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1.如图，已知直线$l_1:y=2x+4$的图象与$y$轴交于点$A$，并与直线$l_2:y=-2x+b$的图象相交于点$B(1,6)$。
(1)求直线$l_2$的解析式；
(2)直线$l_2$与$x$轴交于点$C$，求四边形$OABC$的面积。
(1)求直线$l_2$的解析式；
(2)直线$l_2$与$x$轴交于点$C$，求四边形$OABC$的面积。
答案
(1)
∵点$B(1,6)$在直线$l_2:y=-2x+b$上，
∴$-2+b=6$，解得$b=8$，
∴直线$l_2$的解析式为$y=-2x+8$；
(2) 设直线$l_1$与$x$轴交于点$D$，
∵$2x+4=0$，解得$x=-2$，
∴$D(-2,0)$，
∵点$A$是直线$l_1:y=2x+4$的图象与$y$轴的交点，
∴点$A(0,4)$。
∵直线$l_2:y=-2x+8$与$x$轴交于点$C$，
∴$C(4,0)$，
∴四边形$OABC$的面积$=S_{△ DBC}-S_{△ OAD}=\frac{1}{2}×(2+4)×6-\frac{1}{2}×2×4=14$。
∵点$B(1,6)$在直线$l_2:y=-2x+b$上，
∴$-2+b=6$，解得$b=8$，
∴直线$l_2$的解析式为$y=-2x+8$；
(2) 设直线$l_1$与$x$轴交于点$D$，
∵$2x+4=0$，解得$x=-2$，
∴$D(-2,0)$，
∵点$A$是直线$l_1:y=2x+4$的图象与$y$轴的交点，
∴点$A(0,4)$。
∵直线$l_2:y=-2x+8$与$x$轴交于点$C$，
∴$C(4,0)$，
∴四边形$OABC$的面积$=S_{△ DBC}-S_{△ OAD}=\frac{1}{2}×(2+4)×6-\frac{1}{2}×2×4=14$。
解析
【分析】
(1) 求直线$l_2$的解析式时，已知$l_2$的表达式为$y=-2x+b$，仅需确定参数$b$的值即可。因为点$B(1,6)$在直线$l_2$上，将点$B$的坐标代入解析式就能得到关于$b$的一元一次方程，解方程求出$b$即可得到$l_2$的解析式，这是待定系数法的典型应用。
(2) 四边形$OABC$是不规则四边形，无法直接用面积公式计算，因此采用割补法求解：先找到直线$l_1$与$x$轴的交点$D$，将四边形$OABC$的面积转化为$△ DBC$的面积减去$△ OAD$的面积。计算前需要先求出所有相关点的坐标：$A$是$l_1$与$y轴$的交点，令$x=0$代入$l_1$解析式可得$A$的坐标；$C$是$l_2$与$x$轴的交点，令$y=0$代入$l_2$解析式可得$C$的坐标；$D$是$l_1$与$x$轴的交点，令$y=0$代入$l_1$解析式可得$D$的坐标，再分别计算两个三角形的面积做差即可。
【解析】
(1) $\because$点$B(1,6)$在直线$l_2:y=-2x+b$上，
将$x=1$，$y=6$代入解析式得：
$-2×1 + b = 6$，解得$b=8$，
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=-2x+8$。
(2) 设直线$l_1$与$x$轴交于点$D$，
令$l_1$的解析式$y=2x+4$中$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，
$\therefore D$点坐标为$(-2,0)$。
$\because$点$A$是直线$l_1$与$y$轴的交点，令$x=0$代入$y=2x+4$，得$y=4$，
$\therefore A$点坐标为$(0,4)$。
$\because$直线$l_2$与$x$轴交于点$C$，令$l_2$的解析式$y=-2x+8$中$y=0$，得$-2x+8=0$，解得$x=4$，
$\therefore C$点坐标为$(4,0)$。
观察图形可得：$S_{四边形OABC}=S_{△ DBC} - S_{△ OAD}$
其中$DC$的长度为$4 - (-2)=6$，$△ DBC$的高为点$B$的纵坐标$6$，
$\therefore S_{△ DBC}=\frac{1}{2}× DC × 6 = \frac{1}{2}×6×6=18$
$△ OAD$中，$OD$长度为$2$，$OA$长度为$4$，
$\therefore S_{△ OAD}=\frac{1}{2}× OD × OA = \frac{1}{2}×2×4=4$
$\therefore S_{四边形OABC}=18 - 4=14$
【答案】
