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9. 观察下列等式:$12×231=132×21,13×$$341=143×31,23×352=253×32,34×$$473=374×43,62×286=682×26,··· ,$ 以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1) 根据上述各式反映的规律填空,使式子成为“数字对称等式”:
①$52×$
②
(2) 设这类等式左边两位数的十位上的数字为$a$,个位上的数字为$b$,且$2≤ a+$$b≤9$,试写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含 $a,b$),并说明你的理由.
(1) 根据上述各式反映的规律填空,使式子成为“数字对称等式”:
①$52×$
275
$=$572
$×25$;②
63
$×396=693×$36
.(2) 设这类等式左边两位数的十位上的数字为$a$,个位上的数字为$b$,且$2≤ a+$$b≤9$,试写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含 $a,b$),并说明你的理由.
答案
9. (1) ①275 572 ②63 36
(2) 解:$(10a+b)[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b](10b+a)$. 理由如下:
因为左边 $=(10a+b)(110b+11a)=11(10a+b)(10b+a)$, 右边 $=(110a+11b)(10b+a)=11(10a+b)(10b+a)$, 所以左边=右边. 所以等式成立.
(2) 解:$(10a+b)[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b](10b+a)$. 理由如下:
因为左边 $=(10a+b)(110b+11a)=11(10a+b)(10b+a)$, 右边 $=(110a+11b)(10b+a)=11(10a+b)(10b+a)$, 所以左边=右边. 所以等式成立.
解析
【分析】
我们先从给出的已知等式拆解数字特征找规律：观察示例等式，比如12×231=132×21，两位数12的十位是1、个位是2，左侧三位数231的百位是两位数的个位2，十位是两个数字之和1+2=3，个位是两位数的十位1；右侧三位数132的百位是两位数的十位1，十位同样是两数之和3，个位是两位数的个位2，右侧的两位数21是原两位数的数字反转。按照这个对应关系，第一问可以直接推导数字完成填空；第二问把两位数用十位数字a、个位数字b的代数式表示，再按照规律写出两侧所有数的代数式，通过整式乘法展开验证两侧相等即可。
【解析】
(1) ① 已知左侧两位数是52，十位数字为5，个位数字为2，两数之和为5+2=7，按照规律：左侧三位数的百位是2、十位是7、个位是5，即275；右侧三位数的百位是5、十位是7、个位是2，即572，验证52×275=14300，572×25=14300，符合等式要求。
② 已知等式中的三位数是396，它的百位是3、个位是6、十位是9，说明两数之和a+b=9，且左侧两位数的个位是3，右侧三位数693的百位是6，说明左侧两位数的十位是6，因此左侧两位数是63，右侧的两位数是63反转得到的36，验证63×396=24948，693×36=24948，符合等式要求。
(2) 设左侧两位数为10a+b，按照规律推导：
左侧的三位数：百位是b，十位是a+b，个位是a，整理得100b + 10(a+b) + a = 110b + 11a
右侧的三位数：百位是a，十位是a+b，个位是b，整理得100a + 10(a+b) + b = 110a + 11b
右侧的两位数是原两位数反转，即10b + a
因此得到通用等式：
$(10a+b)[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b](10b+a)$
证明：
左边 = (10a + b)(110b + 11a) = 11(10a + b)(10b + a)
右边 = (110a + 11b)(10b + a) = 11(10a + b)(10b + a)
可得左边=右边，等式成立。
【答案】
(1) ① 275，572；② 63，36
(2) 一般规律的式子为$(10a+b)[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b](10b+a)$，理由如上。
【知识点】
数字规律探究，整式乘法运算，代数式表示
【点评】
本题是典型的新定义规律探究题，难度梯度设置合理，第一问依托具象数字容易上手，第二问实现从具象观察到抽象推导的能力跃迁，既考察学生的归纳观察能力，也巩固了整式运算的基础，引导学生学会从特殊案例提炼通用数学规律。
