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9.已知$a,b$为实数，$a-2b=3$，$b≠-1$，则分式$\frac{a+b}{b+1}$的值为（
A.3
B.$-3$
C.2
D.$-2$
A
）A.3
B.$-3$
C.2
D.$-2$
答案
9. A
解析
【分析】
已知条件给出了a与b的等量关系，待求分式同时含有a和b两个变量，因此可以采用代入消元的思路解题：先将已知等式变形，用含b的代数式表示a，再将其代入待求分式中，对分子合并同类项后提取公因式，结合b≠-1（分母不为0）的条件约分，即可得到分式的定值。
【解析】
1. 变形已知等式：由$a-2b=3$，移项得$a=2b+3$；
2. 代入待求分式：将$a=2b+3$代入$\frac{a+b}{b+1}$，得：
$\frac{a+b}{b+1}=\frac{(2b+3)+b}{b+1}=\frac{3b+3}{b+1}$；
3. 化简计算：对分子提取公因式得$\frac{3(b+1)}{b+1}$，已知$b≠-1$，即$b+1≠0$，可约去公因式$b+1$，最终结果为3。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；分式化简；等式变形
【点评】
本题属于基础的代数式化简求值题，核心解题方法是代入消元，解题时需注意只有当分母不为0时才可以对分式约分，避免忽略分式有意义的条件。
【难度系数】
0.8
已知条件给出了a与b的等量关系，待求分式同时含有a和b两个变量，因此可以采用代入消元的思路解题：先将已知等式变形，用含b的代数式表示a，再将其代入待求分式中，对分子合并同类项后提取公因式，结合b≠-1（分母不为0）的条件约分，即可得到分式的定值。
【解析】
1. 变形已知等式：由$a-2b=3$，移项得$a=2b+3$；
2. 代入待求分式：将$a=2b+3$代入$\frac{a+b}{b+1}$，得：
$\frac{a+b}{b+1}=\frac{(2b+3)+b}{b+1}=\frac{3b+3}{b+1}$；
3. 化简计算：对分子提取公因式得$\frac{3(b+1)}{b+1}$，已知$b≠-1$，即$b+1≠0$，可约去公因式$b+1$，最终结果为3。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；分式化简；等式变形
【点评】
本题属于基础的代数式化简求值题，核心解题方法是代入消元，解题时需注意只有当分母不为0时才可以对分式约分，避免忽略分式有意义的条件。
【难度系数】
0.8
10. 解下列方程：
(1) $\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{4x + 10}{3x - 6} - 1$；
(2) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4}$。
(1) $\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{4x + 10}{3x - 6} - 1$；
(2) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4}$。
答案
10. 解:(1)$\frac{5x-4}{x-2}=\frac{4x+10}{3x-6}-1$,
去分母,得3(5x-4)=4x+10-(3x-6),
去括号,得15x-12=4x+10-3x+6,
移项,合并同类项,得14x=28,
系数化为1,得x=2.
检验,当x=2时,3(x-2)=0,
所以分式原方程无解.
(2)$\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}=\frac{8}{x^2-4}$,
去分母,得$(x-2)^2-(x+2)^2=8$,
移项,合并同类项,得-8x=8,
系数化为1,得x=-1.
检验,当x=-1时,$x^2-4≠0$,
所以原分式方程的解为x=-1.
去分母,得3(5x-4)=4x+10-(3x-6),
去括号,得15x-12=4x+10-3x+6,
移项,合并同类项,得14x=28,
系数化为1,得x=2.
检验,当x=2时,3(x-2)=0,
所以分式原方程无解.
(2)$\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}=\frac{8}{x^2-4}$,
去分母,得$(x-2)^2-(x+2)^2=8$,
移项,合并同类项,得-8x=8,
系数化为1,得x=-1.
