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10. (★)用计算器计算：
(1) $(-8)^5$；
(2) $(-3)^6$。
(1) $(-8)^5$；
(2) $(-3)^6$。
答案
解：
(1) $(-8)^5 = -32768$
(2) $(-3)^6 = 729$
(1) $(-8)^5 = -32768$
(2) $(-3)^6 = 729$
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数乘方的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，可先判断结果的符号，再计算绝对值的乘方；使用计算器计算时要注意，负数作为乘方的底数时，必须给负数加上括号再输入，避免输入错误导致结果偏差，最后结合计算器操作得出最终结果即可。
【解析】
(1) 先判断$(-8)^5$的符号：指数5是奇数，因此$(-8)^5$的结果为负数；使用计算器计算时，依次输入“(”、“-”、“8”、“)”、“^”、“5”、“=”，可得$(-8)^5=-32768$。
(2) 先判断$(-3)^6$的符号：指数6是偶数，因此$(-3)^6$的结果为正数；使用计算器计算时，依次输入“(”、“-”、“3”、“)”、“^”、“6”、“=”，可得$(-3)^6=729$。
【答案】
(1) $-32768$；(2) $729$
【知识点】
有理数乘方的符号法则，计算器的使用
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查有理数乘方的符号判断和计算器的正确操作，解题的关键是注意负数作为底数时必须加括号，避免出现符号运算错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确有理数乘方的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，可先判断结果的符号，再计算绝对值的乘方；使用计算器计算时要注意，负数作为乘方的底数时，必须给负数加上括号再输入，避免输入错误导致结果偏差，最后结合计算器操作得出最终结果即可。
【解析】
(1) 先判断$(-8)^5$的符号：指数5是奇数，因此$(-8)^5$的结果为负数；使用计算器计算时，依次输入“(”、“-”、“8”、“)”、“^”、“5”、“=”，可得$(-8)^5=-32768$。
(2) 先判断$(-3)^6$的符号：指数6是偶数，因此$(-3)^6$的结果为正数；使用计算器计算时，依次输入“(”、“-”、“3”、“)”、“^”、“6”、“=”，可得$(-3)^6=729$。
【答案】
(1) $-32768$；(2) $729$
【知识点】
有理数乘方的符号法则，计算器的使用
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查有理数乘方的符号判断和计算器的正确操作，解题的关键是注意负数作为底数时必须加括号，避免出现符号运算错误。
【难度系数】
0.9
11. (★)下列各组数相等的一组是【 】
A.$(-3)^2$与$-3^2$
B.$(-4)^3$与$-4^3$
C.$(-5×2)^3$与$-5×(-2)^3$
D.$-5^6$与$-5×6$
A.$(-3)^2$与$-3^2$
B.$(-4)^3$与$-4^3$
C.$(-5×2)^3$与$-5×(-2)^3$
D.$-5^6$与$-5×6$
答案
B
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的运算及大小比较，解题思路是分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等。计算时要注意区分带括号的乘方和不带括号的乘方的运算顺序：带括号时是把括号内的整体作为底数进行乘方运算，不带括号且底数为负数时，乘方运算仅针对负号后面的数，结果再带负号；混合运算遵循“先乘方，再乘除，有括号先算括号内”的运算顺序。
【解析】
逐个计算各选项的两个式子：
A选项：$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-3^2=-(3×3)=-9$，$9≠-9$，两组数不相等；
B选项：$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，$-4^3=-(4×4×4)=-64$，$-64=-64$，两组数相等；
C选项：$(-5×2)^3=(-10)^3=-1000$，$-5×(-2)^3=-5×(-8)=40$，$-1000≠40$，两组数不相等；
D选项：$-5^6=-(5×5×5×5×5×5)=-15625$，$-5×6=-30$，$-15625≠-30$，两组数不相等。
