4. 如图，已知$∠ ADE=∠ B=∠ C$. 求证：(1)$∠ CDE=∠ A$；(2)$∠ ADB=∠ E$.

4.【证明】(1)由三角形外角性质,得∠ADC=∠B+∠A,即∠ADE+∠CDE=∠B+∠A.
因为∠ADE=∠B,所以∠CDE=∠A.
(2)在△ABD和△DCE中,由三角形内角和定理,得∠ADB=180°−∠A−∠B,∠E=180°−∠CDE−∠C,因为∠A=∠CDE,∠B=∠C,所以∠ADB=∠E.

【分析】
(1) 要证∠CDE=∠A，首先定位∠ADC是△ABD的外角，依据三角形外角性质可得到∠ADC=∠B+∠A；再观察∠ADC可拆分为∠ADE+∠CDE，结合已知∠ADE=∠B，通过等式性质消去相等的角，即可推出待证结论。
(2) 要证∠ADB=∠E，可借助三角形内角和定理分别表示两个角：在△ABD中∠ADB=180°-∠A-∠B，在△DCE中∠E=180°-∠CDE-∠C，结合(1)的结论∠A=∠CDE和已知∠B=∠C，通过等量代换就能证明两个角相等。
【解析】
(1) 由三角形外角的性质，得∠ADC是△ABD的外角，因此：
$∠ ADC = ∠ B + ∠ A$
又$∠ ADC = ∠ ADE + ∠ CDE$，代入上式可得：
$∠ ADE + ∠ CDE = ∠ B + ∠ A$
已知$∠ ADE = ∠ B$，等式两边同时减去相等的角，可得：
$∠ CDE = ∠ A$
(2) 根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°：
在$△ ABD$中，$∠ ADB = 180° - ∠ A - ∠ B$
在$△ DCE$中，$∠ E = 180° - ∠ CDE - ∠ C$
由(1)已证$∠ A = ∠ CDE$，结合已知$∠ B = ∠ C$，代入可得：
$∠ ADB = 180° - ∠ CDE - ∠ C = ∠ E$
即$∠ ADB = ∠ E$
【答案】
(1) $∠ CDE=∠ A$得证；(2) $∠ ADB=∠ E$得证，证明过程如上。
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；等量代换
【点评】
本题是基础的角度关系证明题，核心是灵活运用三角形外角性质和内角和定理，结合已知条件做等量代换即可完成证明，能有效锻炼对图形中角度关系的分析能力。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在平面直角坐标系中,点 B 在 x 轴正半轴上运动,点 A 在 y 轴正半轴上运动,BD 是$∠ ABO$ 的平分线,AD 是$∠ CAO$ 的平分线,BD 与 AD 相交于点 D,则$∠ ADB$ 的度数为 ()

A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$

(第5题图) (第6题图)

5. C 【解析】因为 BD 是∠ABO 的平分线,所以∠ABO=2∠ABD. 因为 AD 是∠CAO 的平分线,所以∠CAO=2∠CAD. 因为∠CAO=∠ABO + ∠AOB=2∠ABD+90°,∠CAD=∠ABD+∠ADB,所以 2∠ABD + 90°= 2(∠ABD+∠ADB),所以∠ADB=45°.

【分析】
本题可结合角平分线的性质与三角形外角的性质求解。首先根据角平分线的定义，将∠CAO、∠ABO分别转化为含∠CAD、∠ABD的倍数形式；再利用三角形外角的性质，分别得到∠CAO与△AOB内角的关系、∠CAD与△ADB内角的关系；最后将两个关系联立，消去相同的未知角即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵BD是∠ABO的平分线，
∴∠ABO=2∠ABD。
∵AD是∠CAO的平分线，
∴∠CAO=2∠CAD。
∵∠CAO是△AOB的外角，且平面直角坐标系中∠AOB=90°，
∴∠CAO=∠ABO + ∠AOB = 2∠ABD + 90° ①。
又
∵∠CAD是△ABD的外角，
∴∠CAD=∠ABD + ∠ADB ②。
将②代入①可得：2∠ABD + 90° = 2(∠ABD + ∠ADB)，
化简得：2∠ABD + 90° = 2∠ABD + 2∠ADB，
消去等号两侧的2∠ABD后，得2∠ADB=90°，
解得∠ADB=45°。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的常见题型，综合考查角平分线和三角形外角的相关知识，解题的核心是利用外角性质建立不同角之间的等量关系，通过代数消元的方式求出目标角的度数。
【难度系数】
0.7

