7.(2025·绍兴市嵊州市期末)如图,将四边形ABCD沿AB方向平移得到四边形EFGH,已知$AD// BC,∠ A=90°,FG=8,CP=2$,阴影部分的面积为28,则AE的长为。

7.4 【解析】因为将四边形ABCD沿AB方向平移得到四边形EFGH,所以$S_{四边形ABCD}=S_{四边形EFGH}$。又因为$S_{四边形ABCD}=S_{阴影}+S_{四边形EBPH}$,$S_{四边形EFGH}=S_{四边形BFGP}+S_{四边形EBPH}$,所以$S_{阴影}=S_{四边形BFGP}$。因为$AD// BC$,$∠A=90°$,所以$∠ABC=180°-∠A=90°$,所以$∠FBC=90°$。由平移的性质,得$∠F=∠ABC=90°$,$BC=FG=8$,$AB=EF$,所以$BC// FG$,$AE=BF$,所以四边形BFGP是直角梯形。又因为CP=2,所以BP=6。因为$S_{阴影}=28$,所以$S_{四边形BFGP}=28$,所以$\frac{1}{2}(6+8)· BF=28$,解得BF=4。所以AE=4。

【分析】首先利用平移的性质，平移前后对应图形面积相等，即四边形ABCD与EFGH面积相等；两者减去公共部分四边形EBPH，可推得阴影部分面积等于直角梯形BFGP的面积。再结合已知的FG长度、CP长度求出BP，利用梯形面积公式，结合阴影面积即可求出BF，而AE与BF相等，从而得到AE的长度。
【解析】
1. 根据平移的性质，可知：$S_{四边形ABCD}=S_{四边形EFGH}$，且$BC=FG=8$，$AE=BF$，$∠ F=∠ ABC=90°$。
2. 因为$S_{四边形ABCD}=S_{阴影}+S_{四边形EBPH}$，$S_{四边形EFGH}=S_{梯形BFGP}+S_{四边形EBPH}$，所以$S_{阴影}=S_{梯形BFGP}$。
3. 已知$CP=2$，则$BP=BC - CP=8 - 2=6$。
4. 梯形$BFGP$的面积公式为$\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，代入得：$\frac{1}{2}(BP + FG)× BF = S_{阴影}$，即$\frac{1}{2}(6 + 8)× BF = 28$。
5. 计算得：$7BF=28$，解得$BF=4$，又因为$AE=BF$，所以$AE=4$。
【答案】4
【知识点】平移的性质、梯形面积计算
【点评】本题通过平移的性质转化面积，将不规则的阴影面积转化为规则梯形的面积，再利用梯形面积公式求解，关键是找到面积相等的关系，属于几何基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.5

8.(2025·台州市天台县期末)三角尺$ABC$与三角尺$DEF$如图1所示摆放，其中$∠ABC=30°,∠DFE=45°,MN// PQ$，点$A,C$在直线$MN$上，点$E,F$在直线$PQ$上。固定三角尺$ABC$，将三角尺$DEF$向右平移。
(1)如图2，当点$B$落在线段$DF$上时，求$∠ABD$的度数。
(2)在三角尺$DEF$平移的过程中，联结$BD$，记$∠ABD$为$α,∠BDF$为$β$。
①如图1，当点$D$在直线$BC$左侧时，$α-β$的值是否为定值，若为定值，请求出这个值；若不为定值，请说明理由。
②如图3，继续向右平移三角尺$DEF$，当点$B$在直线$DE$左侧时，①中的结论是否仍成立？请说明理由。

