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1. 二次函数的表达式的求法
(1)二次函数$y=ax^2+bx+c$通过配方可化成$y=a(x-h)^2+k$，图象的顶点坐标是
(2)已知二次函数图象上三个点的坐标(也就是函数的三组对应值)，将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数$a,b,c$的
2. 不共线的三点确定一个二次函数
数学上可以证明：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上.若给定
(1)二次函数$y=ax^2+bx+c$通过配方可化成$y=a(x-h)^2+k$，图象的顶点坐标是
$(h,k)$
.如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.(2)已知二次函数图象上三个点的坐标(也就是函数的三组对应值)，将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数$a,b,c$的
三元一次
方程组，求出$a,b,c$的值，就可以确定二次函数的表达式.2. 不共线的三点确定一个二次函数
数学上可以证明：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上.若给定
不共线
三点的坐标(且它们的横坐标两两不等)，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.答案
1. (1) $(h,k)$ (2) 三元一次 2. 不共线
解析
【分析】
本题考查二次函数表达式求法相关的基础概念，解题时需回忆对应知识点逐一作答：
1. 第1(1)问对应二次函数顶点式的性质，回忆配方法得到的顶点式与顶点坐标的对应关系即可填空；
2. 第1(2)问考查待定系数法列方程组的类型，三个点代入一般式后有3个未知数a、b、c，每个方程都是一次方程，对应可判断方程组的类型；
3. 第2问考查确定二次函数的前提条件，结合题干给出的“不共线的三点确定一个二次函数”的结论即可作答。
【解析】
1. (1) 对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其图象的顶点横坐标为$h$，纵坐标为$k$，因此顶点坐标是$(h,k)$；
(2) 将三个点的坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$后，可得到3个关于$a、b、c$的一次方程，共同组成三元一次方程组，解方程组即可求出$a、b、c$的值；
2. 根据二次函数的性质，只有给定不共线、且横坐标两两不等的三点，才能确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点。
【答案】
1. (1) $(h,k)$ (2) 三元一次 2. 不共线
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法，二次函数的确定
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查二次函数解析式求解相关的基础结论，是后续运用待定系数法求解二次函数表达式的必备知识，需熟练记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数表达式求法相关的基础概念，解题时需回忆对应知识点逐一作答：
1. 第1(1)问对应二次函数顶点式的性质，回忆配方法得到的顶点式与顶点坐标的对应关系即可填空；
2. 第1(2)问考查待定系数法列方程组的类型，三个点代入一般式后有3个未知数a、b、c，每个方程都是一次方程，对应可判断方程组的类型；
3. 第2问考查确定二次函数的前提条件，结合题干给出的“不共线的三点确定一个二次函数”的结论即可作答。
【解析】
1. (1) 对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其图象的顶点横坐标为$h$，纵坐标为$k$，因此顶点坐标是$(h,k)$；
(2) 将三个点的坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$后，可得到3个关于$a、b、c$的一次方程，共同组成三元一次方程组，解方程组即可求出$a、b、c$的值；
2. 根据二次函数的性质，只有给定不共线、且横坐标两两不等的三点，才能确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点。
【答案】
1. (1) $(h,k)$ (2) 三元一次 2. 不共线
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法，二次函数的确定
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查二次函数解析式求解相关的基础结论，是后续运用待定系数法求解二次函数表达式的必备知识，需熟练记忆。
【难度系数】
0.9
【例1】(2025石家庄期中)一个二次函数图象的顶点为$(1,-4)$，图象又过点$(2,-3)$，求二次函数的表达式。
答案
解:
∵顶点为$(1,-4)$，
∴设二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-4$，
把$(2,-3)$代入 $y=a(x-1)^2-4$，得$-3=a-4$，
解得 $a=1$，
$\therefore y=(x-1)^2-4$。
∵顶点为$(1,-4)$，
∴设二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-4$，
把$(2,-3)$代入 $y=a(x-1)^2-4$，得$-3=a-4$，
解得 $a=1$，
$\therefore y=(x-1)^2-4$。
解析
【分析】
本题要求二次函数的表达式，已知顶点坐标时优先选用顶点式求解可简化计算。首先回忆二次函数顶点式的结构：$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$是顶点坐标，我们可先代入已知顶点坐标得到仅含参数$a$的解析式，再将题中给出的另一个点的坐标代入解析式，解一元一次方程求出$a$的值，就能确定最终的二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数图象的顶点为$(1,-4)$，
∴设该二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-4(a≠0)$，
把点$(2,-3)$代入 $y=a(x-1)^2-4$，得：
$-3=a×(2-1)^2-4$，
即$-3=a-4$，
解得 $a=1$，
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=(x-1)^2-4$。
【答案】
$y=(x-1)^2-4$（或展开为$y=x^2-2x-3$）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可有效降低计算难度，提高解题正确率。
