20.(真题·杭州钱塘)如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AC,BC的中点,延长ED至点F,使$DF=ED$,连结AE,AF,CF。
(1)从条件①$AC=AB$;②$AC=BC$中选择合适的一个,完成四边形AECF为矩形的证明。
(2)在(1)的结论下,若AC平分$∠ FAB$,且$AF=1$,求四边形ABEF的面积。

20.(1)选择条件①$AC=AB$,不能选择条件②$AC=BC$;证明:因为D是AC的中点,所以$AD=CD$,因为$DF=ED$,所以四边形AECF为平行四边形,选择①$AC=AB$,因为点E为BC的中点,所以$AE⊥ BC$,所以$∠ AEC=90°$,所以四边形AECF为矩形。
(2)因为四边形AECF为矩形,所以$AF// BC$,$AF=CE$,因为E为BC的中点,所以$CE=BE$,所以$AF=BE=1$,因为$AF// BE$,所以四边形ABEF是平行四边形,因为$AF// BC$,所以$∠ FAC=∠ ACB$,因为AC平分$∠ BAF$,所以$∠ FAC=∠ BAC$,所以$∠ BAC=∠ ACB$,所以$AB=BC=2$,因为$∠ AEB=90°$,所以根据勾股定理得:$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{3}$,因为四边形ABEF为平行四边形,所以$S_{\mathrm{四边形}ABEF}=BE× AE=\sqrt{3}$。

【分析】
第(1)问：要证明四边形AECF为矩形，需先判定其为平行四边形，再添加直角条件。由D是AC中点、DF=ED，可证四边形AECF是平行四边形；要使平行四边形为矩形，需有一个内角为直角，结合E是BC中点，等腰三角形三线合一的性质，需AB=AC，故选择条件①。第(2)问：在矩形AECF的基础上，利用其对边平行且相等，结合E是BC中点，可推出四边形ABEF是平行四边形；再由角平分线和平行线的性质，推出AB=BC，最后用勾股定理求出AE，进而计算平行四边形ABEF的面积。
【解析】
(1) 选择条件①$AC=AB$，证明：
∵ D是AC的中点，
∴ $AD=CD$，
又
∵ $DF=ED$，
∴ 四边形AECF的对角线互相平分，故四边形AECF为平行四边形。
∵ E是BC的中点，$AC=AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，$AE⊥BC$，即$∠AEC=90°$，
∴ 平行四边形AECF为矩形。
(2) 由(1)知四边形AECF为矩形，
∴ $AF// BC$，$AF=CE$，
∵ E为BC的中点，
∴ $CE=BE$，
∴ $AF=BE$，
又
∵ $AF// BE$，
∴ 四边形ABEF是平行四边形。
∵ $AF// BC$，
∴ $∠FAC=∠ACB$，
∵ AC平分$∠BAF$，
∴ $∠FAC=∠BAC$，
∴ $∠BAC=∠ACB$，
∴ $AB=BC$。
∵ $AF=1$，
∴ $CE=BE=AF=1$，故$BC=AB=2$。
∵ $AE⊥BC$，
∴ $∠AEB=90°$，在$Rt△ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$，
∵ 四边形ABEF为平行四边形，
∴ $S_{四边形ABEF}=BE×AE=1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 选择条件①，证明见解析；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题为几何综合题，需先合理选择条件，再结合特殊四边形的性质、角平分线与平行线的关系逐步推导，考查学生对几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.5

21.(真题·杭州滨江)已知 BD 是$□ ABCD$的对角线。小滨和小江分别用尺规作特殊的平行四边形：
(1)小滨:如图1,作 BD 的中垂线,分别交 BC,AD,BD 于点 E,F,O,连结 BF,DE,则得到的四边形 BEDF 是菱形。请问小滨的作法是否正确?若正确,请证明;若不正确,请说明理由。
(2)小江:如图2,过 BD 中点 O 作直线 MQ,分别交 AB,CD 于点 M,Q。以点 O 为圆心,OM 长为半径画弧,与边 AD 交于点 N,连结 NO 并延长 NO 交 BC 于点 P,连结 MN,NQ,QP,PM,则得到的四边形 MPQN 是矩形,请问小江的作法是否正确?若正确,请证明;若不正确,请说明理由。

21.(1)小滨的作法正确。证明:因为在$□ ABCD$中,$AD// BC$,所以$∠ DFO=∠ BEO$,因为EF垂直平分BD,所以$OB=OD$,因为$∠ FOD=∠ EOB$,所以$△ FOD≌△ EOB(\mathrm{AAS})$,所以$BE=DF$,又因为$BE// DF$,所以四边形BEDF是平行四边形,又因为$EF⊥ BD$,所以四边形BEDF是菱形。
(2)小江的作法正确。证明:因为在$□ ABCD$中,$AB// CD$,所以$∠ ABO=∠ ODC$,因为O为BD中点,所以$BO=DO$,又因为$∠ MOB=∠ QOD$,所以$△ BOM≌△ DOQ(\mathrm{ASA})$,所以$MO=QO$。同理可证,$△ DNO≌△ BPO$,所以$NO=PO$,所以四边形MNQP是平行四边形,又因为$MO=NO$,所以$MQ=PN$。所以四边形MNQP是矩形。[第21题图]

【分析】
本题分为两小问，均需结合平行四边形的性质，通过全等三角形的判定推导边的关系，再依据特殊四边形的判定定理判断作法是否正确。
(1) 对于小滨的作法，先利用平行四边形对边平行得到内错角相等，结合BD中垂线的性质（OB=OD，EF⊥BD），证明△FOD≌△EOB，得到BE=DF，结合BE//DF，先判定四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出结论。
(2) 对于小江的作法，先利用平行四边形对边平行得到内错角相等，结合O是BD中点（BO=DO），证明△BOM≌△DOQ，得MO=QO；同理证明△DNO≌△BPO，得NO=PO，先判定四边形MNQP是平行四边形；再由OM=ON，得MQ=PN，根据对角线相等的平行四边形是矩形，得出结论。
【解析】
(1) 小滨的作法正确，证明如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DFO = ∠BEO，
∵ EF垂直平分BD，
∴ OB = OD，EF⊥BD，
又
∵ ∠FOD = ∠EOB，
∴ △FOD ≌ △EOB（AAS），
∴ BE = DF，
又
∵ BE//DF，
∴ 四边形BEDF是平行四边形，
∵ EF⊥BD，
∴ 平行四边形BEDF是菱形。
(2) 小江的作法正确，证明如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠ABO = ∠ODC，
∵ O为BD中点，
∴ BO = DO，
又
∵ ∠MOB = ∠QOD，
∴ △BOM ≌ △DOQ（ASA），
∴ MO = QO，
同理可证：△DNO ≌ △BPO，
∴ NO = PO，
∴ 四边形MNQP是平行四边形，
∵ MO = NO，
∴ MQ = MO + QO = 2MO，PN = NO + PO = 2NO，
∴ MQ = PN，
∴ 平行四边形MNQP是矩形。
【答案】
(1) 小滨的作法正确，证明如上；(2) 小江的作法正确，证明如上。
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，需熟练运用全等三角形的判定定理推导边的关系，结合特殊四边形的判定方法进行证明，是几何证明的基础题型，侧重考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5