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16. (★★)若n为正整数，则$(-1)^{2n}=$，$(-1)^{2n+1}=$
答案
解：
∵ n为正整数，
∴ 2n是偶数，2n+1是奇数。
根据有理数乘方的符号法则：负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数，
可得$(-1)^{2n}=1$，$(-1)^{2n+1}=-1$。
∵ n为正整数，
∴ 2n是偶数，2n+1是奇数。
根据有理数乘方的符号法则：负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数，
可得$(-1)^{2n}=1$，$(-1)^{2n+1}=-1$。
解析
【分析】
解题时首先观察指数的特点，已知n是正整数，可得2n是2的倍数，属于偶数，2n+1是偶数加1，属于奇数；再结合有理数乘方的符号法则：负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数，即可分别求出两个式子的结果。
【解析】
∵n为正整数，
∴2n是偶数，2n+1是奇数。
根据有理数乘方的符号法则：负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数，
可得$(-1)^{2n}=1$，$(-1)^{2n+1}=-1$。
【答案】
1；-1
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 奇偶数判断
【点评】
本题是有理数乘方的基础题型，核心考查-1的幂的运算规律，熟练掌握负数奇偶次幂的符号特点即可快速求解，该规律也是后续学习规律探究、整式乘除等内容的常用基础结论。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察指数的特点，已知n是正整数，可得2n是2的倍数，属于偶数，2n+1是偶数加1，属于奇数；再结合有理数乘方的符号法则：负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数，即可分别求出两个式子的结果。
【解析】
∵n为正整数，
∴2n是偶数，2n+1是奇数。
根据有理数乘方的符号法则：负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数，
可得$(-1)^{2n}=1$，$(-1)^{2n+1}=-1$。
【答案】
1；-1
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 奇偶数判断
【点评】
本题是有理数乘方的基础题型，核心考查-1的幂的运算规律，熟练掌握负数奇偶次幂的符号特点即可快速求解，该规律也是后续学习规律探究、整式乘除等内容的常用基础结论。
【难度系数】
0.9
17. (★★)观察下列算式：$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,\dots$,则$2+2^2+2^3+2^4+2^5+\dots+2^{2026}$的末位数字是【 】
A.2
B.4
C.6
D.8
A.2
B.4
C.6
D.8
答案
C
解析
【分析】
要计算多个2的乘方相加的末位数字，不需要算出具体总和，只需关注每个加数的末位数字即可。首先观察给出的2的乘方结果，可发现末位数字存在固定的循环规律，先确定循环周期，再计算总共有多少组完整循环、余下几个数，最后计算余下数字的末位和就能得到总和的末位数字。
解题步骤可分为4步：第一步找$2^n$的末位数字循环规律；第二步计算每组循环的末位和；第三步用总项数除以周期得到商和余数；第四步结合余数计算剩余项的末位和，得到最终结果。
【解析】
观察已知算式可得，$2^n$的末位数字按2、4、8、6的顺序，每4个为一个循环周期。
每个周期内4个数的末位数字之和为：$2+4+8+6=20$，即每组完整周期的和的末位数字是0。
从$2^1$到$2^{2026}$共有2026个加数，计算$2026÷4=506······2$，即共有506个完整周期，还余下2个加数，对应的末位数字是循环的前两个：2和4。
因此总和的末位数字为：$506×0 + 2+4=6$。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方；规律探究；尾数计算
【点评】
本题解题核心是找到乘方结果的末位循环规律，避免了计算极大数值的繁琐，只要准确找到周期、算出余数，就能快速求出尾数结果，是规律类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
要计算多个2的乘方相加的末位数字，不需要算出具体总和，只需关注每个加数的末位数字即可。首先观察给出的2的乘方结果，可发现末位数字存在固定的循环规律，先确定循环周期，再计算总共有多少组完整循环、余下几个数，最后计算余下数字的末位和就能得到总和的末位数字。
