1[中]如图,在$△ ABC$中,$∠ B = ∠ C$,$BE = CD$,$BD = CF$,则$∠ EDF$等于 ()

A.$90° - \frac{1}{2}∠ A$
B.$∠ A$
C.$90° + ∠ A$
D.$90° + \frac{1}{2}∠ A$

(第1题图)
(第2题图)
(第3题图)

1. A 【解析】在△BDE和△CFD中, $\begin{cases} BE=CD, \\ ∠B=∠C, \\ BD=CF, \end{cases}$
∴ △BDE ≅ △CFD ( SAS ),
∴ ∠BDE = ∠CFD.
∵ ∠EDF = 180° - (∠BDE + ∠CDF) = 180° - (∠CFD + ∠CDF) = 180°-(180°-∠C) = ∠C,且∠A+∠B+∠C = 180°,
∴ ∠A + 2∠EDF = 180°,
∴ ∠EDF=90°-$\frac{1}{2}$∠A. 故选A.

2[2026江苏无锡期中,中]如图,△ABC中,AB＞AC,E在角平分线AD上,设AB-AC=a,EB-EC=b,下列结论正确的是 ()

A.a＞b
B.a=b
C.a＜b
D.a,b大小关系不确定

2. A 【解析】如图,在AB上截取AF=AC,连接EF.
∵ AD是△ABC的角平分线,
∴ ∠FAE=∠CAE. 在△FAE和△CAE中, $\begin{cases} AF=AC, \\ ∠FAE=∠CAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴ △FAE ≅ △CAE(SAS),
∴ EF = EC. 在△BEF中, BE-EF＜BF. 又
∵ BF=AB-AF=AB-AC,
∴ EB-EC＜AB-AC.
∵ AB-AC=a,EB-EC=b,
∴ b＜a,即a＞b,故选A.
【关键点拨】通过作辅助线构造全等三角形,得出相等线段,从而将已知条件都转化到一个三角形中,再利用三角形三边关系求解.

3[2025 四川成都期中,中]如图是由9个完全相同的小正方形拼接而成的$3×3$网格,图形ABCD中各个顶点均为格点,设$∠ABC=α,∠BCD=β,∠BAD=γ$,则$α-β-γ$的值为 ()

A.$45^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$75^{\circ }$
D.$135^{\circ }$

3. A 【解析】如图,根据题意知,BE=AG,∠BEC=∠AGB=90°, EC = GB,
∴ △BEC ≅ △AGB ( SAS ),
∴ ∠ECB = ∠GBA.
∵ ∠ECB+∠EBC = 90°,
∴ ∠GBA+∠EBC=90°,
∴ ∠ABC=90°=α.
∵ ∠BCD + ∠CBD = β + ∠CBD = 90°, ∠CBD+∠ABD=90°,
∴ ∠ABD=β.
∵ ∠ADF=∠ABD+∠BAD=45°,
∴ β+γ=45°,
∴ α-β-γ=α-(β+γ)=90°-45°=45°,故选A.
【思路分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质,根据全等三角形的判定与性质可得∠ECB = ∠GBA,从而可得∠ABC = 90° = α, ∠ABD = β, 再根据三角形外角的性质可得β+γ=45°,即可求解.

4[2026江苏南京调研,较难]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$A$关于$BC$的对称点为$A'$,点$B$关于$AC$的对称点为$B'$,点$C$关于$AB$的对称点为$C'$,则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积的比值为 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{7}$

(第4题图)
(第5题图)

4. B 【解析】如图,连接C'C并延长交A'B'于N,记CC'与AB交于M,连接CA',CB'.
∵ 点A关于BC的对称点为A',点B关于AC的对称点为B',点C关于AB的对称点为C',∠ACB = 90°,
∴ AC = A' C, BC = B' C, ∠ACB = ∠ACB' = ∠A'CB = 90°, CM = C' M, ∠AMC = ∠AMC' = 90°,
∴ ∠A'CB' = 90° = ∠ACB, ∠ACB + ∠A'CB = 180°,
∴ △ABC ≅ △A'B'C(SAS),点A,C,A'在同一条直线上,
∴ S△ABC = S△A'B'C, ∠A = ∠CA'B', AB = A'B',
∴ AB//A'B',
∴ ∠AMC = ∠A'NC = 90°,
∴ CN ⊥ A'B',
∴ 易得 CM = CN,
∴ CM = CN = C' M,
∴ S△A'CB' = $\frac{1}{3}$S△A'B'C,
∴ S△ABC = $\frac{1}{3}$S△A'B'C',
∴ △ABC与△A'B'C'的面积的比值为$\frac{1}{3}$,故选B.