8.(1)解:如图1,过点B作GH//MN。由MN//PQ,得MN//GH//PQ,则∠ABG=∠BAC=60°,∠DBG=∠DFE=45°,所以∠ABD=∠ABG-∠DBG=60°-45°=15°。
(2)解:①α-β的值为定值。如图2,分别过点D,B作直线a//MN,直线b//MN。由MN//PQ,得MN//a//b//PQ,则∠1=∠2,∠1+∠α=∠BAC=60°,∠2+∠β=∠DFE=45°,所以α-β=∠BAC-∠DFE=60°-45°=15°。
②不成立。理由如下:如图3,分别过点D,B作直线c//MN,直线d//MN。由MN//PQ,得MN//c//d//PQ,则∠3=∠4,∠3+∠α=∠MAB=180°-∠BAC=120°,∠4+∠β=∠DFQ=180°-∠DFE=135°,所以β-α=∠DFQ-∠MAB=135°-120°=15°。

【分析】
本题通过平移三角尺，结合平行线性质求解角度，核心思路是作平行于MN的辅助线，利用平行线内错角相等，将所求角度α、β与三角尺已知角度（∠BAC=60°，∠DFE=45°）建立联系，进而推导角度关系。解题时需根据图形位置正确作辅助线，结合平行线性质转化角度，完成计算或定值判断。
【解析】
(1) 如图1，过点B作GH//MN。
∵ MN//PQ，
∴ MN//GH//PQ（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
根据平行线内错角相等：∠ABG=∠BAC=60°，∠DBG=∠DFE=45°。
∴ ∠ABD=∠ABG - ∠DBG=60° - 45°=15°。
(2) ① α-β的值为定值。
如图2，分别过点D、B作直线a//MN，直线b//MN。
∵ MN//PQ，
∴ MN//a//b//PQ。
根据平行线内错角相等：∠1=∠2，∠1+α=∠BAC=60°，∠2+β=∠DFE=45°。
∴ α=60° - ∠1，β=45° - ∠2，又∠1=∠2，
∴ α-β=(60° - ∠1)-(45° - ∠2)=15°，即α-β=15°，为定值。
② 原结论不成立，理由如下：
如图3，分别过点D、B作直线c//MN，直线d//MN。
∵ MN//PQ，
∴ MN//c//d//PQ。
根据平行线内错角相等：∠3=∠4，∠3+α=180° - ∠BAC=120°，∠4+β=180° - ∠DFE=135°。
∴ α=120° - ∠3，β=135° - ∠4，又∠3=∠4，
∴ β-α=(135° - ∠4)-(120° - ∠3)=15°，此时为β-α=15°，故原结论α-β为定值不成立。
【答案】
(1) ∠ABD=15°；
(2) ① α-β的值为定值，定值是15°；② 原结论不成立，此时β-α=15°。
【知识点】
平行线的性质、三角尺角度计算
【点评】
本题结合平移与平行线性质，考查角度转化和定值判断，关键是通过作辅助线集中分散角度，利用平行线内错角相等建立关系，需具备图形分析能力，属于中等难度几何题。
【难度系数】
0.5

9. (2025·绍兴市嵊州市期末)以下四种沿AB折叠的方法中,若$∠ 1 = ∠ 2$,一定能判定纸带两条边线$a,b$互相平行的是 ()

9.B

【分析】要判定纸带的两条边线a、b互相平行，需依据平行线的判定定理，结合∠1与∠2的位置关系逐一分析选项：只有当∠1和∠2是直线a、b被直线AB所截形成的内错角（或符合平行线判定的对应角）时，若∠1=∠2，才能判定a//b。
【解析】
选项A：∠1和∠2不是a、b被AB所截形成的内错角或同位角，仅∠1=∠2无法判定a//b；
选项B：∠1和∠2是直线a、b被AB所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，当∠1=∠2时，可判定a//b；
选项C：∠1和∠2不是a、b被AB所截形成的内错角，∠1=∠2无法推出a//b；
选项D：∠1和∠2的位置不符合平行线判定的角的关系，∠1=∠2不能判定a//b。
【答案】B
【知识点】平行线的判定、内错角
【点评】本题考查平行线的判定，核心是识别角的位置关系，属于基础题型，需准确掌握平行线的判定定理。
【难度系数】0.7