7. 若式子$\dfrac{1}{x - 4}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是________.

7. $x≠ 4$ 【点拨】本题考查分式有意义的条件.
【解析】若式子$\frac{1}{x - 4}$在实数范围内有意义,则$x - 4≠ 0$,$x≠ 4$. 故答案为$x≠ 4$.

【分析】要确定分式有意义时x的取值范围，需牢记分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题中的分式为$\frac{1}{x-4}$，因此只需让分母$x-4≠0$，解这个不等式就能得到x的取值范围。
【解析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，所以对于式子$\frac{1}{x-4}$，有$x - 4 ≠ 0$，解得$x ≠ 4$。
【答案】$x≠4$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题是分式相关的基础题，直接考查分式有意义的基本规则，解题思路明确，只要掌握“分式分母不为0”的知识点即可快速解答。
【难度系数】0.8

8. 分式$\dfrac{2}{xy}$与$\dfrac{3}{yz}$的最简公分母是________.

8. xyz 【点拨】本题考查最简公分母的定义.
【解析】分式$\frac{2}{xy}$与$\frac{3}{yz}$的分母分别是$xy,yz$,
$\therefore$ 最简公分母是xyz. 故答案为xyz.

【分析】要确定两个分式的最简公分母，需依据最简公分母的定义：取各分式分母中所有因式的最高次幂的乘积。先分别找出两个分式分母的因式，再将各因式的最高次幂相乘即可得到结果。
【解析】分式$\dfrac{2}{xy}$的分母是$xy$，因式为$x$、$y$；分式$\dfrac{3}{yz}$的分母是$yz$，因式为$y$、$z$。取各因式的最高次幂（$x$、$y$、$z$的次数均为1），相乘得最简公分母为$xyz$。
【答案】xyz
【知识点】最简公分母
【点评】本题考查最简公分母的基本概念，属于分式运算的基础题型，主要考查学生对定义的掌握，难度较低。
【难度系数】0.9

9. 化简$\frac{8ab^3c}{6abc^2}$的结果是________.

9. $\frac{4b^2}{3c}$ 【点拨】本题考查分式的基本性质及分式化简.
【解析】$\frac{8ab^3c}{6abc^2} = \frac{4b^2}{3c}$. 故答案为$\frac{4b^2}{3c}$.

【分析】要化简给定的分式，需依据分式的基本性质，将分子与分母的公因式约去得到最简分式。先确定分子分母的公因式：系数8和6的最大公约数为2，相同字母a的最低次幂是a、b的最低次幂是b、c的最低次幂是c，因此公因式为2abc，将分子分母同时除以该公因式即可完成化简。
【解析】$\frac{8ab^3c}{6abc^2} = \frac{8÷2 · a÷ a · b^3÷ b · c÷ c}{6÷2 · a÷ a · b÷ b · c^2÷ c} = \frac{4b^2}{3c}$
【答案】$\frac{4b^2}{3c}$
【知识点】分式的基本性质，分式化简
【点评】本题是分式化简的基础题型，核心考查分式约分的基本方法，只要掌握公因式的寻找规则，即可轻松解答，属于易得分题。
【难度系数】0.8

10. 计算$\sqrt{18a} · \sqrt{2a}(a ≥ 0)$的结果是________.

10. 6a 【点拨】本题考查二次根式的运算与化简.
【解析】$\sqrt{18a} · \sqrt{2a} = \sqrt{36a^2} = \sqrt{36} · \sqrt{a^2} = 6|a|$.
$\because a≥ 0$,$\therefore$ 原式$=6a$. 故答案为6a.