综上，相等的一组是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数混合运算
3. 乘方符号法则
【点评】
本题是乘方部分的基础常规题，核心易错点在于混淆带括号和不带括号的乘方的运算顺序，以及负数乘方的符号判断，熟练掌握乘方的定义和运算规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数乘方的运算及大小比较，解题思路是分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等。计算时要注意区分带括号的乘方和不带括号的乘方的运算顺序：带括号时是把括号内的整体作为底数进行乘方运算，不带括号且底数为负数时，乘方运算仅针对负号后面的数，结果再带负号；混合运算遵循“先乘方，再乘除，有括号先算括号内”的运算顺序。
【解析】
逐个计算各选项的两个式子：
A选项：$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-3^2=-(3×3)=-9$，$9≠-9$，两组数不相等；
B选项：$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，$-4^3=-(4×4×4)=-64$，$-64=-64$，两组数相等；
C选项：$(-5×2)^3=(-10)^3=-1000$，$-5×(-2)^3=-5×(-8)=40$，$-1000≠40$，两组数不相等；
D选项：$-5^6=-(5×5×5×5×5×5)=-15625$，$-5×6=-30$，$-15625≠-30$，两组数不相等。
综上，相等的一组是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数混合运算
3. 乘方符号法则
【点评】
本题是乘方部分的基础常规题，核心易错点在于混淆带括号和不带括号的乘方的运算顺序，以及负数乘方的符号判断，熟练掌握乘方的定义和运算规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
12. (★)下列计算错误的是 【 】
A.$-6^2=-36$
B.$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$
C.$(-1)^{100}+(-1)^{1000}=0$
D.$(-4)^3=-64$
A.$-6^2=-36$
B.$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$
C.$(-1)^{100}+(-1)^{1000}=0$
D.$(-4)^3=-64$
答案
C
解析
【分析】
本题要求选出计算错误的选项，解题核心是运用有理数乘方的运算法则逐一验证每个选项：首先明确乘方的意义是n个相同因数的乘积，其次要注意乘方运算的符号规则：正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数、奇次幂是负数，另外要区分带括号和不带括号的乘方的运算顺序，最后将计算结果和选项给出的结果对比即可找到错误项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $-6^2$表示$6^2$的相反数，$6^2=6×6=36$，因此$-6^2=-36$，计算正确，不符合题意；
B. $(\frac{1}{4})^2$表示2个$\frac{1}{4}$相乘，即$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$，计算正确，不符合题意；
C. 根据负数的偶次幂为正，$(-1)^{100}=1$，$(-1)^{1000}=1$，因此$(-1)^{100}+(-1)^{1000}=1+1=2≠0$，计算错误，符合题意；
D. $(-4)^3$表示3个$-4$相乘，即$(-4)×(-4)×(-4)=16×(-4)=-64$，计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数乘方运算 2. 乘方符号法则
【点评】
本题是乘方运算的基础考查题，重点检测对乘方定义、运算符号规则的掌握情况，易错点是混淆带括号与不带括号的乘方的运算顺序，以及对-1的偶次幂、奇次幂的符号判断失误。
【难度系数】
0.85
本题要求选出计算错误的选项，解题核心是运用有理数乘方的运算法则逐一验证每个选项：首先明确乘方的意义是n个相同因数的乘积，其次要注意乘方运算的符号规则：正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数、奇次幂是负数，另外要区分带括号和不带括号的乘方的运算顺序，最后将计算结果和选项给出的结果对比即可找到错误项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $-6^2$表示$6^2$的相反数，$6^2=6×6=36$，因此$-6^2=-36$，计算正确，不符合题意；