【难度系数】
0.6
我们先从给出的已知等式拆解数字特征找规律：观察示例等式，比如12×231=132×21，两位数12的十位是1、个位是2，左侧三位数231的百位是两位数的个位2，十位是两个数字之和1+2=3，个位是两位数的十位1；右侧三位数132的百位是两位数的十位1，十位同样是两数之和3，个位是两位数的个位2，右侧的两位数21是原两位数的数字反转。按照这个对应关系，第一问可以直接推导数字完成填空；第二问把两位数用十位数字a、个位数字b的代数式表示，再按照规律写出两侧所有数的代数式，通过整式乘法展开验证两侧相等即可。
【解析】
(1) ① 已知左侧两位数是52，十位数字为5，个位数字为2，两数之和为5+2=7，按照规律：左侧三位数的百位是2、十位是7、个位是5，即275；右侧三位数的百位是5、十位是7、个位是2，即572，验证52×275=14300，572×25=14300，符合等式要求。
② 已知等式中的三位数是396，它的百位是3、个位是6、十位是9，说明两数之和a+b=9，且左侧两位数的个位是3，右侧三位数693的百位是6，说明左侧两位数的十位是6，因此左侧两位数是63，右侧的两位数是63反转得到的36，验证63×396=24948，693×36=24948，符合等式要求。
(2) 设左侧两位数为10a+b，按照规律推导：
左侧的三位数：百位是b，十位是a+b，个位是a，整理得100b + 10(a+b) + a = 110b + 11a
右侧的三位数：百位是a，十位是a+b，个位是b，整理得100a + 10(a+b) + b = 110a + 11b
右侧的两位数是原两位数反转，即10b + a
因此得到通用等式：
$(10a+b)[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b](10b+a)$
证明：
左边 = (10a + b)(110b + 11a) = 11(10a + b)(10b + a)
右边 = (110a + 11b)(10b + a) = 11(10a + b)(10b + a)
可得左边=右边，等式成立。
【答案】
(1) ① 275，572；② 63，36
(2) 一般规律的式子为$(10a+b)[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b](10b+a)$，理由如上。
【知识点】
数字规律探究，整式乘法运算，代数式表示
【点评】
本题是典型的新定义规律探究题，难度梯度设置合理，第一问依托具象数字容易上手，第二问实现从具象观察到抽象推导的能力跃迁，既考察学生的归纳观察能力，也巩固了整式运算的基础，引导学生学会从特殊案例提炼通用数学规律。
【难度系数】
0.6
10. 阅读下列材料,解决后面的问题：
“如果代数式$5a+3b$的值为$-4$,那么代数式$2(a+b)+4(2a+b)$的值是多少?”我们可以这样来解: 原式$=2a+2b+8a+4b=10a+6b$. 把等式$5a+3b=-4$两边同乘2,得$10a+6b=-8$.
(1) 已知$a^{2}+a=0$,求$a^{2}+a+123$的值.
(2) 已知$a-b=-3$,求$3(a-b)-a+b+5$的值.
(3) 已知$a^{2}+2ab=-2$,$ab-b^{2}=-4$,求$2a^{2}+5ab-b^{2}$的值.
(4) 已知$x^{2}+xy=-2$,$xy+y^{2}=5$,分别求出$x^{2}-y^{2}$和$2x^{2}+3xy+y^{2}$的值.
“如果代数式$5a+3b$的值为$-4$,那么代数式$2(a+b)+4(2a+b)$的值是多少?”我们可以这样来解: 原式$=2a+2b+8a+4b=10a+6b$. 把等式$5a+3b=-4$两边同乘2,得$10a+6b=-8$.
(1) 已知$a^{2}+a=0$,求$a^{2}+a+123$的值.
(2) 已知$a-b=-3$,求$3(a-b)-a+b+5$的值.
(3) 已知$a^{2}+2ab=-2$,$ab-b^{2}=-4$,求$2a^{2}+5ab-b^{2}$的值.
(4) 已知$x^{2}+xy=-2$,$xy+y^{2}=5$,分别求出$x^{2}-y^{2}$和$2x^{2}+3xy+y^{2}$的值.
答案
10. 解:(1) 因为 $a^2+a=0$,所以 $a^2+a+123=0+123=123$.
(2) 因为 $a-b=-3$,所以原式 $=3(a-b)-(a-b)+5=2(a-b)+5=2×(-3)+5=-1$.
(3) 因为 $a^2+2ab=-2$,$ab-b^2=-4$,所以 $2a^2+5ab-b^2=2(a^2+2ab)+ab-b^2=2×(-2)+(-4)=-8$.