【分析】本题考查二次根式的乘法运算，解题思路是：先利用二次根式的乘法法则将两个二次根式的被开方数相乘，再对乘积后的二次根式进行化简，最后结合题目给出的$a≥0$的条件去掉绝对值符号，得到最终结果。
【解析】根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}(m≥0,n≥0)$，可得：
$\sqrt{18a}·\sqrt{2a}=\sqrt{18a·2a}=\sqrt{36a^2}$；
对$\sqrt{36a^2}$化简，得$\sqrt{36}·\sqrt{a^2}=6|a|$；
因为题目中明确$a≥0$，所以$|a|=a$，因此原式$=6a$。
【答案】6a
【知识点】二次根式的乘法运算、二次根式的化简
【点评】本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式乘法法则的应用，解题时需注意被开方数的非负性，以及化简二次根式时绝对值的处理，结合题目给出的$a$的取值范围即可快速得出结果。
【难度系数】0.7

11. 若$x^2 - x - 2 = 0$,则$x - \dfrac{2}{x} =$.

11. 1 【点拨】本题考查整体代入法求代数式的值.
【解析】$\because x^2 - x - 2 = 0$,$\therefore x^2 - 2 = x$,
$\therefore x - \frac{2}{x} = \frac{x^2 - 2}{x} = \frac{x}{x} = 1$. 故答案为1.

【分析】
要解决这个问题，需先对已知方程变形，得到与所求代数式分子相关的式子，再通过通分、整体代入的方法简化计算，最终求出结果。
【解析】
已知$x^2 - x - 2 = 0$，移项可得$x^2 - 2 = x$；
对所求代数式$x - \frac{2}{x}$通分，得$\frac{x^2 - 2}{x}$；
将$x^2 - 2 = x$代入上式，可得$\frac{x}{x} = 1$。
【答案】
1
【知识点】
代数式求值、整体代入法
【点评】
本题考查整体代入法在代数式求值中的应用，属于基础题型，重点考查学生对整体思想的理解与运用。
【难度系数】
0.6

12. 在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同. 从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程. 以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：

根据试验所得数据，估计白球有个.

12. 15 【点拨】本题考查用频率估计概率.
【解析】观察题中表格可知随着摸球次数的不断增多,摸出白球的频率逐渐稳定在0.6附近,由此估计,一次试验中摸出白球的概率为0.6.
设白球有$x$个,则$\frac{x}{x + 10} = 0.6$,解得$x = 15$.
经检验$x = 15$是原分式方程的解,且符合题意.
$\therefore$ 估计白球有15个. 故答案为15.

【分析】
要估计白球的个数，需利用“大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在该事件的概率附近”的规律。首先计算各次摸球试验中摸出白球的频率，找到稳定的频率值作为摸出白球的概率；再根据概率公式，设白球数量为未知数，结合黑球个数列出方程，解方程并检验解的合理性，即可得到白球个数。
【解析】
1. 计算各次试验中摸出白球的频率：
100次试验：$\frac{55}{100}=0.55$；1000次试验：$\frac{618}{1000}=0.618$；5000次试验：$\frac{3032}{5000}=0.6064$；10000次试验：$\frac{5957}{10000}=0.5957$；50000次试验：$\frac{30104}{50000}=0.60208$；100000次试验：$\frac{59995}{100000}=0.59995$。
观察可知，随着试验次数增加，摸出白球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此估计摸出白球的概率为0.6。
2. 设袋中白球有$x$个，总球数为$(x+10)$个，根据概率公式得：
$\frac{x}{x+10}=0.6$
3. 解方程：
两边同乘$(x+10)$得：$x=0.6(x+10)$，展开得$x=0.6x+6$，移项得$0.4x=6$，解得$x=15$。
4. 检验：当$x=15$时，总球数为25，$\frac{15}{25}=0.6$，符合概率要求，且球的个数为正整数，符合题意。
【答案】
15
【知识点】
用频率估计概率、概率公式、分式方程应用
【点评】
本题是用频率估计概率解决实际问题的基础题型，考查学生对频率与概率关系的理解，以及方程思想的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6

13. 已知$a=5+\sqrt{5},b=3+\sqrt{10},c=\sqrt{30}$，用“＜”表示$a,b,c$的大小关系为$\underline{\hspace{5em}}$.