B. $(\frac{1}{4})^2$表示2个$\frac{1}{4}$相乘，即$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$，计算正确，不符合题意；
C. 根据负数的偶次幂为正，$(-1)^{100}=1$，$(-1)^{1000}=1$，因此$(-1)^{100}+(-1)^{1000}=1+1=2≠0$，计算错误，符合题意；
D. $(-4)^3$表示3个$-4$相乘，即$(-4)×(-4)×(-4)=16×(-4)=-64$，计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数乘方运算 2. 乘方符号法则
【点评】
本题是乘方运算的基础考查题，重点检测对乘方定义、运算符号规则的掌握情况，易错点是混淆带括号与不带括号的乘方的运算顺序，以及对-1的偶次幂、奇次幂的符号判断失误。
【难度系数】
0.85
13. (★)平方后等于$\frac{9}{16}$的数是，
立方后等于-125的数是。
立方后等于-125的数是。
答案
$\pm\frac{3}{4}$；$-5$
解析
【分析】
这道题考查有理数乘方的逆运算，解题时先分别回忆平方、立方的运算性质：第一问，因为互为相反数的两个数的平方相等，所以平方等于一个正数的数有两个，一正一负；我们只需找分子平方等于9、分母平方等于16的数，再加上正负号即可。第二问，因为正数的立方是正数、负数的立方是负数，所以立方等于负数的数只有一个负数，找出哪个数的立方是125，添上负号就是答案。
【解析】
1. 求平方后等于$\frac{9}{16}$的数：
设该数为$x$，则$x^2=\frac{9}{16}$。
因为$(\frac{3}{4})^2=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$，$(-\frac{3}{4})^2=(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})=\frac{9}{16}$，
所以$x=\pm\frac{3}{4}$。
2. 求立方后等于$-125$的数：
设该数为$y$，则$y^3=-125$。
因为$(-5)^3=(-5)×(-5)×(-5)=-125$，
所以$y=-5$。
【答案】
$\pm\frac{3}{4}$；$-5$
【知识点】
有理数乘方运算，平方的性质，立方的性质
【点评】
本题是乘方逆运算的基础题型，解题时要注意平方运算的结果非负，因此正数的平方对应的原数有两个且互为相反数，不要漏写负的结果；立方运算的符号和原数一致，因此负数的立方对应的原数只有1个负数。
【难度系数】
0.9
这道题考查有理数乘方的逆运算，解题时先分别回忆平方、立方的运算性质：第一问，因为互为相反数的两个数的平方相等，所以平方等于一个正数的数有两个，一正一负；我们只需找分子平方等于9、分母平方等于16的数，再加上正负号即可。第二问，因为正数的立方是正数、负数的立方是负数，所以立方等于负数的数只有一个负数，找出哪个数的立方是125，添上负号就是答案。
【解析】
1. 求平方后等于$\frac{9}{16}$的数：
设该数为$x$，则$x^2=\frac{9}{16}$。
因为$(\frac{3}{4})^2=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$，$(-\frac{3}{4})^2=(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})=\frac{9}{16}$，
所以$x=\pm\frac{3}{4}$。
2. 求立方后等于$-125$的数：
设该数为$y$，则$y^3=-125$。
因为$(-5)^3=(-5)×(-5)×(-5)=-125$，
所以$y=-5$。
【答案】
$\pm\frac{3}{4}$；$-5$
【知识点】
有理数乘方运算，平方的性质，立方的性质
【点评】
本题是乘方逆运算的基础题型，解题时要注意平方运算的结果非负，因此正数的平方对应的原数有两个且互为相反数，不要漏写负的结果；立方运算的符号和原数一致，因此负数的立方对应的原数只有1个负数。
【难度系数】
0.9
14. (★★)(2024·甘肃)定义一种新运算*，规定运算法则为：$m*n = m^n - mn$($m,n$均为整数，且$m≠0$). 例：$2*3 = 2^3 - 2×3 = 2$，则$(-2)*2 =$ .