5[2026江苏连云港质检,中]如图,在△ABC中,∠CAB=60°,AB=3,AC=4,点E是边AB的中点,∠CAB的平分线交BC于点D.作直线AD,
在直线AD上有一点F,连接FC,FE,则|FE-FC|的最大值是.

5. 2.5 【解析】
∵ 点E是边AB的中点,AB=3,
∴ AE = $\frac{1}{2}$AB = 1.5. 如图,在AC上取点G,使得AG=AE=1.5.
∵ ∠CAB的平分线交BC于点D,
∴ ∠FAC=∠FAB. 又
∵ AF=AF,
∴ △AGF≅△AEF(SAS),
∴ FG=FE,
∴ |FE-FC|=|GF-CF| ≤ GC=AC-AG=4-1.5=2.5,故答案为2.5.

6 核心素养 几何直观 [2026江苏苏州期中,较难]如图(1),在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠BAD=2∠EAF.
(1)请猜想∠FEC与∠BAE之间的数量关系,并写出理由.
(2)如图(2),在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠BAD=2∠EAF,请猜想EF,BE,DF之间的数量关系,并写出理由.
(3)如图(3),在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E,F分别是BC,CD延长线上的点,且∠BAD=2∠EAF,请直接写出EF,BE,DF之间的数量关系:.

6. 【解】(1) ∠FEC = 2∠BAE. 理由如下:设∠BAE=α,则易得∠AEB=90°-α. 如图(1),延长CB至点D',使BD' = DF,连接AD'.
∵ ∠ABE=∠D=90°,∠ABE+∠ABD' = 180°,
∴ ∠ABD' = ∠D = 90°. 又
∵ AB=AD,
∴ △ABD' ≅ △ADF(SAS),
∴ AD' = AF, ∠DAF = ∠D'AB.
∵ ∠BAD = 2∠EAF,
∴ ∠EAF = ∠BAE + ∠DAF,
∴ ∠EAF = ∠BAE + ∠D'AB = ∠EAD'. 又
∵ AE = AE,
∴ △AED' ≅ △AEF ( SAS ),
∴ ∠AEF = ∠AEB = 90°-α,
∴ ∠FEC = 180°-2×(90°-α) = 2α,
∴ ∠FEC=2∠BAE.
(2) EF = BE + DF. 理由如下:如图(2),延长CB至点D',使BD' = DF,连接AD'.
∵ ∠ABE+∠D = 180°, ∠ABE+∠ABD' = 180°,
∴ ∠D = ∠ABD'. 又
∵ AB = AD,
∴ △ABD' ≅ △ADF(SAS),
∴ AD' = AF, ∠BAD' = ∠DAF. 由(1)同理得△AED' ≅ △AEF,
∴ EF = ED'.
∵ ED' = BE+BD', BD' = DF,
∴ ED' = BE+DF,
∴ EF = BE+DF.
(3) 如图(3),在BC上截取BD' = DF,连接AD'. 同理得△ABD' ≅ △ADF,
∴ ∠BAD' = ∠DAF, AD' = AF.
∵ ∠BAD = 2∠EAF,
∴ ∠BAD = ∠BAD' + ∠D'AE + ∠EAD = ∠EAF + ∠DAF + ∠EAD = ∠EAD + ∠BAD' + ∠EAD,
∴ ∠D'AE = ∠EAF. 又
∵ AE = AE,
∴ △AD'E ≅ △AFE(SAS),
∴ EF = D'E.
∵ D'E = BE-BD',
∴ EF = BE-DF. 故答案为 EF=BE-DF.