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1. 把下列各式因式分解:
(1)$a^2 - 49$;
(2)$x^2 - 2x + 1$;
(3)$25m^2 - 80m + 64$;
(4)$x^2y^2 - 9$;
(5)$(a - b)^2 - 4b^2$;
(6)$1 - $
$ + \frac{x^2y^2}{4}$;
(7)$-a^2 - 9b^2 + 6ab$;
(8)$a^2(a - b) + b^2(b - a)$;
(9)$a^3 - 9a$;
(10)$4(x + y)^2 + 25 - 20(x + y)$.
(1)$a^2 - 49$;
(2)$x^2 - 2x + 1$;
(3)$25m^2 - 80m + 64$;
(4)$x^2y^2 - 9$;
(5)$(a - b)^2 - 4b^2$;
(6)$1 - $
$ + \frac{x^2y^2}{4}$;(7)$-a^2 - 9b^2 + 6ab$;
(8)$a^2(a - b) + b^2(b - a)$;
(9)$a^3 - 9a$;
(10)$4(x + y)^2 + 25 - 20(x + y)$.
答案
(1)$(a+7)(a-7)$;
(2)$(x-1)^2$;
(3)$(5m-8)^2$;
(4)$(xy+3)(xy-3)$;
(5)$(a+b)(a-3b)$;
(6)$(1-\dfrac{xy}{2})^2$;
(7)$-(a-3b)^2$;
(8)$(a-b)^2(a+b)$;
(9)$a(a+3)(a-3)$;
(10)$(2x+2y-5)^2$.
(2)$(x-1)^2$;
(3)$(5m-8)^2$;
(4)$(xy+3)(xy-3)$;
(5)$(a+b)(a-3b)$;
(6)$(1-\dfrac{xy}{2})^2$;
(7)$-(a-3b)^2$;
(8)$(a-b)^2(a+b)$;
(9)$a(a+3)(a-3)$;
(10)$(2x+2y-5)^2$.
解析
【分析】
本组因式分解题主要考查提公因式法、平方差公式、完全平方公式的应用，解题思路如下：第一步先观察式子特征，有公因式优先提取公因式，再判断式子符合平方差（$a^2-b^2$）还是完全平方（$a^2\pm2ab+b^2$）公式结构；第二步准确匹配公式中对应的$a$、$b$项；第三步套用公式化简，最后检查因式分解是否彻底。
【解析】
(1) 式子$a^2 - 49$是平方差结构，$a^2-7^2$，套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$得：原式$=(a+7)(a-7)$；
(2) 式子$x^2 - 2x + 1$是完全平方差结构，$x^2-2· x·1 +1^2$，套用完全平方差公式得：原式$=(x-1)^2$；
(3) 式子$25m^2 - 80m + 64$中，$25m^2=(5m)^2$，$64=8^2$，中间项$-80m=-2×5m×8$，符合完全平方差结构，得：原式$=(5m-8)^2$；
(4) 式子$x^2y^2 - 9$是平方差结构，$(xy)^2-3^2$，套用平方差公式得：原式$=(xy+3)(xy-3)$；
(5) 式子$(a - b)^2 - 4b^2$是平方差结构，$(a-b)^2-(2b)^2$，套用平方差公式化简得：原式$=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b)$；
(6) 式子$1 - xy + \frac{x^2y^2}{4}$中，$1=1^2$，$\frac{x^2y^2}{4}=(\frac{xy}{2})^2$，中间项$-xy=-2×1×\frac{xy}{2}$，符合完全平方差结构，得：原式$=(1-\frac{xy}{2})^2$；
(7) 先提取式子$-a^2 - 9b^2 + 6ab$的负号得$-(a^2-6ab+9b^2)$，括号内为完全平方差结构，化简得：原式$=-(a-3b)^2$；
(8) 先将$b^2(b-a)$变形为$-b^2(a-b)$，原式变为$a^2(a-b)-b^2(a-b)$，提取公因式$(a-b)$得$(a-b)(a^2-b^2)$，再对$a^2-b^2$用平方差公式化简得：原式$=(a-b)^2(a+b)$；
(9) 先提取$a^3 - 9a$的公因式$a$得$a(a^2-9)$，再对$a^2-9$用平方差公式化简得：原式$=a(a+3)(a-3)$；
(10) 式子$4(x + y)^2 + 25 - 20(x + y)$可变形为$[2(x+y)]^2 - 2·2(x+y)·5 +5^2$，符合完全平方差结构，化简得：原式$=(2x+2y-5)^2$。
【答案】
(1)$(a+7)(a-7)$;
(2)$(x-1)^2$;
(3)$(5m-8)^2$;
(4)$(xy+3)(xy-3)$;
(5)$(a+b)(a-3b)$;
(6)$(1-\dfrac{xy}{2})^2$;
(7)$-(a-3b)^2$;
(8)$(a-b)^2(a+b)$;
(9)$a(a+3)(a-3)$;
(10)$(2x+2y-5)^2$.