(4) 因为 $x^2+xy=-2$,$xy+y^2=5$,所以 $x^2-y^2=(x^2+xy)-(xy+y^2)=-2-5=-7$;$2x^2+3xy+y^2=2(x^2+xy)+(xy+y^2)=2×(-2)+5=-4+5=1$.
(2) 因为 $a-b=-3$,所以原式 $=3(a-b)-(a-b)+5=2(a-b)+5=2×(-3)+5=-1$.
(3) 因为 $a^2+2ab=-2$,$ab-b^2=-4$,所以 $2a^2+5ab-b^2=2(a^2+2ab)+ab-b^2=2×(-2)+(-4)=-8$.
(4) 因为 $x^2+xy=-2$,$xy+y^2=5$,所以 $x^2-y^2=(x^2+xy)-(xy+y^2)=-2-5=-7$;$2x^2+3xy+y^2=2(x^2+xy)+(xy+y^2)=2×(-2)+5=-4+5=1$.
解析
【分析】
这道题核心考察整体代入的求值思想，不需要单独求解每个字母的具体数值，通用解题思路是：先观察所求代数式的结构，通过去括号、拆项、添括号等整式变形操作，把所求代数式转化为完全由已知条件给出的代数式组合的形式，再将已知代数式的数值整体代入计算即可。
分小问的思考路径：
1. 第(1)问，所求式子已经直接包含已知的$a^2+a$，直接代入数值即可；
2. 第(2)问，把$-a+b$变形为$-(a-b)$，凑出已知的$a-b$整体，合并同类项后代入；
3. 第(3)问，把$2a^2+5ab$拆分为$2a^2+4ab+ab$，凑出两个已知的代数式组合，代入计算即可；
4. 第(4)问，求$x^2-y^2$时，凑出$(x^2+xy)-(xy+y^2)$的形式消去$xy$；求$2x^2+3xy+y^2$时，拆成$2(x^2+xy)+(xy+y^2)$，直接代入两个已知值计算。
【解析】
我们按照整体代入的方法逐问求解：
(1) 已知$a^2+a=0$，将其整体代入所求代数式：
$a^2+a+123 = 0 + 123 = 123$
(2) 先对所求代数式变形，将$-a+b$改写为$-(a-b)$：
原式$=3(a-b)-(a-b)+5 = 2(a-b)+5$
已知$a-b=-3$，代入得：
$2×(-3) +5 = -6 +5 = -1$
(3) 对所求代数式拆项变形，凑出已知的两个整体：
$2a^2+5ab-b^2 = 2a^2 +4ab +ab -b^2 = 2(a^2+2ab)+(ab-b^2)$
已知$a^2+2ab=-2$，$ab-b^2=-4$，代入得：
$2×(-2) + (-4) = -4 -4 = -8$
(4) 分别对两个所求代数式变形：
① 求$x^2-y^2$：
$x^2-y^2 = x^2 + xy - xy - y^2 = (x^2+xy)-(xy+y^2)$
代入$x^2+xy=-2$，$xy+y^2=5$，得：
$-2 -5 = -7$
② 求$2x^2+3xy+y^2$：
$2x^2+3xy+y^2 = 2x^2 + 2xy + xy + y^2 = 2(x^2+xy)+(xy+y^2)$
代入已知数值，得：
$2×(-2) +5 = -4 +5 = 1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{123}$；(2) $\boldsymbol{-1}$；(3) $\boldsymbol{-8}$；(4) $x^2-y^2=\boldsymbol{-7}$，$2x^2+3xy+y^2=\boldsymbol{1}$
【知识点】
整体代入求值，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是整式章节非常典型的整体代换类习题，从易到难设置了4个梯度的小问，引导学生逐步掌握“不对字母单独求值，通过代数式变形匹配已知整体”的解题思路，避免了复杂的解方程运算，能有效锻炼学生的代数式观察能力和恒等变形能力，是后续学习代数式化简求值的重要基础题型。
【难度系数】
0.7
这道题核心考察整体代入的求值思想，不需要单独求解每个字母的具体数值，通用解题思路是：先观察所求代数式的结构，通过去括号、拆项、添括号等整式变形操作，把所求代数式转化为完全由已知条件给出的代数式组合的形式，再将已知代数式的数值整体代入计算即可。
分小问的思考路径：