6.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°。

6. 360 【解析】如图，
因为∠1是△ABG的外角,所以∠1=∠A+∠B.
因为∠2是△EFH的外角,所以∠2=∠E+∠F.
因为∠3是△CDI的外角,所以∠3=∠C+∠D.
因为∠1,∠2,∠3是△GIH的外角,所以∠1+∠2+∠3=360°,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

【分析】
求解多个分散角的和时，可利用三角形外角的性质进行角度转化。观察图形可知，我们可以先将∠A与∠B、∠E与∠F、∠C与∠D分别转化为三个外角，再利用三角形外角和为360°的性质，即可快速求出六个角的总和。
【解析】
如图，
因为∠1是△ABG的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），所以∠1=∠A+∠B。
因为∠2是△EFH的外角，同理可得∠2=∠E+∠F。
因为∠3是△CDI的外角，同理可得∠3=∠C+∠D。
又因为∠1、∠2、∠3是△GIH的三个外角，三角形的外角和为360°，所以∠1+∠2+∠3=360°，
因此∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°。

【答案】
360
【知识点】
三角形外角的性质，三角形外角和定理
【点评】
本题运用转化思想，将分散的多个角的和转化为三角形的外角和求解，解题核心是准确识别三角形外角，灵活运用外角性质简化计算。
【难度系数】
0.7

7.某小组利用活动课进行三角形外角知识的相关课题研究,制定的项目式学习表如下,请你解答任务中的问题.
课题：利用三角形内角和定理的推论进行角度计算和结论探究.
知识储备：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
问题解决
题干：如图,点D在AB上,点E在BC上,AE,CD相交于点P.
任务：
(1)若$∠ A = 30°$,$∠ B = 40°$,$∠ APC = 110°$,求$∠ C$的度数；
(2)试猜想$∠ APC$与$∠ A + ∠ B + ∠ C$之间的关系,并说明理由.

7.【解】(1)因为∠A=30°,∠B=40°,所以∠AEC=∠A+∠B=70°. 因为∠APC=110°,所以∠C=∠APC−∠AEC=40°.
(2)∠APC=∠A+∠B+∠C,理由如下：
因为∠AEC是△ABE的外角,所以∠AEC=∠A+∠B. 因为∠APC是△PEC的外角,所以∠APC=∠AEC+∠C,所以∠APC = ∠A + ∠B+∠C.

【分析】
（1）求解∠C的度数时，结合题目给出的三角形外角性质，首先识别出∠AEC是△ABE的外角，可先根据已知的∠A和∠B求出∠AEC的度数；再识别出∠APC是△PEC的外角，根据外角性质可得∠APC=∠AEC+∠C，代入已知的∠APC和求出的∠AEC，即可计算得到∠C的度数。
（2）探究∠APC与∠A、∠B、∠C的关系时，可沿用（1）的推导思路，不代入具体数值，直接通过两次运用三角形外角性质，通过等量代换即可得到三者的数量关系。
【解析】
（1）根据三角形外角的性质，∠AEC是△ABE的外角，因此：
$∠ AEC = ∠ A + ∠ B = 30° + 40° = 70°$
又因为∠APC是△PEC的外角，因此：
$∠ APC = ∠ AEC + ∠ C$
将$∠ APC=110°$，$∠ AEC=70°$代入上式，可得：
$∠ C = ∠ APC - ∠ AEC = 110° - 70° = 40°$
（2）猜想：$∠ APC = ∠ A + ∠ B + ∠ C$，理由如下：
∵ ∠AEC是△ABE的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ AEC = ∠ A + ∠ B$
又
∵ ∠APC是△PEC的外角，同理可得：
$∠ APC = ∠ AEC + ∠ C$
将$∠ AEC = ∠ A + ∠ B$代入上式，等量代换可得：
$∠ APC = ∠ A + ∠ B + ∠ C$
【答案】
（1）$\boldsymbol{40°}$；
（2）$\boldsymbol{∠ APC = ∠ A + ∠ B + ∠ C}$
【知识点】
1. 三角形外角的性质
2. 角的和差运算
【点评】
本题属于三角形外角性质的基础应用题型，解题关键是准确识别三角形的外角，明确外角对应的两个不相邻内角，通过两次运用外角性质即可建立角之间的等量关系，既可以训练具体角度的计算能力，也能锻炼一般结论的推导逻辑。
【难度系数】
0.8