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，因式分解
【点评】
本题组是因式分解的基础常规题，覆盖了因式分解的核心方法，解题时注意遵循“一提二套三查”的原则，优先提取公因式，再匹配对应公式，最后确认分解到不能再分解即可。
【难度系数】
0.75
本组因式分解题主要考查提公因式法、平方差公式、完全平方公式的应用，解题思路如下：第一步先观察式子特征，有公因式优先提取公因式，再判断式子符合平方差（$a^2-b^2$）还是完全平方（$a^2\pm2ab+b^2$）公式结构；第二步准确匹配公式中对应的$a$、$b$项；第三步套用公式化简，最后检查因式分解是否彻底。
【解析】
(1) 式子$a^2 - 49$是平方差结构，$a^2-7^2$，套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$得：原式$=(a+7)(a-7)$；
(2) 式子$x^2 - 2x + 1$是完全平方差结构，$x^2-2· x·1 +1^2$，套用完全平方差公式得：原式$=(x-1)^2$；
(3) 式子$25m^2 - 80m + 64$中，$25m^2=(5m)^2$，$64=8^2$，中间项$-80m=-2×5m×8$，符合完全平方差结构，得：原式$=(5m-8)^2$；
(4) 式子$x^2y^2 - 9$是平方差结构，$(xy)^2-3^2$，套用平方差公式得：原式$=(xy+3)(xy-3)$；
(5) 式子$(a - b)^2 - 4b^2$是平方差结构，$(a-b)^2-(2b)^2$，套用平方差公式化简得：原式$=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b)$；
(6) 式子$1 - xy + \frac{x^2y^2}{4}$中，$1=1^2$，$\frac{x^2y^2}{4}=(\frac{xy}{2})^2$，中间项$-xy=-2×1×\frac{xy}{2}$，符合完全平方差结构，得：原式$=(1-\frac{xy}{2})^2$；
(7) 先提取式子$-a^2 - 9b^2 + 6ab$的负号得$-(a^2-6ab+9b^2)$，括号内为完全平方差结构，化简得：原式$=-(a-3b)^2$；
(8) 先将$b^2(b-a)$变形为$-b^2(a-b)$，原式变为$a^2(a-b)-b^2(a-b)$，提取公因式$(a-b)$得$(a-b)(a^2-b^2)$，再对$a^2-b^2$用平方差公式化简得：原式$=(a-b)^2(a+b)$；
(9) 先提取$a^3 - 9a$的公因式$a$得$a(a^2-9)$，再对$a^2-9$用平方差公式化简得：原式$=a(a+3)(a-3)$；
(10) 式子$4(x + y)^2 + 25 - 20(x + y)$可变形为$[2(x+y)]^2 - 2·2(x+y)·5 +5^2$，符合完全平方差结构，化简得：原式$=(2x+2y-5)^2$。
【答案】
(1)$(a+7)(a-7)$;
(2)$(x-1)^2$;
(3)$(5m-8)^2$;
(4)$(xy+3)(xy-3)$;
(5)$(a+b)(a-3b)$;
(6)$(1-\dfrac{xy}{2})^2$;
(7)$-(a-3b)^2$;
(8)$(a-b)^2(a+b)$;
(9)$a(a+3)(a-3)$;
(10)$(2x+2y-5)^2$.
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，因式分解
【点评】
本题组是因式分解的基础常规题，覆盖了因式分解的核心方法，解题时注意遵循“一提二套三查”的原则，优先提取公因式，再匹配对应公式，最后确认分解到不能再分解即可。
【难度系数】
0.75
2. 已知 $4m + n = 90, 2m - 3n = 10$，求 $(m + 2n)^2 - (3m - n)^2$ 的值.
答案
原式=$(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(-2m+3n)=90×(-10)=-900$.
解析
【分析】
观察所求代数式是两个整式的平方差结构，可优先利用平方差公式对其因式分解，分解化简后得到的因式恰好与已知的两个代数式相关，无需单独求解m、n的值，通过整体代入已知数值即可快速得到结果，比先解二元一次方程组再代入求值更简便。
【解析】
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对原式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)\\&=(4m+n)(-2m+3n)\\&=(4m+n)×[-(2m-3n)]\end{aligned}$
已知$4m+n=90$，$2m-3n=10$，将其整体代入上式：
$\mathrm{原式}=90×(-10)=-900$
【答案】
$\boxed{-900}$
【知识点】
平方差公式因式分解、整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，运用平方差公式将待求式变形后整体代入已知条件，可避免解方程组的繁琐计算，是代数求值中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.7
观察所求代数式是两个整式的平方差结构，可优先利用平方差公式对其因式分解，分解化简后得到的因式恰好与已知的两个代数式相关，无需单独求解m、n的值，通过整体代入已知数值即可快速得到结果，比先解二元一次方程组再代入求值更简便。
【解析】
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对原式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)\\&=(4m+n)(-2m+3n)\\&=(4m+n)×[-(2m-3n)]\end{aligned}$
已知$4m+n=90$，$2m-3n=10$，将其整体代入上式：
$\mathrm{原式}=90×(-10)=-900$
【答案】
$\boxed{-900}$
【知识点】
平方差公式因式分解、整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，运用平方差公式将待求式变形后整体代入已知条件，可避免解方程组的繁琐计算，是代数求值中非常实用的技巧。
【难度系数】
0.7
