=$右边.
将$x_2=-\dfrac{1}{11}$代入原方程,得
左边$=-\dfrac{1}{11}+11=10\dfrac{10}{11}$,故左边$=$右边.
$\therefore x_1=11,x_2=-\dfrac{1}{11}$是原方程的解.
检验:将$x_1=11$代入原方程,得
左边$=11-\dfrac{1}{11}=10\dfrac{10}{11}$,故左边$=$右边.
将$x_2=-\dfrac{1}{11}$代入原方程,得
左边$=-\dfrac{1}{11}+11=10\dfrac{10}{11}$,故左边$=$右边.
$\therefore x_1=11,x_2=-\dfrac{1}{11}$是原方程的解.
解析
【分析】
解题时先观察给出的方程及其解的共同特征，寻找规律：首先看等号右侧的带分数，整数部分和分数部分的分子相同，分母比分子大1；再看对应的解，第一个解是带分数的分母，第二个解是第一个解的负倒数。找到规律后即可对应写出待求方程的解，最后将两个解分别代入原方程，验证左右两边是否相等即可。
【解析】
1. 找规律猜想解：
观察已知例子可得，当方程为$x-\dfrac{1}{x}=n\dfrac{n}{n+1}$（$n$为正整数）时，解为$x_1=n+1$，$x_2=-\dfrac{1}{n+1}$。
本题方程右侧为$10\dfrac{10}{11}$，对应$n=10$，因此猜想解为$x_1=11$，$x_2=-\dfrac{1}{11}$。
2. 检验解的正确性：
① 把$x_1=11$代入原方程左边：
左边$=11-\dfrac{1}{11}=10\dfrac{10}{11}$，与右边相等，故$x_1=11$是原方程的解。
② 把$x_2=-\dfrac{1}{11}$代入原方程左边：
左边$=-\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{11}}=-\dfrac{1}{11}+11=10\dfrac{10}{11}$，与右边相等，故$x_2=-\dfrac{1}{11}$是原方程的解。
【答案】
猜想方程的解为$x_1=11,x_2=-\dfrac{1}{11}$。
检验:将$x_1=11$代入原方程,得左边$=11-\dfrac{1}{11}=10\dfrac{10}{11}$,故左边$=$右边。
将$x_2=-\dfrac{1}{11}$代入原方程,得左边$=-\dfrac{1}{11}+11=10\dfrac{10}{11}$,故左边$=$右边。
$\therefore x_1=11,x_2=-\dfrac{1}{11}$是原方程的解。
【知识点】
归纳猜想，分式方程检验，分式运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要学生通过观察已知案例提炼共性规律，再迁移应用到新的问题中，同时要求掌握分式方程解的检验方法，侧重考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
解题时先观察给出的方程及其解的共同特征，寻找规律：首先看等号右侧的带分数，整数部分和分数部分的分子相同，分母比分子大1；再看对应的解，第一个解是带分数的分母，第二个解是第一个解的负倒数。找到规律后即可对应写出待求方程的解，最后将两个解分别代入原方程，验证左右两边是否相等即可。
【解析】
1. 找规律猜想解：
观察已知例子可得，当方程为$x-\dfrac{1}{x}=n\dfrac{n}{n+1}$（$n$为正整数）时，解为$x_1=n+1$，$x_2=-\dfrac{1}{n+1}$。
本题方程右侧为$10\dfrac{10}{11}$，对应$n=10$，因此猜想解为$x_1=11$，$x_2=-\dfrac{1}{11}$。
2. 检验解的正确性：
① 把$x_1=11$代入原方程左边：
左边$=11-\dfrac{1}{11}=10\dfrac{10}{11}$，与右边相等，故$x_1=11$是原方程的解。
② 把$x_2=-\dfrac{1}{11}$代入原方程左边：
左边$=-\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{11}}=-\dfrac{1}{11}+11=10\dfrac{10}{11}$，与右边相等，故$x_2=-\dfrac{1}{11}$是原方程的解。
【答案】
猜想方程的解为$x_1=11,x_2=-\dfrac{1}{11}$。
检验:将$x_1=11$代入原方程,得左边$=11-\dfrac{1}{11}=10\dfrac{10}{11}$,故左边$=$右边。
将$x_2=-\dfrac{1}{11}$代入原方程,得左边$=-\dfrac{1}{11}+11=10\dfrac{10}{11}$,故左边$=$右边。
$\therefore x_1=11,x_2=-\dfrac{1}{11}$是原方程的解。
【知识点】
归纳猜想，分式方程检验，分式运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要学生通过观察已知案例提炼共性规律，再迁移应用到新的问题中，同时要求掌握分式方程解的检验方法，侧重考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
