1 [2026福建漳州期中,中]问题背景:在$△ ABC$中,$AB,BC,AC$三边的长分别为$\sqrt{5},\sqrt{10},\sqrt{13}$,求此三角形的面积.小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点$△ ABC$(即$△ ABC$三个顶点都在小正方形的顶点处),如图(1)所示,这样不需要求$△ ABC$的高,而是借用网格就能计算出它的面积.请你将$△ ABC$的面积直接填写在横线上:.
思维拓展:
我们把上述求$△ ABC$面积的方法叫作构图法,如果$△ ABC$三边长分别为$\sqrt{5}a,3\sqrt{2}a,\sqrt{29}a(a＞0)$,请利用如图(2)所示的正方形网格(每个小正方形的边长为$a$)画出相应的$△ ABC$,并求出它的面积.
探索创新:
若$△ ABC$三边长分别为$\sqrt{16m^2+9n^2},\sqrt{4m^2+25n^2},2\sqrt{m^2+n^2}(m＞0,n＞0,且m≠n)$,直接写出这个三角形的面积是.

问题背景:△ABC 的面积=$3×3-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×3=\frac{7}{2}$. 故答案为$\frac{7}{2}$.
思维拓展:如图(1)所示,△ABC 即为所求.
△ABC 的面积=$3a×5a-\frac{1}{2}×2a×a-\frac{1}{2}×3a×3a-\frac{1}{2}×2a×5a=\frac{9}{2}a^2$.
探索创新:构造△ABC 如图(2)所示.
$S_{△ABC}=4m×5n-\frac{1}{2}×2m×2n-\frac{1}{2}×2m×5n-\frac{1}{2}×4m×3n=7mn$. 故答案为7mn.

2[2026 湖北武汉调研,中]我国古代数学著作《周髀算经》记载,在约公元前11世纪,人们就已经知道,如果勾是三,股是四,那么弦是五.定义:如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长,那么这三个正整数称为一组勾股数.例如:3,4,5三个正整数,有$3^2+4^2=5^2$,我们就说3,4,5是一组勾股数.请你认真观察3,4,5这组勾股数的变化规律,完成填空并给出证明:
(1)勾股数:①3,4,5;②6,8,10;③9,12,15;④,,;….请用含n(n≥1,且n为正整数)的式子表示这类勾股数的规律:,,.
(2)勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④,,;….请用含n(n≥1,且n为正整数)的式子表示这类勾股数的规律:,,.
(3)勾股数:①4,3,5;②6,8,10;③8,15,17;④,,;….请用含n(n＞1,且n为正整数)的式子表示这类勾股数的规律:,,.

(1)依次填入 12,16,20,3n,4n,5n.
证明:$(3n)^2+(4n)^2=25n^2=(5n)^2$.
(2)依次填入 9,40,41,$2n+1$,$2n^2+2n$,$2n^2+2n+1$.
证明:$(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=4n^2+4n+1+4n^4+8n^3+4n^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$,
$(2n^2+2n+1)^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$,$\therefore (2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2$.
(3)依次填入 10,24,26,$2n$,$n^2-1$,$n^2+1$.
证明:$(2n)^2+(n^2-1)^2=4n^2+n^4-2n^2+1=n^4+2n^2+1$,$(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$,$\therefore (2n)^2+(n^2-1)^2=(n^2+1)^2$.