1. 第(1)问，所求式子已经直接包含已知的$a^2+a$，直接代入数值即可；
2. 第(2)问，把$-a+b$变形为$-(a-b)$，凑出已知的$a-b$整体，合并同类项后代入；
3. 第(3)问，把$2a^2+5ab$拆分为$2a^2+4ab+ab$，凑出两个已知的代数式组合，代入计算即可；
4. 第(4)问，求$x^2-y^2$时，凑出$(x^2+xy)-(xy+y^2)$的形式消去$xy$；求$2x^2+3xy+y^2$时，拆成$2(x^2+xy)+(xy+y^2)$，直接代入两个已知值计算。
【解析】
我们按照整体代入的方法逐问求解：
(1) 已知$a^2+a=0$，将其整体代入所求代数式：
$a^2+a+123 = 0 + 123 = 123$
(2) 先对所求代数式变形，将$-a+b$改写为$-(a-b)$：
原式$=3(a-b)-(a-b)+5 = 2(a-b)+5$
已知$a-b=-3$，代入得：
$2×(-3) +5 = -6 +5 = -1$
(3) 对所求代数式拆项变形，凑出已知的两个整体：
$2a^2+5ab-b^2 = 2a^2 +4ab +ab -b^2 = 2(a^2+2ab)+(ab-b^2)$
已知$a^2+2ab=-2$，$ab-b^2=-4$，代入得：
$2×(-2) + (-4) = -4 -4 = -8$
(4) 分别对两个所求代数式变形：
① 求$x^2-y^2$：
$x^2-y^2 = x^2 + xy - xy - y^2 = (x^2+xy)-(xy+y^2)$
代入$x^2+xy=-2$，$xy+y^2=5$，得：
$-2 -5 = -7$
② 求$2x^2+3xy+y^2$：
$2x^2+3xy+y^2 = 2x^2 + 2xy + xy + y^2 = 2(x^2+xy)+(xy+y^2)$
代入已知数值，得：
$2×(-2) +5 = -4 +5 = 1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{123}$；(2) $\boldsymbol{-1}$；(3) $\boldsymbol{-8}$；(4) $x^2-y^2=\boldsymbol{-7}$，$2x^2+3xy+y^2=\boldsymbol{1}$
【知识点】
整体代入求值，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是整式章节非常典型的整体代换类习题，从易到难设置了4个梯度的小问，引导学生逐步掌握“不对字母单独求值，通过代数式变形匹配已知整体”的解题思路，避免了复杂的解方程运算，能有效锻炼学生的代数式观察能力和恒等变形能力，是后续学习代数式化简求值的重要基础题型。
【难度系数】
0.7
11. 如图1,把周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A,B,C,D和一张长方形纸片E,并将它们按图2所示的方式放入周长为13的长方形中,则正方形纸片A的周长与阴影部分的周长之比为
$\dfrac{4}{11}$
. 答案
11. $\dfrac{4}{11}$ 提示:设正方形纸片D的边长为 $x$,正方形纸片C的边长为 $y$,则正方形纸片A的边长为 $x+y$,正方形纸片B的边长为 $2x+y$,长方形纸片E的长为 $3x+y$,宽为 $y-x$. 由题图1中长方形的周长为8,得 $2(x+y+2x+y)+2(x+y+y)=8$,所以 $x+y=1$. 所以正方形纸片A的周长为 $4(x+y)=4$. 如图,因为长方形 $FGHM$ 的周长为13,所以 $FG+FM=\dfrac{13}{2}$. 通过平移将阴影部分的周长转化为 $2FG+2MN=2(FG+FM)-2FN=13-2(x+y)=11$. 所以正方形纸片A的周长与阴影部分的周长之比为 $\dfrac{4}{11}$.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先选取最小的两个正方形D、C的边长作为未知量，用x、y表示，再根据拼接时相邻图形的边长和差关系，依次把正方形A、B和长方形E的边长都用x、y表示出来；2. 结合图1中大长方形周长为8的条件，列周长方程，化简后不需要单独求出x、y的具体值，直接得到整体x+y的值，进而算出正方形A的周长；3. 针对图2的阴影部分周长，用线段平移的方法，把不规则的阴影周长转化为和外层大长方形周长相关的表达式，代入已经得到的x+y的整体值，算出阴影部分周长；4. 最后计算两个周长的比值即可。