检验,当x=-1时,$x^2-4≠0$,
所以原分式方程的解为x=-1.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根的有效性：①先找各分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，化为整式方程；②按照整式方程的求解步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算未知数的值；③将求得的未知数代入最简公分母检验，若最简公分母为0，说明该根是增根，原方程无解；若不为0，则是原方程的解。
针对(1)：分母3x-6可因式分解为3(x-2)，因此最简公分母是3(x-2)，去分母时注意常数项-1也要乘最简公分母，避免漏乘；针对(2)：分母x²-4可因式分解为(x+2)(x-2)，因此最简公分母是(x+2)(x-2)，去分母时注意分子是多项式的要加括号。
【解析】
(1) 原方程为 $\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{4x + 10}{3x - 6} - 1$
对分母因式分解得：$\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{4x + 10}{3(x - 2)} - 1$
去分母（两边同乘最简公分母$3(x-2)$），得 $3(5x-4)=4x+10-(3x-6)$
去括号，得 $15x - 12 = 4x + 10 - 3x + 6$
移项、合并同类项，得 $14x = 28$
系数化为1，得 $x=2$
检验：当$x=2$时，最简公分母$3(x-2)=0$，因此$x=2$是增根
所以原分式方程无解。
(2) 原方程为 $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4}$
对分母因式分解得：$\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{(x+2)(x-2)}$
去分母（两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$），得 $(x-2)^2 - (x+2)^2 = 8$
展开并合并同类项：$(x²-4x+4)-(x²+4x+4)=8$，化简得 $-8x=8$
系数化为1，得 $x=-1$
检验：当$x=-1$时，最简公分母$x²-4=(-1)²-4=-3≠0$
所以原分式方程的解为$x=-1$。
【答案】
(1) 原方程无解；(2) $x=-1$
【知识点】
分式方程的解法，整式方程求解，增根检验
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题的易错点有两处：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是忘记检验根的有效性，增根需舍去，若所有根都是增根则原方程无解，解题时要养成验根的习惯。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根的有效性：①先找各分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，化为整式方程；②按照整式方程的求解步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算未知数的值；③将求得的未知数代入最简公分母检验，若最简公分母为0，说明该根是增根，原方程无解；若不为0，则是原方程的解。
针对(1)：分母3x-6可因式分解为3(x-2)，因此最简公分母是3(x-2)，去分母时注意常数项-1也要乘最简公分母，避免漏乘；针对(2)：分母x²-4可因式分解为(x+2)(x-2)，因此最简公分母是(x+2)(x-2)，去分母时注意分子是多项式的要加括号。
【解析】
(1) 原方程为 $\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{4x + 10}{3x - 6} - 1$
对分母因式分解得：$\frac{5x - 4}{x - 2} = \frac{4x + 10}{3(x - 2)} - 1$
去分母（两边同乘最简公分母$3(x-2)$），得 $3(5x-4)=4x+10-(3x-6)$
去括号，得 $15x - 12 = 4x + 10 - 3x + 6$
移项、合并同类项，得 $14x = 28$
系数化为1，得 $x=2$
检验：当$x=2$时，最简公分母$3(x-2)=0$，因此$x=2$是增根
所以原分式方程无解。
(2) 原方程为 $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4}$
对分母因式分解得：$\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{8}{(x+2)(x-2)}$
去分母（两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$），得 $(x-2)^2 - (x+2)^2 = 8$
展开并合并同类项：$(x²-4x+4)-(x²+4x+4)=8$，化简得 $-8x=8$
系数化为1，得 $x=-1$
检验：当$x=-1$时，最简公分母$x²-4=(-1)²-4=-3≠0$
所以原分式方程的解为$x=-1$。
【答案】
(1) 原方程无解；(2) $x=-1$
【知识点】
分式方程的解法，整式方程求解，增根检验
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题的易错点有两处：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是忘记检验根的有效性，增根需舍去，若所有根都是增根则原方程无解，解题时要养成验根的习惯。
【难度系数】
0.7
11. (南昌模拟)已知关于$x$的分式方程$\frac{m}{x+3} - \frac{1}{3-x} = \frac{m+4}{x^2 -9}$。
(1)若$m=-3$，解这个分式方程；
(2)若这个分式方程无解，求$m$的值。
(1)若$m=-3$，解这个分式方程；
(2)若这个分式方程无解，求$m$的值。
答案
11. 解:(1)$\frac{m}{x+3}-\frac{1}{3-x}=\frac{m+4}{x^2-9}$,
把m=-3代入分式方程,得$\frac{-3}{x+3}-\frac{1}{3-x}=\frac{-3+4}{x^2-9}$,
方程两边乘(x-3)(x+3),得-3(x-3)+(x+3)=1,
整理,得2x=11,
解得x=5.5.
检验:把x=5.5代入(x-3)(x+3)≠0,
所以x=5.5是原分式方程的解.
(2)$\frac{m}{x+3}-\frac{1}{3-x}=\frac{m+4}{x^2-9}$,
当(x+3)(x-3)=0时,x=±3.
方程两边都乘最简公分母(x-3)(x+3),得
m(x-3)+(x+3)=m+4.
整理,得(m+1)x=1+4m.