13. $c ＜ b ＜ a$ 【点拨】本题考查无理数的估算,实数比较大小.
【解析】$\because 4 ＜ 5 ＜ 9$,$\therefore 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$,
$\therefore 7 ＜ 5 + \sqrt{5} ＜ 8$,即$7 ＜ a ＜ 8$.
$\because 9 ＜ 10 ＜ 16$,$\therefore 3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$,
$\therefore 6 ＜ 3 + \sqrt{10} ＜ 7$,即$6 ＜ b ＜ 7$.
$\because 5 = \sqrt{25} ＜ \sqrt{30} ＜ \sqrt{36} = 6$,即$5 ＜ c ＜ 6$.
综上所述,$5 ＜ c ＜ 6 ＜ b ＜ 7 ＜ a ＜ 8$,即$c ＜ b ＜ a$. 故答案为$c ＜ b ＜ a$.

【分析】要比较含无理数的a、b、c的大小，可通过估算每个无理数的取值范围，确定a、b、c的大致区间，再根据区间的大小关系得出结果。
【解析】先估算各无理数的范围：
1. 对于$\sqrt{5}$，因为$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，则$a=5+\sqrt{5}$的范围是$5+2＜a＜5+3$，即$7＜a＜8$；
2. 对于$\sqrt{10}$，因为$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$，则$b=3+\sqrt{10}$的范围是$3+3＜b＜3+4$，即$6＜b＜7$；
3. 对于$\sqrt{30}$，因为$25＜30＜36$，所以$5＜\sqrt{30}＜6$，即$5＜c＜6$；
综上，三个数的区间关系为$5＜c＜6＜b＜7＜a＜8$，故$c＜b＜a$。
【答案】$c＜b＜a$
【知识点】无理数的估算、实数大小比较
【点评】本题通过夹逼法估算无理数范围，再比较实数大小，是无理数比较大小的基础题型，核心是掌握根号的估算方法。
【难度系数】0.6

14. 如图,在$□ ABCD$和$□ BCEF$中,$M,N$分别为对角线交点,已知$BC = 10$,且$△ MDA$与$△ NEF$的周长分别为22与21,则四边形$BNCM$的周长为________.

14. 23 【点拨】本题考查平行四边形的性质.
【解析】在$□ ABCD$与$□ BCEF$中,$AD = BC = EF = 10$,
$AM = CM$,$BM = DM$,$BN = EN$,$CN = FN$,
$△ MDA$的周长为$AD + AM + DM = 22$,
$△ NEF$的周长为$EF + FN + EN = 21$,
$\therefore AM + DM = 22 - AD = 12$,$FN + EN = 21 - EF = 11$,
$\therefore AM + DM + FN + EN = 12 + 11 = 23$,
$\therefore BM + CM + BN + CN = 23$,即四边形$BNCM$的周长为23. 故答案为23.

【分析】
要解决四边形BNCM的周长问题，需利用平行四边形的核心性质：对边相等、对角线互相平分。首先，由两个平行四边形的性质可得对应边相等，对角线交点平分对角线，进而将所求四边形的周长转化为已知两个三角形周长的和减去公共边的长度，通过线段等量替换即可计算结果。
【解析】
∵四边形$ABCD$和$BCEF$都是平行四边形，
∴根据平行四边形的性质：①对边相等，得$AD=BC=EF=10$；②对角线互相平分，得$M$是$AC$、$BD$的交点，故$AM=CM$，$BM=DM$；$N$是$BE$、$CF$的交点，故$BN=EN$，$CN=FN$。
已知$△ MDA$的周长为22，即$AD + AM + DM = 22$，代入$AD=10$，得：
$AM + DM = 22 - AD = 22 - 10 = 12$。
已知$△ NEF$的周长为21，即$EF + EN + FN = 21$，代入$EF=10$，得：
$EN + FN = 21 - EF = 21 - 10 = 11$。
四边形$BNCM$的周长为$BM + CM + BN + CN$，结合$BM=DM$、$CM=AM$、$BN=EN$、$CN=FN$，替换后得：
$BM + CM + BN + CN = DM + AM + EN + FN = (AM + DM) + (EN + FN) = 12 + 11 = 23$。
【答案】
23
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形性质的基础应用，核心是利用平行四边形对边相等、对角线互相平分的特点，将未知线段转化为已知三角形周长的组成部分，关键在于线段的等量替换，属于常规几何计算题型。
【难度系数】
0.5

15. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的两个顶点A,B坐标分别为$(-2,0),(0,\sqrt{3})$,则点C的坐标为________.