【解析】
解：设正方形纸片D的边长为$x$，正方形纸片C的边长为$y$。
根据拼接的边长关系推导：
正方形A的边长 = D的边长 + C的边长 = $x+y$
正方形B的边长 = A的边长 + D的边长 = $(x+y)+x=2x+y$
长方形E的长 = B的边长 + D的边长 = $(2x+y)+x=3x+y$，宽 = C的边长 - D的边长 = $y-x$
根据图1中大长方形周长为8，可得大长方形的长为$B的边长+A的边长=(2x+y)+(x+y)=3x+2y$，大长方形的宽为$A的边长+C的边长=(x+y)+y=x+2y$，因此周长满足：
$2×[(3x+2y)+(x+2y)]=8$
化简得：$8(x+y)=8$，即$x+y=1$。
因此正方形A的边长为$x+y=1$，正方形A的周长为$4×1=4$。
再看图2中周长为13的外层大长方形，将阴影部分的所有横向线段向上下平移、纵向线段向左右平移，可将阴影部分的周长转化为：外层大长方形的周长减去2倍的长度为$x+y$的线段，因此阴影部分周长为：
$13 - 2(x+y)=13-2×1=11$
因此正方形纸片A的周长与阴影部分的周长之比为$4:11=\dfrac{4}{11}$。
【答案】
$\dfrac{4}{11}$
【知识点】
图形拼接边长推导，平移法求周长，整体代入求值
【点评】
本题属于几何与代数结合的综合题型，核心考察转化思维，不需要计算所有未知边长的具体数值，通过整体代换快速得到关键结果，平移法转化不规则阴影周长是解题的核心技巧，能大幅降低计算复杂度，避免冗余运算。
【难度系数】
0.4
解题思路如下：1. 先选取最小的两个正方形D、C的边长作为未知量，用x、y表示，再根据拼接时相邻图形的边长和差关系，依次把正方形A、B和长方形E的边长都用x、y表示出来；2. 结合图1中大长方形周长为8的条件，列周长方程，化简后不需要单独求出x、y的具体值，直接得到整体x+y的值，进而算出正方形A的周长；3. 针对图2的阴影部分周长，用线段平移的方法，把不规则的阴影周长转化为和外层大长方形周长相关的表达式，代入已经得到的x+y的整体值，算出阴影部分周长；4. 最后计算两个周长的比值即可。
【解析】
解：设正方形纸片D的边长为$x$，正方形纸片C的边长为$y$。
根据拼接的边长关系推导：
正方形A的边长 = D的边长 + C的边长 = $x+y$
正方形B的边长 = A的边长 + D的边长 = $(x+y)+x=2x+y$
长方形E的长 = B的边长 + D的边长 = $(2x+y)+x=3x+y$，宽 = C的边长 - D的边长 = $y-x$
根据图1中大长方形周长为8，可得大长方形的长为$B的边长+A的边长=(2x+y)+(x+y)=3x+2y$，大长方形的宽为$A的边长+C的边长=(x+y)+y=x+2y$，因此周长满足：
$2×[(3x+2y)+(x+2y)]=8$
化简得：$8(x+y)=8$，即$x+y=1$。
因此正方形A的边长为$x+y=1$，正方形A的周长为$4×1=4$。
再看图2中周长为13的外层大长方形，将阴影部分的所有横向线段向上下平移、纵向线段向左右平移，可将阴影部分的周长转化为：外层大长方形的周长减去2倍的长度为$x+y$的线段，因此阴影部分周长为：
$13 - 2(x+y)=13-2×1=11$
因此正方形纸片A的周长与阴影部分的周长之比为$4:11=\dfrac{4}{11}$。
【答案】
$\dfrac{4}{11}$
【知识点】
图形拼接边长推导，平移法求周长，整体代入求值
【点评】
本题属于几何与代数结合的综合题型，核心考察转化思维，不需要计算所有未知边长的具体数值，通过整体代换快速得到关键结果，平移法转化不规则阴影周长是解题的核心技巧，能大幅降低计算复杂度，避免冗余运算。
【难度系数】
0.4
12. 定义:对于一个数$x$,我们把$[x]$称作$x$的“相伴数”.规定:若$x ≥ 0$,则$[x]=x-1$;若$x＜0$,则$[x]=x+1$.例如:$[0.5]=-0.5$.