【难度系数】
0.8
本题要求二次函数的表达式，已知顶点坐标时优先选用顶点式求解可简化计算。首先回忆二次函数顶点式的结构：$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$是顶点坐标，我们可先代入已知顶点坐标得到仅含参数$a$的解析式，再将题中给出的另一个点的坐标代入解析式，解一元一次方程求出$a$的值，就能确定最终的二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数图象的顶点为$(1,-4)$，
∴设该二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2-4(a≠0)$，
把点$(2,-3)$代入 $y=a(x-1)^2-4$，得：
$-3=a×(2-1)^2-4$，
即$-3=a-4$，
解得 $a=1$，
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y=(x-1)^2-4$。
【答案】
$y=(x-1)^2-4$（或展开为$y=x^2-2x-3$）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可有效降低计算难度，提高解题正确率。
【难度系数】
0.8
【例2】已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中，$y$与$x$的部分对应值如下表：
求该二次函数的表达式。
求该二次函数的表达式。
答案
解:将$(0,-3)$代入 $y=ax^2+bx+c$ 得 $c=-3$，
$\therefore y=ax^2+bx-3$，
将点$(2,5),(-1,-4)$代入 $y=ax^2+bx-3$，
得$\begin{cases}4a+2b-3=5,\\a-b-3=-4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\end{cases}$
$\therefore y=x^2+2x-3$。
$\therefore y=ax^2+bx-3$，
将点$(2,5),(-1,-4)$代入 $y=ax^2+bx-3$，
得$\begin{cases}4a+2b-3=5,\\a-b-3=-4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\end{cases}$
$\therefore y=x^2+2x-3$。
解析
【分析】
要确定二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，需要求出$a、b、c$三个未知参数，因此需要代入三组$x、y$的对应值列方程求解。观察表格可知$x=0$时$y=-3$，代入后可直接求出$c$的值，能简化后续计算；再选取另外两组对应值代入，即可得到关于$a、b$的二元一次方程组，解方程组得到$a、b$的值后就能确定最终的函数表达式。
【解析】
解：将点$(0,-3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=-3$，
$\therefore$ 二次函数解析式可写为$y=ax^2+bx-3$，
将点$(2,5)$、$(-1,-4)$代入$y=ax^2+bx-3$，
得方程组：
$\begin{cases}4a+2b-3=5\\a-b-3=-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$
$\therefore$ 该二次函数的表达式为$y=x^2+2x-3$。
【答案】
$y=x^2+2x-3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数一般式
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题时优先选取横坐标为0的点代入，可快速求出常数项，降低计算量，熟练掌握待定系数法是解答此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，需要求出$a、b、c$三个未知参数，因此需要代入三组$x、y$的对应值列方程求解。观察表格可知$x=0$时$y=-3$，代入后可直接求出$c$的值，能简化后续计算；再选取另外两组对应值代入，即可得到关于$a、b$的二元一次方程组，解方程组得到$a、b$的值后就能确定最终的函数表达式。
【解析】
解：将点$(0,-3)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=-3$，
$\therefore$ 二次函数解析式可写为$y=ax^2+bx-3$，
将点$(2,5)$、$(-1,-4)$代入$y=ax^2+bx-3$，
得方程组：
$\begin{cases}4a+2b-3=5\\a-b-3=-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$
$\therefore$ 该二次函数的表达式为$y=x^2+2x-3$。
【答案】
$y=x^2+2x-3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数一般式
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题时优先选取横坐标为0的点代入，可快速求出常数项，降低计算量，熟练掌握待定系数法是解答此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
【例3】已知三个点的坐标，是否存在一个二次函数，它的图象经过这三个点？
(1)$A(1,1),B(2,5),C(-2,-11)$；
(2)$A(1,1),B(2,5),C(-2,13)$。
(1)$A(1,1),B(2,5),C(-2,-11)$；
(2)$A(1,1),B(2,5),C(-2,13)$。
答案
解:(1)设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，
则$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=-11,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=0,\\b=4,\\c=-3,\end{cases}$
∴不存在二次函数经过此三点。
(2)设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，
则$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=13,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\b=-2,\\c=1,\end{cases}$
∴该二次函数的表达式为 $y=2x^2-2x+1$。
∴存在一个二次函数经过这三个点。