15. $(-\sqrt{3},2 + \sqrt{3})$ 【点拨】本题考查坐标与图形的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,一线三等角模型.
【解析】如图,过点$C$作$CE ⊥ y$轴于点$E$.
在正方形$ABCD$中,$A(-2,0)$,$B(0,\sqrt{3})$,$∠ ABC = 90°$,$AB = BC$,
$\therefore OA = 2$,$OB = \sqrt{3}$.
$\because ∠ AOB = 90°$,
$\therefore ∠ OAB + ∠ OBA = 90°$.
又$\because ∠ EBC + ∠ OBA = 180° - ∠ ABC = 180° - 90° = 90°$,$\therefore ∠ EBC = ∠ OAB$.
在$△ AOB$和$△ BEC$中$\begin{cases} ∠ AOB = ∠ BEC, \\ ∠ OAB = ∠ EBC, \\ AB = BC, \end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ BEC(\mathrm{AAS})$,$\therefore BE = AO = 2$,$EC = OB = \sqrt{3}$,
$\therefore OE = BE + OB = 2 + \sqrt{3}$,$\therefore C(-\sqrt{3},2 + \sqrt{3})$.
故答案为$(-\sqrt{3},2 + \sqrt{3})$.

【分析】要确定点C的坐标，需结合正方形的性质，通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质转化线段长度，进而确定点的横纵坐标。首先过点C作CE⊥y轴于E，利用正方形的直角性质找到角的等量关系，证明△AOB与△BEC全等，再根据全等三角形对应边相等得到线段长度，最终结合坐标系位置确定点C的坐标。
【解析】如图，过点$C$作$CE ⊥ y$轴于点$E$。
在正方形$ABCD$中，$A(-2,0)$，$B(0,\sqrt{3})$，$∠ ABC = 90°$，$AB = BC$，
$\therefore OA = 2$，$OB = \sqrt{3}$。
$\because ∠ AOB = 90°$，
$\therefore ∠ OAB + ∠ OBA = 90°$。
又$\because ∠ EBC + ∠ OBA = 180° - ∠ ABC = 180° - 90° = 90°$，
$\therefore ∠ EBC = ∠ OAB$。
在$△ AOB$和$△ BEC$中$\begin{cases} ∠ AOB = ∠ BEC, \\ ∠ OAB = ∠ EBC, \\ AB = BC, \end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ BEC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE = AO = 2$，$EC = OB = \sqrt{3}$，
$\therefore OE = BE + OB = 2 + \sqrt{3}$，
$\because CE⊥y$轴，点$C$在第二象限，横坐标为负，纵坐标为$OE$的长度，
$\therefore C(-\sqrt{3},2 + \sqrt{3})$。
【答案】$(-\sqrt{3},2 + \sqrt{3})$
【知识点】正方形性质、全等三角形判定、坐标与图形性质
【点评】本题结合正方形的性质，通过构造直角三角形，运用AAS证明三角形全等，将线段长度转化为坐标，是坐标与几何结合的典型题型，需掌握一线三等角模型的应用。
【难度系数】0.5

16. 已知有两张全等的矩形纸片,长是6,宽是3.如图将这两张纸片叠合得到菱形ABCD.设菱形ABCD的面积为S,则S的取值范围是.