(1) 填空:$[\dfrac{4}{3}]=$
(2) 当$a＞0,b＜0$时,有$[a]=[b]$,计算:
$(b-a)^4-6(\dfrac{1}{2}a^2b+\dfrac{5}{2}a-b)+3a^2b+9b.$
(3) 计算:$2[x]-[x+2].$
(1) 填空:$[\dfrac{4}{3}]=$
$\dfrac{1}{3}$
,$[-3]=$$-2$
.(2) 当$a＞0,b＜0$时,有$[a]=[b]$,计算:
$(b-a)^4-6(\dfrac{1}{2}a^2b+\dfrac{5}{2}a-b)+3a^2b+9b.$
(3) 计算:$2[x]-[x+2].$
答案
12. 解:(1) $\dfrac{1}{3}$ $-2$
(2) 当 $a＞0,b＜0$ 时,有 $[a]=a-1$,$[b]=b+1$. 因为 $[a]=[b]$,所以 $a-1=b+1$,即 $a-b=2$. 原式 $=(b-a)^4-3a^2b-15a+6b+3a^2b+9b=(b-a)^4-15(a-b)$. 将 $a-b=2$ 代入,得原式 $=(-2)^4-15×2=16-30=-14$.
(3) 当 $x＜-2$ 时,原式 $=2(x+1)-(x+2+1)=x-1$;当 $-2≤x＜0$ 时,原式 $=2(x+1)-(x+2-1)=x+1$;当 $x≥0$ 时,原式 $=2(x-1)-(x+2-1)=x-3$.
(2) 当 $a＞0,b＜0$ 时,有 $[a]=a-1$,$[b]=b+1$. 因为 $[a]=[b]$,所以 $a-1=b+1$,即 $a-b=2$. 原式 $=(b-a)^4-3a^2b-15a+6b+3a^2b+9b=(b-a)^4-15(a-b)$. 将 $a-b=2$ 代入,得原式 $=(-2)^4-15×2=16-30=-14$.
(3) 当 $x＜-2$ 时,原式 $=2(x+1)-(x+2+1)=x-1$;当 $-2≤x＜0$ 时,原式 $=2(x+1)-(x+2-1)=x+1$;当 $x≥0$ 时,原式 $=2(x-1)-(x+2-1)=x-3$.
解析
【分析】
这道题是自定义新运算的题型，解题思路如下：
1. 第(1)问直接对照“相伴数”的定义判断数值的正负：若数值≥0就代入[x]=x-1计算，若数值＜0就代入[x]=x+1计算，直接得出结果即可。
2. 第(2)问首先根据a＞0、b＜0的条件，分别写出[a]和[b]对应的表达式，由[a]=[b]推导得到a和b的等量关系；再对要求的多项式先去括号、合并同类项做化简，最后把得到的a-b的数值整体代入化简后的式子，就能算出结果，不需要单独求出a、b的具体值。
3. 第(3)问因为[x]和[x+2]的运算规则都要根据自身的正负判断，所以需要找到分类的分界点：x＜0、x+2＜0即x＜-2、x≥0，把实数域分成x＜-2、-2≤x＜0、x≥0三类，每一类分别代入对应的相伴数公式展开计算即可。
【解析】
(1) 因为$\frac{4}{3}＞0$，根据定义得$[\frac{4}{3}]=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$；
因为$-3＜0$，根据定义得$[-3]=-3+1=-2$。
(2) 已知$a＞0$，$b＜0$，由相伴数定义可得：
$[a]=a-1$，$[b]=b+1$，
又因为$[a]=[b]$，所以$a-1=b+1$，整理得$a-b=2$。
对原式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(b-a)^4-6(\frac{1}{2}a^2b+\frac{5}{2}a-b)+3a^2b+9b\\=&(b-a)^4 -3a^2b -15a +6b +3a^2b +9b\\=&(b-a)^4 -15a +15b\\=&(b-a)^4 -15(a-b)\end{aligned}$
将$a-b=2$代入，得：
原式$=(-2)^4 -15×2=16-30=-14$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$x＜-2$时，此时$x＜0$，$x+2＜0$，代入相伴数定义：
$2[x]-[x+2]=2(x+1)-(x+2+1)=2x+2 -x -3=x-1$；
② 当$-2≤ x＜0$时，此时$x＜0$，$x+2≥0$，代入相伴数定义：
$2[x]-[x+2]=2(x+1)-(x+2-1)=2x+2 -x -1=x+1$；