解题步骤可分为4步：第一步找$2^n$的末位数字循环规律；第二步计算每组循环的末位和；第三步用总项数除以周期得到商和余数；第四步结合余数计算剩余项的末位和，得到最终结果。
【解析】
观察已知算式可得，$2^n$的末位数字按2、4、8、6的顺序，每4个为一个循环周期。
每个周期内4个数的末位数字之和为：$2+4+8+6=20$，即每组完整周期的和的末位数字是0。
从$2^1$到$2^{2026}$共有2026个加数，计算$2026÷4=506······2$，即共有506个完整周期，还余下2个加数，对应的末位数字是循环的前两个：2和4。
因此总和的末位数字为：$506×0 + 2+4=6$。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方；规律探究；尾数计算
【点评】
本题解题核心是找到乘方结果的末位循环规律，避免了计算极大数值的繁琐，只要准确找到周期、算出余数，就能快速求出尾数结果，是规律类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
18. (★★)计算：
(1) $(-1)^{2024}$；
(2) $(-\dfrac{3}{2})^3$；
(3) $-\dfrac{3^2}{4}$；
(4) $(\dfrac{1}{2}-2)^2$。
(1) $(-1)^{2024}$；
(2) $(-\dfrac{3}{2})^3$；
(3) $-\dfrac{3^2}{4}$；
(4) $(\dfrac{1}{2}-2)^2$。
答案
解：
(1) $(-1)^{2024}=1$
(2) $(-\dfrac{3}{2})^3=(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})=-\dfrac{27}{8}$
(3) $-\dfrac{3^2}{4}=-\dfrac{3×3}{4}=-\dfrac{9}{4}$
(4) $(\dfrac{1}{2}-2)^2=(-\dfrac{3}{2})^2=(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{4}$
(1) $(-1)^{2024}=1$
(2) $(-\dfrac{3}{2})^3=(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})=-\dfrac{27}{8}$
(3) $-\dfrac{3^2}{4}=-\dfrac{3×3}{4}=-\dfrac{9}{4}$
(4) $(\dfrac{1}{2}-2)^2=(-\dfrac{3}{2})^2=(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
本题考查有理数的乘方运算，解题思路如下：1. 明确乘方的定义：a^n表示n个a相乘，运算时先确定符号，再计算绝对值的乘方；2. 牢记负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负；3. 注意运算顺序：有括号先算括号内的，同时注意区分带括号的乘方与不带括号乘方的运算差异，避免符号出错。针对四个小问逐一分析：(1) (-1)的偶次幂结果为1，奇次幂为-1，2024是偶数，可直接判断结果；(2) 是负数的奇次幂，先定符号为负，再计算$\dfrac{3}{2}$的三次方；(3) 先计算3的平方，再整体带负号，不要错当成(-3)的平方；(4) 先计算括号内的减法，再计算乘方，负数的偶次幂为正。【解析】(1) 2024是偶数，根据负数的偶次幂为正，因此$(-1)^{2024}=1(2) $根据乘方的定义，$(-\dfrac{3}{2})^3$表示3个$-\dfrac{3}{2}$相乘：$(-\dfrac{3}{2})^3=(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})=-\dfrac{27}{8}(3) $运算顺序为先算乘方，再进行分数运算：$-\dfrac{3^2}{4}=-\dfrac{3×3}{4}=-\dfrac{9}{4}(4) $有括号先算括号内的减法，再计算乘方：$(\dfrac{1}{2}-2)^2=(-\dfrac{3}{2})^2=(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{4}【$答案$】(1) \boxed{1}$；$(2) \boxed{-\dfrac{27}{8}}$；$(3) \boxed{-\dfrac{9}{4}}$；$(4) \boxed{\dfrac{9}{4}}$
【知识点】
有理数乘方的定义，乘方符号法则，有理数混合运算顺序
