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18.(真题·绍兴上虞)如图,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F。
(1)求证:△BCE≌△DCF。
(2)若BE=3,CF=4,求BC的长。
(1)求证:△BCE≌△DCF。
(2)若BE=3,CF=4,求BC的长。
答案
18.(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以$BC=CD$,$∠ B=∠ D$。因为$CE⊥ AB$于点E,$CF⊥ AD$于点F,所以$∠ BEC=∠ DFC=90°$,在$△ BCE$与$△ DCF$中,$\begin{cases}∠ BEC=∠ DFC=90°,\\∠ B=∠ D,\\BC=DC,\end{cases}$所以$△ BCE≌△ DCF(\mathrm{AAS})$。
(2)因为$△ BCE≌△ DCF$,所以$CE=CF=4$,因为$∠ BEC=90°$,$BE=3$,所以$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(2)因为$△ BCE≌△ DCF$,所以$CE=CF=4$,因为$∠ BEC=90°$,$BE=3$,所以$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问需证明两个三角形全等，解题思路是先利用菱形的性质得到边和角的等量关系，再结合垂线带来的直角相等，用AAS判定全等；第二问利用第一问全等的性质得到对应边相等，再结合直角三角形的勾股定理计算边长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ BC=CD，∠B=∠D。
∵ CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ ∠BEC=∠DFC=90°。
在△BCE和△DCF中：
$\begin{cases}∠BEC=∠DFC \\∠B=∠D \\BC=DC\end{cases}$
∴ △BCE≌△DCF（AAS）。
(2) 解：
∵ △BCE≌△DCF，
∴ CE=CF=4。
∵ CE⊥AB，
∴ △BCE是直角三角形，
在Rt△BCE中，BE=3，CE=4，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
【答案】
(1) △BCE≌△DCF得证；(2) BC的长为5。
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题结合菱形性质、全等判定与勾股定理，解题关键是利用菱形的边和角的等量关系推导全等，再用全等性质转化边长，最后用勾股定理计算，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第一问需证明两个三角形全等，解题思路是先利用菱形的性质得到边和角的等量关系，再结合垂线带来的直角相等，用AAS判定全等；第二问利用第一问全等的性质得到对应边相等，再结合直角三角形的勾股定理计算边长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ BC=CD，∠B=∠D。
∵ CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ ∠BEC=∠DFC=90°。
在△BCE和△DCF中：
$\begin{cases}∠BEC=∠DFC \\∠B=∠D \\BC=DC\end{cases}$
∴ △BCE≌△DCF（AAS）。
(2) 解：
∵ △BCE≌△DCF，
∴ CE=CF=4。
∵ CE⊥AB，
∴ △BCE是直角三角形，
在Rt△BCE中，BE=3，CE=4，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
【答案】
(1) △BCE≌△DCF得证；(2) BC的长为5。
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题结合菱形性质、全等判定与勾股定理，解题关键是利用菱形的边和角的等量关系推导全等，再用全等性质转化边长，最后用勾股定理计算，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.6
19.(真题·绍兴新昌)如图,在正方形 ABCD 中,G 是对角线 BD上的一点(不与点 B,D 重合),过点 G 作$GE // BC,GF // DC$,分别交 DC,BC 于点 E,F。
(1)求证:四边形 GECF 是矩形。
(2)若$AB=7,CF=3$,求 AG 的长。
第 19 题图
(1)求证:四边形 GECF 是矩形。
(2)若$AB=7,CF=3$,求 AG 的长。
第 19 题图
答案
19.(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以$∠ C=90°$,因为$GE// BC$,$GF// CD$,所以四边形GECF是平行四边形,所以$□ GECF$是矩形。