因为原分式方程无解,
所以①m+1=0,
解得m=-1;
②把x=±3代入m(x-3)+(x+3)=m+4,
当x=3时,3+3=m+4,
解得m=2;
当x=-3时,(-3-3)m=m+4,
解得$m=-\frac{4}{7}$.
综上所述,m的值是-1或2或$-\frac{4}{7}$.
把m=-3代入分式方程,得$\frac{-3}{x+3}-\frac{1}{3-x}=\frac{-3+4}{x^2-9}$,
方程两边乘(x-3)(x+3),得-3(x-3)+(x+3)=1,
整理,得2x=11,
解得x=5.5.
检验:把x=5.5代入(x-3)(x+3)≠0,
所以x=5.5是原分式方程的解.
(2)$\frac{m}{x+3}-\frac{1}{3-x}=\frac{m+4}{x^2-9}$,
当(x+3)(x-3)=0时,x=±3.
方程两边都乘最简公分母(x-3)(x+3),得
m(x-3)+(x+3)=m+4.
整理,得(m+1)x=1+4m.
因为原分式方程无解,
所以①m+1=0,
解得m=-1;
②把x=±3代入m(x-3)+(x+3)=m+4,
当x=3时,3+3=m+4,
解得m=2;
当x=-3时,(-3-3)m=m+4,
解得$m=-\frac{4}{7}$.
综上所述,m的值是-1或2或$-\frac{4}{7}$.
解析
【分析】
(1) 求解给定参数值的分式方程，首先将m=-3代入原方程，再遵循分式方程的常规解题思路：先确定最简公分母，通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得解是否使原分式分母不为0，确认是否为原方程的解。
(2) 分式方程无解需分两类情况讨论：①去分母后得到的整式方程本身无解，对于形如$ax=b$的一次方程，即$a=0$且$b≠0$的情况；②整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x值，本题中为$x=3$或$x=-3$），将增根代入整式方程即可求出对应的m值，最后汇总所有符合条件的m值即可。
【解析】
(1) 把$m=-3$代入原分式方程，得：
$\frac{-3}{x+3}-\frac{1}{3-x}=\frac{-3+4}{x^2-9}$
方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x+3)$，去分母得：
$-3(x-3)+(x+3)=1$
整理得：$-2x=-11$
解得：$x=5.5$
检验：把$x=5.5$代入$(x-3)(x+3)$，得$(5.5-3)(5.5+3)=21.25≠0$，所以$x=5.5$是原分式方程的解。
(2) 原分式方程的最简公分母为$(x-3)(x+3)$，令$(x-3)(x+3)=0$，得增根为$x=±3$。
方程两边同乘$(x-3)(x+3)$，去分母得：
$m(x-3)+(x+3)=m+4$
整理得：$(m+1)x=4m+1$
分情况讨论：
① 当整式方程无解时，一次项系数为0，即$m+1=0$，解得$m=-1$，此时右边$4×(-1)+1=-3≠0$，整式方程无解，符合要求；
② 当整式方程的解为增根时：
若$x=3$，代入$(m+1)x=4m+1$得$3(m+1)=4m+1$，解得$m=2$；
若$x=-3$，代入$(m+1)x=4m+1$得$-3(m+1)=4m+1$，解得$m=-\frac{4}{7}$。
综上，m的值为$-1$或$2$或$-\frac{4}{7}$。
【答案】
(1) $x=5.5$
(2) $m=-1$或$m=2$或$m=-\frac{4}{7}$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程无解的判定，增根的概念
【点评】
本题是分式方程的经典题型，既考查分式方程求解的规范步骤，也考查分类讨论思想的应用，解题时需注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，所有分式方程的解都必须经过检验。
【难度系数】
0.6
(1) 求解给定参数值的分式方程，首先将m=-3代入原方程，再遵循分式方程的常规解题思路：先确定最简公分母，通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得解是否使原分式分母不为0，确认是否为原方程的解。
(2) 分式方程无解需分两类情况讨论：①去分母后得到的整式方程本身无解，对于形如$ax=b$的一次方程，即$a=0$且$b≠0$的情况；②整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x值，本题中为$x=3$或$x=-3$），将增根代入整式方程即可求出对应的m值，最后汇总所有符合条件的m值即可。
【解析】
(1) 把$m=-3$代入原分式方程，得：
$\frac{-3}{x+3}-\frac{1}{3-x}=\frac{-3+4}{x^2-9}$
方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x+3)$，去分母得：
$-3(x-3)+(x+3)=1$
整理得：$-2x=-11$
解得：$x=5.5$