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心考查乘方的运算规则及符号判断，解题的易错点是混淆带括号与不带括号的乘方运算差异，运算时要严格遵循运算顺序，准确判断符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的乘方运算，解题思路如下：1. 明确乘方的定义：a^n表示n个a相乘，运算时先确定符号，再计算绝对值的乘方；2. 牢记负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负；3. 注意运算顺序：有括号先算括号内的，同时注意区分带括号的乘方与不带括号乘方的运算差异，避免符号出错。针对四个小问逐一分析：(1) (-1)的偶次幂结果为1，奇次幂为-1，2024是偶数，可直接判断结果；(2) 是负数的奇次幂，先定符号为负，再计算$\dfrac{3}{2}$的三次方；(3) 先计算3的平方，再整体带负号，不要错当成(-3)的平方；(4) 先计算括号内的减法，再计算乘方，负数的偶次幂为正。【解析】(1) 2024是偶数，根据负数的偶次幂为正，因此$(-1)^{2024}=1(2) $根据乘方的定义，$(-\dfrac{3}{2})^3$表示3个$-\dfrac{3}{2}$相乘：$(-\dfrac{3}{2})^3=(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})=-\dfrac{27}{8}(3) $运算顺序为先算乘方，再进行分数运算：$-\dfrac{3^2}{4}=-\dfrac{3×3}{4}=-\dfrac{9}{4}(4) $有括号先算括号内的减法，再计算乘方：$(\dfrac{1}{2}-2)^2=(-\dfrac{3}{2})^2=(-\dfrac{3}{2})×(-\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{4}【$答案$】(1) \boxed{1}$；$(2) \boxed{-\dfrac{27}{8}}$；$(3) \boxed{-\dfrac{9}{4}}$；$(4) \boxed{\dfrac{9}{4}}$
【知识点】
有理数乘方的定义，乘方符号法则，有理数混合运算顺序
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心考查乘方的运算规则及符号判断，解题的易错点是混淆带括号与不带括号的乘方运算差异，运算时要严格遵循运算顺序，准确判断符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
19. (★★★)阅读材料,完成填空:
你能比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小吗?
为了解决问题,先把问题一般化,即比较$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小($n$大于或等于1,且$n$为正整数),然后从分析$n=1,2,3,···$这些简单的情形入手,从中发现规律,经过归纳、猜想得出结论.
(1)通过计算,在横线上填“＞”“＜”或“=”:
①$1^2$ $2^1$; ②$2^3$ $3^2$;
③$3^4$ $4^3$; ④$4^5$ $5^4$;
⑤$5^6$ $6^5$; ⑥$6^7$ $7^6$;
⑦$7^8$ $8^7$; $···$
(2)由第(1)题的结果经过归纳,可以猜想$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小关系是
.
(3)根据上面的归纳、猜想得到一般性结论,可以得到$2024^{2025}$ $2025^{2024}$.
你能比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小吗?
为了解决问题,先把问题一般化,即比较$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小($n$大于或等于1,且$n$为正整数),然后从分析$n=1,2,3,···$这些简单的情形入手,从中发现规律,经过归纳、猜想得出结论.
(1)通过计算,在横线上填“＞”“＜”或“=”:
①$1^2$ $2^1$; ②$2^3$ $3^2$;
③$3^4$ $4^3$; ④$4^5$ $5^4$;
⑤$5^6$ $6^5$; ⑥$6^7$ $7^6$;
⑦$7^8$ $8^7$; $···$
(2)由第(1)题的结果经过归纳,可以猜想$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小关系是
.
(3)根据上面的归纳、猜想得到一般性结论,可以得到$2024^{2025}$ $2025^{2024}$.