(2)如图,连结GC,在正方形ABCD中,$AD=CD=AB=7$,$∠ ADG=∠ CDG=45°$,在$△ AGD$和$△ CGD$中,$\begin{cases}AD=CD,\\∠ ADG=∠ CDG=45°,\\DG=DG,\end{cases}$所以$△ AGD≌△ CGD(\mathrm{SAS})$,所以$AG=CG$,因为四边形GECF是矩形,$CF=3$,所以$GE=CF=3$,$∠ GEC=∠ GED=90°$,因为$∠ CDG=45°$,所以$△ GED$是等腰直角三角形,所以$DE=GE=3$,所以$CE=CD-DE=7-3=4$,在$\mathrm{Rt}△ CGE$中,由勾股定理得:$CG=\sqrt{GE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,所以$AG=CG=5$。[第19题图]
(2)如图,连结GC,在正方形ABCD中,$AD=CD=AB=7$,$∠ ADG=∠ CDG=45°$,在$△ AGD$和$△ CGD$中,$\begin{cases}AD=CD,\\∠ ADG=∠ CDG=45°,\\DG=DG,\end{cases}$所以$△ AGD≌△ CGD(\mathrm{SAS})$,所以$AG=CG$,因为四边形GECF是矩形,$CF=3$,所以$GE=CF=3$,$∠ GEC=∠ GED=90°$,因为$∠ CDG=45°$,所以$△ GED$是等腰直角三角形,所以$DE=GE=3$,所以$CE=CD-DE=7-3=4$,在$\mathrm{Rt}△ CGE$中,由勾股定理得:$CG=\sqrt{GE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,所以$AG=CG=5$。[第19题图]
解析
【分析】
第(1)问要证明四边形GECF是矩形，需先利用两组对边平行证其为平行四边形，再结合正方形的直角条件，根据矩形判定定理完成证明；第(2)问求AG的长，通过连接GC，利用正方形对角线的性质证明△AGD≌△CGD，得到AG=CG，再结合矩形性质、等腰直角三角形的特点算出相关线段长度，最后用勾股定理求出CG，即AG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°。又
∵GE//BC，GF//DC，
∴四边形GECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵∠C=90°，
∴平行四边形GECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：连接GC。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=7，∠ADG=∠CDG=45°。在△AGD和△CGD中，$\begin{cases}AD=CD,\\∠ADG=∠CDG,\\DG=DG,\end{cases}$
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴AG=CG。
∵四边形GECF是矩形，
∴GE=CF=3，∠GEC=90°，则∠GED=90°。又
∵∠CDG=45°，
∴△GED是等腰直角三角形，
∴DE=GE=3，
∴CE=CD - DE=7 - 3=4。在Rt△CGE中，由勾股定理得：$CG=\sqrt{GE^2 + CE^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，
∴AG=CG=5。
【答案】AG的长为5
【知识点】矩形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】本题结合正方形的性质，综合考查了矩形的判定、全等三角形的应用及勾股定理，辅助线的添加是解题关键，需学生熟练掌握相关几何定理，理清图形间的关系。
【难度系数】0.5
第(1)问要证明四边形GECF是矩形，需先利用两组对边平行证其为平行四边形，再结合正方形的直角条件，根据矩形判定定理完成证明；第(2)问求AG的长，通过连接GC，利用正方形对角线的性质证明△AGD≌△CGD，得到AG=CG，再结合矩形性质、等腰直角三角形的特点算出相关线段长度，最后用勾股定理求出CG，即AG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°。又
∵GE//BC，GF//DC，
∴四边形GECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵∠C=90°，
∴平行四边形GECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：连接GC。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=7，∠ADG=∠CDG=45°。在△AGD和△CGD中，$\begin{cases}AD=CD,\\∠ADG=∠CDG,\\DG=DG,\end{cases}$
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴AG=CG。
∵四边形GECF是矩形，
∴GE=CF=3，∠GEC=90°，则∠GED=90°。又
∵∠CDG=45°，
∴△GED是等腰直角三角形，
∴DE=GE=3，
∴CE=CD - DE=7 - 3=4。在Rt△CGE中，由勾股定理得：$CG=\sqrt{GE^2 + CE^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，
∴AG=CG=5。
【答案】AG的长为5
【知识点】矩形的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】本题结合正方形的性质，综合考查了矩形的判定、全等三角形的应用及勾股定理，辅助线的添加是解题关键，需学生熟练掌握相关几何定理，理清图形间的关系。
【难度系数】0.5