16. $9≤ S≤ \frac{45}{4}$ 【点拨】本题考查矩形的性质,菱形的性质和勾股定理.
【解析】由题意可知菱形$ABCD$的$AB$边上的高$h = 3$,
${S}_{\mathrm{菱形}ABCD} = AB · h$,
当$AD ⊥ AB$时,如图1,$AB$取最小值3;
当$AC$恰好是原长方形纸片的一条对角线时,如图2,$AB$取最大值.
设此时$AB = BC = x$,则$(6 - x)^2 + 3^2 = x^2$,
解得$x = \frac{15}{4}$,即此时$AB = \frac{15}{4}$,
$\therefore 3≤ AB≤ \frac{15}{4}$,$\therefore 9≤ S≤ \frac{45}{4}$.
故答案为$9≤ S≤ \frac{45}{4}$.

【分析】要确定菱形ABCD的面积S的取值范围，首先明确菱形面积公式为底×高。本题中两张矩形纸片的宽为3，因此菱形AB边上的高固定为3，故S=AB×3，只需确定AB的取值范围即可。AB的最小值出现在菱形为正方形时（AD⊥AB），此时AB等于矩形的宽；AB的最大值出现在AC为矩形对角线时，利用勾股定理可求出AB的最大值，进而得到S的范围。
【解析】菱形的面积公式为：$S=底×高$，本题中菱形AB边上的高等于矩形的宽，即$h=3$，因此$S=AB×3$。
1. 求AB的最小值：当菱形ABCD为正方形时，$AD⊥AB$，此时AB等于矩形的宽，即AB最小为3，对应$S_{最小}=3×3=9$。
2. 求AB的最大值：当AC恰好是原矩形纸片的一条对角线时，AB取最大值。设$AB=BC=x$，在直角三角形中，由勾股定理得：$(6-x)^2 + 3^2 = x^2$，展开化简得$36 -12x +x^2 +9 =x^2$，即$45-12x=0$，解得$x=\frac{15}{4}$，即AB最大为$\frac{15}{4}$，对应$S_{最大}=\frac{15}{4}×3=\frac{45}{4}$。
因此，S的取值范围是$9≤ S≤ \frac{45}{4}$。
【答案】$9≤ S≤ \frac{45}{4}$
【知识点】菱形面积、矩形性质、勾股定理
【点评】本题结合矩形与菱形的性质，通过分类讨论菱形边长的最值，利用勾股定理求解面积范围，考查了菱形面积公式的应用，需要学生具备数形结合的思想。
【难度系数】0.5

三、解答题(本大题共10小题,共68分.解答应写出过程)
17. (8分)计算.
(1)$\sqrt{12} - 6\sqrt{\frac{1}{3}}$;
(2)$(\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})$.

17. 【点拨】本题考查二次根式的运算与化简,完全平方公式,平方差公式.
【解析】(1)$\sqrt{12} - 6\sqrt{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{3} - 6 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0$.
(2)$(\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})$
$= 2 + 2\sqrt{2} + 1 - (7 - 5)$
$= 2 + 2\sqrt{2} + 1 - 2$
$= 2\sqrt{2} + 1$.

【分析】本题考查二次根式的运算，需先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式；第二问需运用完全平方公式和平方差公式展开后化简计算。具体步骤：(1)先化简$\sqrt{12}$和$6\sqrt{\frac{1}{3}}$，再合并同类二次根式；(2)分别用完全平方公式展开第一个式子，用平方差公式计算第二个乘积，再合并化简。
【解析】(1) $\sqrt{12} - 6\sqrt{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{3} - 6×\frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0$；
(2) $(\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) = (2 + 2\sqrt{2} + 1) - (7 - 5) = 3 + 2\sqrt{2} - 2 = 2\sqrt{2} + 1$。
【答案】(1) $0$；(2) $2\sqrt{2} + 1$
【知识点】二次根式的化简与运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】本题是二次根式运算的基础题，重点考查最简二次根式的化简、同类二次根式的合并以及乘法公式的应用，属于代数运算的核心基础内容，学生需熟练掌握相关公式和运算法则。
【难度系数】0.7