(1) $y=-2x+8$
(2) $14$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 一次函数与坐标轴交点
3. 割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，既考查了一次函数解析式的求解方法，也考查了坐标系中不规则图形面积的计算思路，解题核心是准确求出各交点坐标，灵活运用割补法将不规则图形面积转化为规则图形的面积和差计算，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求直线$l_2$的解析式时，已知$l_2$的表达式为$y=-2x+b$，仅需确定参数$b$的值即可。因为点$B(1,6)$在直线$l_2$上，将点$B$的坐标代入解析式就能得到关于$b$的一元一次方程，解方程求出$b$即可得到$l_2$的解析式，这是待定系数法的典型应用。
(2) 四边形$OABC$是不规则四边形，无法直接用面积公式计算，因此采用割补法求解：先找到直线$l_1$与$x$轴的交点$D$，将四边形$OABC$的面积转化为$△ DBC$的面积减去$△ OAD$的面积。计算前需要先求出所有相关点的坐标：$A$是$l_1$与$y轴$的交点，令$x=0$代入$l_1$解析式可得$A$的坐标；$C$是$l_2$与$x$轴的交点，令$y=0$代入$l_2$解析式可得$C$的坐标；$D$是$l_1$与$x$轴的交点，令$y=0$代入$l_1$解析式可得$D$的坐标，再分别计算两个三角形的面积做差即可。
【解析】
(1) $\because$点$B(1,6)$在直线$l_2:y=-2x+b$上，
将$x=1$，$y=6$代入解析式得：
$-2×1 + b = 6$，解得$b=8$，
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=-2x+8$。
(2) 设直线$l_1$与$x$轴交于点$D$，
令$l_1$的解析式$y=2x+4$中$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，
$\therefore D$点坐标为$(-2,0)$。
$\because$点$A$是直线$l_1$与$y$轴的交点，令$x=0$代入$y=2x+4$，得$y=4$，
$\therefore A$点坐标为$(0,4)$。
$\because$直线$l_2$与$x$轴交于点$C$，令$l_2$的解析式$y=-2x+8$中$y=0$，得$-2x+8=0$，解得$x=4$，
$\therefore C$点坐标为$(4,0)$。
观察图形可得：$S_{四边形OABC}=S_{△ DBC} - S_{△ OAD}$
其中$DC$的长度为$4 - (-2)=6$，$△ DBC$的高为点$B$的纵坐标$6$，
$\therefore S_{△ DBC}=\frac{1}{2}× DC × 6 = \frac{1}{2}×6×6=18$
$△ OAD$中，$OD$长度为$2$，$OA$长度为$4$，
$\therefore S_{△ OAD}=\frac{1}{2}× OD × OA = \frac{1}{2}×2×4=4$
$\therefore S_{四边形OABC}=18 - 4=14$
【答案】
(1) $y=-2x+8$
(2) $14$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 一次函数与坐标轴交点
3. 割补法求面积
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，既考查了一次函数解析式的求解方法，也考查了坐标系中不规则图形面积的计算思路，解题核心是准确求出各交点坐标，灵活运用割补法将不规则图形面积转化为规则图形的面积和差计算，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
2.如图,在平面直角坐标系中,正比例函数$y=kx$与一次函数$y=-x+b$的图象相交于点$A(4,3)$,一次函数$y=-x+b$的图象与$y$轴交于点$D$.过点$P(0,4)$作$x$轴的平行线,分别交$y=kx$与$y=-x+b$的图象于点$B,C$,连接$OC$.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求$△ BOC$的面积.
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求$△ BOC$的面积.