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
首先要明确新运算*的运算法则：$m*n$等于$m$的$n$次方减去$m$与$n$的乘积。求解$(-2)*2$时，先对应找到公式里的参数，此处$m=-2$，$n=2$，再把数值代入运算法则，按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘法，最后算加减，注意符号处理）计算即可。
【解析】
根据题目给出的新运算法则$m*n = m^n - mn$，将$m=-2$，$n=2$代入公式：
$\begin{aligned}(-2)*2 &= (-2)^2 - (-2)×2 \\&= 4 - (-4) \\&= 4 + 4 \\&= 8\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题考查对新定义运算的理解应用能力，只要准确匹配参数代入公式，严格遵循有理数运算的顺序和符号规则就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
首先要明确新运算*的运算法则：$m*n$等于$m$的$n$次方减去$m$与$n$的乘积。求解$(-2)*2$时，先对应找到公式里的参数，此处$m=-2$，$n=2$，再把数值代入运算法则，按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘法，最后算加减，注意符号处理）计算即可。
【解析】
根据题目给出的新运算法则$m*n = m^n - mn$，将$m=-2$，$n=2$代入公式：
$\begin{aligned}(-2)*2 &= (-2)^2 - (-2)×2 \\&= 4 - (-4) \\&= 4 + 4 \\&= 8\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题考查对新定义运算的理解应用能力，只要准确匹配参数代入公式，严格遵循有理数运算的顺序和符号规则就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
15. (★★)下列各组数,数值相等的有
【】
①$3^2$和$2^3$;②$-2^7$与$(-2)^7$;③$2^2$与$(-2)^2$;
④$-2^2$与$(-2)^2$;⑤$(-6)^2$与$-6^2$;⑥$\frac{4^2}{5}$与$\frac{16}{25}$;
⑦$(-1)^{11}$与$-1$;⑧$-(-0.1)^3$与$0.001$.
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
【】
①$3^2$和$2^3$;②$-2^7$与$(-2)^7$;③$2^2$与$(-2)^2$;
④$-2^2$与$(-2)^2$;⑤$(-6)^2$与$-6^2$;⑥$\frac{4^2}{5}$与$\frac{16}{25}$;
⑦$(-1)^{11}$与$-1$;⑧$-(-0.1)^3$与$0.001$.
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数乘方的运算规则，尤其要区分$-a^n$和$(-a)^n$的差异：前者是先算$a$的$n$次幂，再取相反数；后者是把$-a$作为整体计算$n$次幂，负数的奇次幂为负、偶次幂为正。接下来依次计算每组中两个数的结果，对比是否相等，最后统计相等的组数选择对应选项即可。
【解析】
我们逐组计算对比：
① $3^2=9$，$2^3=8$，$9≠8$，不相等；
② $-2^7=-128$，$(-2)^7=-128$，二者相等；
③ $2^2=4$，$(-2)^2=4$，二者相等；
④ $-2^2=-4$，$(-2)^2=4$，$-4≠4$，不相等；
⑤ $(-6)^2=36$，$-6^2=-36$，$36≠-36$，不相等；
⑥ $\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}$，$\frac{16}{5}≠\frac{16}{25}$，不相等；
⑦ $(-1)^{11}=-1$，和$-1$相等；
⑧ $-(-0.1)^3=-(-0.001)=0.001$，和$0.001$相等。
综上，相等的有②③⑦⑧，共4组。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号法则
【点评】
本题是乘方部分的典型基础题，核心考查乘方运算中括号对运算顺序、结果符号的影响，易错点是混淆带括号和不带括号的负数乘方的符号，熟练掌握乘方运算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确有理数乘方的运算规则，尤其要区分$-a^n$和$(-a)^n$的差异：前者是先算$a$的$n$次幂，再取相反数；后者是把$-a$作为整体计算$n$次幂，负数的奇次幂为负、偶次幂为正。接下来依次计算每组中两个数的结果，对比是否相等，最后统计相等的组数选择对应选项即可。
【解析】
我们逐组计算对比：
① $3^2=9$，$2^3=8$，$9≠8$，不相等；
② $-2^7=-128$，$(-2)^7=-128$，二者相等；
③ $2^2=4$，$(-2)^2=4$，二者相等；
④ $-2^2=-4$，$(-2)^2=4$，$-4≠4$，不相等；
⑤ $(-6)^2=36$，$-6^2=-36$，$36≠-36$，不相等；
⑥ $\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}$，$\frac{16}{5}≠\frac{16}{25}$，不相等；
⑦ $(-1)^{11}=-1$，和$-1$相等；
⑧ $-(-0.1)^3=-(-0.001)=0.001$，和$0.001$相等。
综上，相等的有②③⑦⑧，共4组。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号法则
【点评】
本题是乘方部分的典型基础题，核心考查乘方运算中括号对运算顺序、结果符号的影响，易错点是混淆带括号和不带括号的负数乘方的符号，熟练掌握乘方运算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.6