则$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=-11,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=0,\\b=4,\\c=-3,\end{cases}$
∴不存在二次函数经过此三点。
(2)设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，
则$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=13,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\b=-2,\\c=1,\end{cases}$
∴该二次函数的表达式为 $y=2x^2-2x+1$。
∴存在一个二次函数经过这三个点。
解析
【分析】
要判断是否存在二次函数经过三个已知点，我们可以利用待定系数法求解：先设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组，解方程组后观察$a$的取值：若$a≠0$，则存在符合条件的二次函数；若$a=0$，说明三点在一次函数图象上，不存在符合条件的二次函数，按这个思路分别求解两小问即可。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，
将$A(1,1),B(2,5),C(-2,-11)$分别代入表达式得：
$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=-11,\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}a=0,\\b=4,\\c=-3,\end{cases}$
二次函数要求二次项系数$a≠0$，因此不存在二次函数经过此三点。
(2) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，
将$A(1,1),B(2,5),C(-2,13)$分别代入表达式得：
$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=13,\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}a=2,\\b=-2,\\c=1,\end{cases}$
$a=2≠0$，符合二次函数的要求，因此该二次函数的表达式为 $y=2x^2-2x+1$，存在符合条件的二次函数。
【答案】
(1) 不存在经过$A,B,C$三点的二次函数；(2) 存在，二次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x^2-2x+1}$
【知识点】
二次函数的定义；待定系数法求解析式；三元一次方程组的解法
【点评】
本题核心考查二次函数的存在性判断，解题关键是牢记二次函数二次项系数不为0的隐含条件，计算三元一次方程组时注意消元方法的选择，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断是否存在二次函数经过三个已知点，我们可以利用待定系数法求解：先设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组，解方程组后观察$a$的取值：若$a≠0$，则存在符合条件的二次函数；若$a=0$，说明三点在一次函数图象上，不存在符合条件的二次函数，按这个思路分别求解两小问即可。
【解析】
(1) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，
将$A(1,1),B(2,5),C(-2,-11)$分别代入表达式得：
$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=-11,\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}a=0,\\b=4,\\c=-3,\end{cases}$
二次函数要求二次项系数$a≠0$，因此不存在二次函数经过此三点。
(2) 设二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$，
将$A(1,1),B(2,5),C(-2,13)$分别代入表达式得：
$\begin{cases}a+b+c=1,\\4a+2b+c=5,\\4a-2b+c=13,\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases}a=2,\\b=-2,\\c=1,\end{cases}$
$a=2≠0$，符合二次函数的要求，因此该二次函数的表达式为 $y=2x^2-2x+1$，存在符合条件的二次函数。
【答案】
(1) 不存在经过$A,B,C$三点的二次函数；(2) 存在，二次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x^2-2x+1}$
【知识点】
二次函数的定义；待定系数法求解析式；三元一次方程组的解法
【点评】
本题核心考查二次函数的存在性判断，解题关键是牢记二次函数二次项系数不为0的隐含条件，计算三元一次方程组时注意消元方法的选择，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
1.若抛物线$y=x^2 -2x +c$经过点$(1,-3)$，则c的值为 （
A.－1
B.2
C.－3
D.－2
D
）A.－1
B.2
C.－3
D.－2
答案
1. D
解析
【分析】
已知抛物线经过给定的点，根据二次函数图象上任意一点的坐标都满足该抛物线的解析式这一性质，我们只需要把点的横、纵坐标代入抛物线解析式，就能得到关于参数c的一元一次方程，求解方程即可算出c的值。
【解析】
∵抛物线$y=x^2 -2x +c$经过点$(1,-3)$
∴将$x=1$，$y=-3$代入抛物线解析式，得：
$\quad -3 = 1^2 - 2×1 + c$
化简等号右侧：$1-2+c=-1+c$
即：$-3 = -1 + c$
移项计算得：$c = -3 + 1 = -2$
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，重点考查二次函数图象上的点与解析式的对应关系，掌握代入法求未知参数即可快速解题。
【难度系数】
0.9
已知抛物线经过给定的点，根据二次函数图象上任意一点的坐标都满足该抛物线的解析式这一性质，我们只需要把点的横、纵坐标代入抛物线解析式，就能得到关于参数c的一元一次方程，求解方程即可算出c的值。
【解析】
∵抛物线$y=x^2 -2x +c$经过点$(1,-3)$
∴将$x=1$，$y=-3$代入抛物线解析式，得：
$\quad -3 = 1^2 - 2×1 + c$
化简等号右侧：$1-2+c=-1+c$
即：$-3 = -1 + c$
移项计算得：$c = -3 + 1 = -2$
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，重点考查二次函数图象上的点与解析式的对应关系，掌握代入法求未知参数即可快速解题。
【难度系数】
0.9