③ 当$x≥0$时，此时$x≥0$，$x+2＞0$，代入相伴数定义：
$2[x]-[x+2]=2(x-1)-(x+2-1)=2x-2 -x -1=x-3$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$，$-2$；(2) $-14$；(3) 当$x＜-2$时，结果为$x-1$；当$-2≤ x＜0$时，结果为$x+1$；当$x≥0$时，结果为$x-3$
【知识点】
新定义运算，整式化简求值，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类综合题，核心是先准确理解题目给出的“相伴数”运算规则，第(1)问属于基础题，第(2)问考察整体代入的求值技巧，不需要单独计算a、b的数值，简化了计算过程，第(3)问需要准确找到分类讨论的分界点，避免遗漏区间，对学生的逻辑严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.5
这道题是自定义新运算的题型，解题思路如下：
1. 第(1)问直接对照“相伴数”的定义判断数值的正负：若数值≥0就代入[x]=x-1计算，若数值＜0就代入[x]=x+1计算，直接得出结果即可。
2. 第(2)问首先根据a＞0、b＜0的条件，分别写出[a]和[b]对应的表达式，由[a]=[b]推导得到a和b的等量关系；再对要求的多项式先去括号、合并同类项做化简，最后把得到的a-b的数值整体代入化简后的式子，就能算出结果，不需要单独求出a、b的具体值。
3. 第(3)问因为[x]和[x+2]的运算规则都要根据自身的正负判断，所以需要找到分类的分界点：x＜0、x+2＜0即x＜-2、x≥0，把实数域分成x＜-2、-2≤x＜0、x≥0三类，每一类分别代入对应的相伴数公式展开计算即可。
【解析】
(1) 因为$\frac{4}{3}＞0$，根据定义得$[\frac{4}{3}]=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$；
因为$-3＜0$，根据定义得$[-3]=-3+1=-2$。
(2) 已知$a＞0$，$b＜0$，由相伴数定义可得：
$[a]=a-1$，$[b]=b+1$，
又因为$[a]=[b]$，所以$a-1=b+1$，整理得$a-b=2$。
对原式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}&(b-a)^4-6(\frac{1}{2}a^2b+\frac{5}{2}a-b)+3a^2b+9b\\=&(b-a)^4 -3a^2b -15a +6b +3a^2b +9b\\=&(b-a)^4 -15a +15b\\=&(b-a)^4 -15(a-b)\end{aligned}$
将$a-b=2$代入，得：
原式$=(-2)^4 -15×2=16-30=-14$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$x＜-2$时，此时$x＜0$，$x+2＜0$，代入相伴数定义：
$2[x]-[x+2]=2(x+1)-(x+2+1)=2x+2 -x -3=x-1$；
② 当$-2≤ x＜0$时，此时$x＜0$，$x+2≥0$，代入相伴数定义：
$2[x]-[x+2]=2(x+1)-(x+2-1)=2x+2 -x -1=x+1$；
③ 当$x≥0$时，此时$x≥0$，$x+2＞0$，代入相伴数定义：
$2[x]-[x+2]=2(x-1)-(x+2-1)=2x-2 -x -1=x-3$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$，$-2$；(2) $-14$；(3) 当$x＜-2$时，结果为$x-1$；当$-2≤ x＜0$时，结果为$x+1$；当$x≥0$时，结果为$x-3$
【知识点】
新定义运算，整式化简求值，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类综合题，核心是先准确理解题目给出的“相伴数”运算规则，第(1)问属于基础题，第(2)问考察整体代入的求值技巧，不需要单独计算a、b的数值，简化了计算过程，第(3)问需要准确找到分类讨论的分界点，避免遗漏区间，对学生的逻辑严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.5