检验：把$x=5.5$代入$(x-3)(x+3)$，得$(5.5-3)(5.5+3)=21.25≠0$，所以$x=5.5$是原分式方程的解。
(2) 原分式方程的最简公分母为$(x-3)(x+3)$，令$(x-3)(x+3)=0$，得增根为$x=±3$。
方程两边同乘$(x-3)(x+3)$，去分母得：
$m(x-3)+(x+3)=m+4$
整理得：$(m+1)x=4m+1$
分情况讨论：
① 当整式方程无解时，一次项系数为0，即$m+1=0$，解得$m=-1$，此时右边$4×(-1)+1=-3≠0$，整式方程无解，符合要求；
② 当整式方程的解为增根时：
若$x=3$，代入$(m+1)x=4m+1$得$3(m+1)=4m+1$，解得$m=2$；
若$x=-3$，代入$(m+1)x=4m+1$得$-3(m+1)=4m+1$，解得$m=-\frac{4}{7}$。
综上，m的值为$-1$或$2$或$-\frac{4}{7}$。
【答案】
(1) $x=5.5$
(2) $m=-1$或$m=2$或$m=-\frac{4}{7}$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程无解的判定，增根的概念
【点评】
本题是分式方程的经典题型，既考查分式方程求解的规范步骤，也考查分类讨论思想的应用，解题时需注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，所有分式方程的解都必须经过检验。
【难度系数】
0.6
12.某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5 t货物，且大货车运输75 t货物所用车辆数与小货车运输50 t货物所用车辆数相同.设大货车每辆运输x t，则所列方程正确的是（
A.$\frac{75}{x - 5} = \frac{50}{x}$
B.$\frac{75}{x} = \frac{50}{x - 5}$
C.$\frac{75}{x + 5} = \frac{50}{x}$
D.$\frac{75}{x} = \frac{50}{x + 5}$
B
）A.$\frac{75}{x - 5} = \frac{50}{x}$
B.$\frac{75}{x} = \frac{50}{x - 5}$
C.$\frac{75}{x + 5} = \frac{50}{x}$
D.$\frac{75}{x} = \frac{50}{x + 5}$
答案
12. B
解析
【分析】
本题是分式方程的实际应用问题，解题时先根据大货车和小货车的运输量关系表示出小货车每辆的运输量，再抓住“大货车运输75t货物所用车辆数与小货车运输50t货物所用车辆数相同”这一核心等量关系，分别用代数式表示出两种货车运输对应货物所需的车辆数，令二者相等即可列出方程。
【解析】
解：已知设大货车每辆运输$x$ t货物，
∵大货车比小货车每辆多运输5 t货物，
∴小货车每辆运输$(x-5)$ t货物。
根据“运输车辆数=总货物质量÷每辆车运输质量”可得：
大货车运输75 t货物所需车辆数为$\frac{75}{x}$辆，
小货车运输50 t货物所需车辆数为$\frac{50}{x-5}$辆。
由题意可知两种运输方式所用车辆数相同，因此列方程得：
$\frac{75}{x} = \frac{50}{x-5}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用、列代数式、等量关系确定
【点评】
本题属于基础类应用题，核心考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题时只要准确梳理不同量之间的数量关系，代入对应公式即可正确列出方程。
【难度系数】
0.8
本题是分式方程的实际应用问题，解题时先根据大货车和小货车的运输量关系表示出小货车每辆的运输量，再抓住“大货车运输75t货物所用车辆数与小货车运输50t货物所用车辆数相同”这一核心等量关系，分别用代数式表示出两种货车运输对应货物所需的车辆数，令二者相等即可列出方程。
【解析】
解：已知设大货车每辆运输$x$ t货物，
∵大货车比小货车每辆多运输5 t货物，
∴小货车每辆运输$(x-5)$ t货物。
根据“运输车辆数=总货物质量÷每辆车运输质量”可得：
大货车运输75 t货物所需车辆数为$\frac{75}{x}$辆，
小货车运输50 t货物所需车辆数为$\frac{50}{x-5}$辆。
由题意可知两种运输方式所用车辆数相同，因此列方程得：
$\frac{75}{x} = \frac{50}{x-5}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用、列代数式、等量关系确定
【点评】
本题属于基础类应用题，核心考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题时只要准确梳理不同量之间的数量关系，代入对应公式即可正确列出方程。
【难度系数】
0.8
13.(应用意识)八年级组准备在文具店购买A,B两种文具作为奖品.已知A文具的单价比B文具的单价贵8元,且用720元购买A文具的数量与用480元购买B文具的数量相同.