答案
解：
(1) ① $1^2=1$，$2^1=2$，故填$＜$；
② $2^3=8$，$3^2=9$，故填$＜$；
③ $3^4=81$，$4^3=64$，故填$＞$；
④ $4^5=1024$，$5^4=625$，故填$＞$；
⑤ $5^6=15625$，$6^5=7776$，故填$＞$；
⑥ $6^7=279936$，$7^6=117649$，故填$＞$；
⑦ $7^8=5764801$，$8^7=2097152$，故填$＞$；
(2) 当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n\ge3$且$n$为正整数时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
(3) 由上述结论可知$2024＞3$，故填$＞$
(1) ① $1^2=1$，$2^1=2$，故填$＜$；
② $2^3=8$，$3^2=9$，故填$＜$；
③ $3^4=81$，$4^3=64$，故填$＞$；
④ $4^5=1024$，$5^4=625$，故填$＞$；
⑤ $5^6=15625$，$6^5=7776$，故填$＞$；
⑥ $6^7=279936$，$7^6=117649$，故填$＞$；
⑦ $7^8=5764801$，$8^7=2097152$，故填$＞$；
(2) 当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n\ge3$且$n$为正整数时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
(3) 由上述结论可知$2024＞3$，故填$＞$
解析
【分析】
要比较指数和底数都很大的两个幂的大小，直接计算难度极高，因此采用“从特殊到一般”的探究思路：第一步先计算n取1,2,3,…,7这些较小正整数时$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的值，直接比较大小得到第一问的结果；第二步观察第一问的结果，分情况归纳总结出两个幂的大小规律，完成第二问；第三步判断2024符合规律中的哪种情形，直接应用规律得出第三问的结果。
【解析】
(1) 分别计算每组两个数的值再比较：
① $1^2=1$，$2^1=2$，$1＜2$，故填$＜$；
② $2^3=8$，$3^2=9$，$8＜9$，故填$＜$；
③ $3^4=81$，$4^3=64$，$81＞64$，故填$＞$；
④ $4^5=1024$，$5^4=625$，$1024＞625$，故填$＞$；
⑤ $5^6=15625$，$6^5=7776$，$15625＞7776$，故填$＞$；
⑥ $6^7=279936$，$7^6=117649$，$279936＞117649$，故填$＞$；
⑦ $7^8=5764801$，$8^7=2097152$，$5764801＞2097152$，故填$＞$；
(2) 观察(1)的结果可发现规律：当n=1或n=2时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n\ge3$且n为正整数时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$。
(3) 因为$2024＞3$，符合n≥3的情形，因此$2024^{2025}＞2025^{2024}$，故填$＞$。
【答案】
(1) ①$＜$；②$＜$；③$＞$；④$＞$；⑤$＞$；⑥$＞$；⑦$＞$
(2) 当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n\ge3$且$n$为正整数时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
(3) $＞$
【知识点】
有理数的乘方；归纳推理；有理数大小比较
【点评】
本题以幂的大小比较为载体，考查从特殊到一般的探究方法，需要先通过简单计算发现规律，再运用规律解决复杂问题，能有效提升归纳总结和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
要比较指数和底数都很大的两个幂的大小，直接计算难度极高，因此采用“从特殊到一般”的探究思路：第一步先计算n取1,2,3,…,7这些较小正整数时$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的值，直接比较大小得到第一问的结果；第二步观察第一问的结果，分情况归纳总结出两个幂的大小规律，完成第二问；第三步判断2024符合规律中的哪种情形，直接应用规律得出第三问的结果。
【解析】
(1) 分别计算每组两个数的值再比较：
① $1^2=1$，$2^1=2$，$1＜2$，故填$＜$；
② $2^3=8$，$3^2=9$，$8＜9$，故填$＜$；
③ $3^4=81$，$4^3=64$，$81＞64$，故填$＞$；
④ $4^5=1024$，$5^4=625$，$1024＞625$，故填$＞$；
⑤ $5^6=15625$，$6^5=7776$，$15625＞7776$，故填$＞$；
⑥ $6^7=279936$，$7^6=117649$，$279936＞117649$，故填$＞$；
⑦ $7^8=5764801$，$8^7=2097152$，$5764801＞2097152$，故填$＞$；
(2) 观察(1)的结果可发现规律：当n=1或n=2时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n\ge3$且n为正整数时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$。
(3) 因为$2024＞3$，符合n≥3的情形，因此$2024^{2025}＞2025^{2024}$，故填$＞$。
【答案】
(1) ①$＜$；②$＜$；③$＞$；④$＞$；⑤$＞$；⑥$＞$；⑦$＞$
(2) 当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n\ge3$且$n$为正整数时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
(3) $＞$
【知识点】
有理数的乘方；归纳推理；有理数大小比较
【点评】
本题以幂的大小比较为载体，考查从特殊到一般的探究方法，需要先通过简单计算发现规律，再运用规律解决复杂问题，能有效提升归纳总结和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