答案
(1)
∵正比例函数$y=kx$与一次函数$y=-x+b$的图象相交于点$A(4,3)$，
∴$3=4k$，$3=-4+b$，解得$k=\frac{3}{4}$，$b=7$，
∴正比例函数的解析式为$y=\frac{3}{4}x$，一次函数的解析式为$y=-x+7$；
(2)
∵$PC// x$轴，$P(0,4)$，
∴把$y=4$代入$y=\frac{3}{4}x$，得$x=\frac{16}{3}$，
∴$B(\frac{16}{3},4)$。把$y=4$代入$y=-x+7$，得$x=3$，
∴$C(3,4)$，
∴$BC=\frac{16}{3}-3=\frac{7}{3}$。又$P(0,4)$，
∴$OP=4$，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}BC· OP=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×4=\frac{14}{3}$。
∵正比例函数$y=kx$与一次函数$y=-x+b$的图象相交于点$A(4,3)$，
∴$3=4k$，$3=-4+b$，解得$k=\frac{3}{4}$，$b=7$，
∴正比例函数的解析式为$y=\frac{3}{4}x$，一次函数的解析式为$y=-x+7$；
(2)
∵$PC// x$轴，$P(0,4)$，
∴把$y=4$代入$y=\frac{3}{4}x$，得$x=\frac{16}{3}$，
∴$B(\frac{16}{3},4)$。把$y=4$代入$y=-x+7$，得$x=3$，
∴$C(3,4)$，
∴$BC=\frac{16}{3}-3=\frac{7}{3}$。又$P(0,4)$，
∴$OP=4$，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}BC· OP=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×4=\frac{14}{3}$。
解析
【分析】
(1) 两个函数图象都经过点A(4,3)，使用待定系数法，将点A坐标分别代入两个函数表达式，得到关于未知系数k、b的方程，解方程即可求出系数，得到函数解析式。
(2) 因为PC平行于x轴，P点纵坐标为4，所以B、C两点纵坐标均为4，将y=4分别代入两个函数解析式，求出对应横坐标即可得到B、C坐标，进而算出BC的长度；△BOC中BC边上的高就是B、C所在直线到x轴的距离即4，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1)
∵正比例函数$y=kx$与一次函数$y=-x+b$的图象相交于点$A(4,3)$，
∴将$A(4,3)$代入$y=kx$，得$3=4k$，解得$k=\frac{3}{4}$；
将$A(4,3)$代入$y=-x+b$，得$3=-4+b$，解得$b=7$。
∴正比例函数的解析式为$y=\frac{3}{4}x$，一次函数的解析式为$y=-x+7$。
(2)
∵$PC// x$轴，$P(0,4)$，
∴点B、C的纵坐标均为4。
把$y=4$代入$y=\frac{3}{4}x$，得$4=\frac{3}{4}x$，解得$x=\frac{16}{3}$，即$B(\frac{16}{3},4)$。
把$y=4$代入$y=-x+7$，得$4=-x+7$，解得$x=3$，即$C(3,4)$。
∴$BC=\frac{16}{3}-3=\frac{7}{3}$。
△BOC中BC边上的高为4，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×BC×4=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×4=\frac{14}{3}$。
【答案】
(1) 正比例函数解析式为$y=\frac{3}{4}x$，一次函数解析式为$y=-x+7$；
(2) $△ BOC$的面积为$\frac{14}{3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，解题关键是理解函数图象上的点满足对应函数解析式，计算坐标系内三角形面积时要准确匹配底和对应的高，是巩固一次函数基础的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 两个函数图象都经过点A(4,3)，使用待定系数法，将点A坐标分别代入两个函数表达式，得到关于未知系数k、b的方程，解方程即可求出系数，得到函数解析式。
(2) 因为PC平行于x轴，P点纵坐标为4，所以B、C两点纵坐标均为4，将y=4分别代入两个函数解析式，求出对应横坐标即可得到B、C坐标，进而算出BC的长度；△BOC中BC边上的高就是B、C所在直线到x轴的距离即4，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1)
∵正比例函数$y=kx$与一次函数$y=-x+b$的图象相交于点$A(4,3)$，
∴将$A(4,3)$代入$y=kx$，得$3=4k$，解得$k=\frac{3}{4}$；
将$A(4,3)$代入$y=-x+b$，得$3=-4+b$，解得$b=7$。
∴正比例函数的解析式为$y=\frac{3}{4}x$，一次函数的解析式为$y=-x+7$。
(2)
∵$PC// x$轴，$P(0,4)$，
∴点B、C的纵坐标均为4。
把$y=4$代入$y=\frac{3}{4}x$，得$4=\frac{3}{4}x$，解得$x=\frac{16}{3}$，即$B(\frac{16}{3},4)$。
把$y=4$代入$y=-x+7$，得$4=-x+7$，解得$x=3$，即$C(3,4)$。
∴$BC=\frac{16}{3}-3=\frac{7}{3}$。
△BOC中BC边上的高为4，
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×BC×4=\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×4=\frac{14}{3}$。
【答案】
(1) 正比例函数解析式为$y=\frac{3}{4}x$，一次函数解析式为$y=-x+7$；
(2) $△ BOC$的面积为$\frac{14}{3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，解题关键是理解函数图象上的点满足对应函数解析式，计算坐标系内三角形面积时要准确匹配底和对应的高，是巩固一次函数基础的典型题型。
【难度系数】
0.7