(1)求A,B两种文具的单价；
(2)若年级组需要购买A,B两种文具共100件,且购买这两种文具的总费用不超过2080元,则年级组至少购买B种文具多少件？
(1)求A,B两种文具的单价；
(2)若年级组需要购买A,B两种文具共100件,且购买这两种文具的总费用不超过2080元,则年级组至少购买B种文具多少件？
答案
13. 解:(1)设A文具的单价为x元,则B文具的单价为(x-8)元,
根据题意,得$\frac{720}{x}=\frac{480}{x-8}$,
解得x=24,
经检验,x=24是原分式方程的解,且符合题意,
则x-8=24-8=16.
答:A文具的单价为24元,B文具的单价为16元.
(2)设年级组购买B种文具m件,则购买A种文具(100-m)件,
根据题意,得24(100-m)+16m≤2080,
解得m≥40.
答:年级组至少购买B种文具40件.
根据题意,得$\frac{720}{x}=\frac{480}{x-8}$,
解得x=24,
经检验,x=24是原分式方程的解,且符合题意,
则x-8=24-8=16.
答:A文具的单价为24元,B文具的单价为16元.
(2)设年级组购买B种文具m件,则购买A种文具(100-m)件,
根据题意,得24(100-m)+16m≤2080,
解得m≥40.
答:年级组至少购买B种文具40件.
解析
【分析】
(1) 求解A、B两种文具的单价，首先提取题干等量关系：①A文具单价比B文具贵8元；②720元购买A文具的数量和480元购买B文具的数量相等。我们可以设A文具单价为x元，对应表示出B文具的单价，再结合“数量=总价÷单价”分别表示两种文具的购买数量，根据等量关系②列分式方程求解，注意分式方程求出解后要检验是否符合原方程及实际意义。
(2) 求解至少购买B种文具的数量，提取题干不等关系：购买两种文具的总费用不超过2080元。设购买B种文具m件，对应表示出A种文具的购买数量，结合单价计算总费用，列一元一次不等式求解，取符合要求的最小解即可。
【解析】
(1) 设A文具的单价为x元，则B文具的单价为(x-8)元，
根据题意，得$\frac{720}{x}=\frac{480}{x-8}$，
解得x=24，
经检验，x=24是原分式方程的解，且符合题意，
则x-8=24-8=16。
答：A文具的单价为24元，B文具的单价为16元。
(2) 设年级组购买B种文具m件，则购买A种文具(100-m)件，
根据题意，得24(100-m)+16m≤2080，
解得m≥40。
答：年级组至少购买B种文具40件。
【答案】
(1)A文具单价为24元，B文具单价为16元；(2)至少购买B种文具40件。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是常见的实际应用类题目，重点考察从题干提取等量关系、不等关系的能力，解题时要注意分式方程必须验根，不等式的解要符合实际问题的取值要求。
【难度系数】
0.7
(1) 求解A、B两种文具的单价，首先提取题干等量关系：①A文具单价比B文具贵8元；②720元购买A文具的数量和480元购买B文具的数量相等。我们可以设A文具单价为x元，对应表示出B文具的单价，再结合“数量=总价÷单价”分别表示两种文具的购买数量，根据等量关系②列分式方程求解，注意分式方程求出解后要检验是否符合原方程及实际意义。
(2) 求解至少购买B种文具的数量，提取题干不等关系：购买两种文具的总费用不超过2080元。设购买B种文具m件，对应表示出A种文具的购买数量，结合单价计算总费用，列一元一次不等式求解，取符合要求的最小解即可。
【解析】
(1) 设A文具的单价为x元，则B文具的单价为(x-8)元，
根据题意，得$\frac{720}{x}=\frac{480}{x-8}$，
解得x=24，
经检验，x=24是原分式方程的解，且符合题意，
则x-8=24-8=16。
答：A文具的单价为24元，B文具的单价为16元。
(2) 设年级组购买B种文具m件，则购买A种文具(100-m)件，
根据题意，得24(100-m)+16m≤2080，
解得m≥40。
答：年级组至少购买B种文具40件。
【答案】
(1)A文具单价为24元，B文具单价为16元；(2)至少购买B种文具40件。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是常见的实际应用类题目，重点考察从题干提取等量关系、不等关系的能力，解题时要注意分式方程必须验根，不等式的解要符合实际问题的取值要求。
【难度系数】
0.7
