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11.如图,用若干根相同的小棒摆正六边形,其中正六边形的每条边需要一根小棒。
(1)摆1个正六边形需要
(2)照这样摆下去:
①摆$n$个正六边形需要几根小棒?当$n=200$时,需要几根小棒?
②181根小棒可以摆多少个正六边形?
(1)摆1个正六边形需要
6
根小棒,摆2个正六边形需要11
根小棒,摆3个正六边形需要16
根小棒。(2)照这样摆下去:
①摆$n$个正六边形需要几根小棒?当$n=200$时,需要几根小棒?
②181根小棒可以摆多少个正六边形?
答案
11. 解:(1)6 11 16
(2)①摆 $n$ 个正六边形需要 $(5n+1)$ 根小棒;当 $n=200$ 时,需要 $5×200+1=1001$(根)小棒。
②当 $5n+1=181$ 时,$n=(181-1)÷5=36$,即可以摆 36 个正六边形。
(2)①摆 $n$ 个正六边形需要 $(5n+1)$ 根小棒;当 $n=200$ 时,需要 $5×200+1=1001$(根)小棒。
②当 $5n+1=181$ 时,$n=(181-1)÷5=36$,即可以摆 36 个正六边形。
解析
【分析】
解题时我们从简单情况逐步推导：(1)先直接数单个正六边形的小棒数，再观察拼接正六边形时的共用边规律：每多拼接1个正六边形，就会和前一个正六边形共用1条边，因此总小棒数仅比前一种情况多5根，依次数出2个、3个正六边形的小棒数即可。(2)①根据前3组数据的规律，归纳出n个正六边形对应的小棒数的代数式，再将n=200代入代数式计算即可得到结果；②已知小棒总数量，令所得代数式等于181，解关于n的一元一次方程即可求出正六边形的个数。
【解析】
(1)1个正六边形有6条边，需要6根小棒；
摆2个正六边形时，共用1条边，总小棒数为$6+5=11$根；
摆3个正六边形时，再共用1条边，总小棒数为$11+5=16$根。
(2)①观察可得规律：摆1个时$6=5×1+1$，摆2个时$11=5×2+1$，摆3个时$16=5×3+1$，因此摆$n$个正六边形需要$(5n+1)$根小棒。
当$n=200$时，代入得$5×200+1=1001$根。
②令$5n+1=181$，
移项计算：$5n=181-1=180$，
解得$n=180÷5=36$。
【答案】
(1)6；11；16
(2)①摆$n$个正六边形需要$(5n+1)$根小棒，当$n=200$时，需要1001根小棒；②181根小棒可以摆36个正六边形。
【知识点】
图形规律探究；代数式求值；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题关键是找到图形拼接时小棒数量的递增规律，掌握从特殊到一般的归纳方法，能灵活运用代数式表示规律并结合方程解决实际问题。
【难度系数】
0.7
解题时我们从简单情况逐步推导：(1)先直接数单个正六边形的小棒数，再观察拼接正六边形时的共用边规律：每多拼接1个正六边形，就会和前一个正六边形共用1条边，因此总小棒数仅比前一种情况多5根，依次数出2个、3个正六边形的小棒数即可。(2)①根据前3组数据的规律，归纳出n个正六边形对应的小棒数的代数式，再将n=200代入代数式计算即可得到结果；②已知小棒总数量，令所得代数式等于181，解关于n的一元一次方程即可求出正六边形的个数。
【解析】
(1)1个正六边形有6条边，需要6根小棒；
摆2个正六边形时，共用1条边，总小棒数为$6+5=11$根；
摆3个正六边形时，再共用1条边，总小棒数为$11+5=16$根。
(2)①观察可得规律：摆1个时$6=5×1+1$，摆2个时$11=5×2+1$，摆3个时$16=5×3+1$，因此摆$n$个正六边形需要$(5n+1)$根小棒。
当$n=200$时，代入得$5×200+1=1001$根。
②令$5n+1=181$，
移项计算：$5n=181-1=180$，
解得$n=180÷5=36$。
【答案】
(1)6；11；16
(2)①摆$n$个正六边形需要$(5n+1)$根小棒，当$n=200$时，需要1001根小棒；②181根小棒可以摆36个正六边形。
【知识点】
图形规律探究；代数式求值；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题关键是找到图形拼接时小棒数量的递增规律，掌握从特殊到一般的归纳方法，能灵活运用代数式表示规律并结合方程解决实际问题。
【难度系数】
0.7
12.用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设长方形地面,请观察下图,并探究和解决下列问题:
(1)第n个图形中,每一行有
(2)在铺设第n个图形时,共用多少块瓷砖?
(3)如果每块黑瓷砖4元,每块白瓷砖3元,铺设第10个图形时,共需多少钱购买瓷砖?
(1)第n个图形中,每一行有
$n+3$
块瓷砖,每一列有$n+2$
块瓷砖。(2)在铺设第n个图形时,共用多少块瓷砖?
(3)如果每块黑瓷砖4元,每块白瓷砖3元,铺设第10个图形时,共需多少钱购买瓷砖?
答案
12. 解:(1)$n+3$ $n+2$
(2)$(n+3)(n+2)$块
(3)白瓷砖需 $n(n+1)$块,当 $n=10$ 时,白瓷砖需 $10×11=110$(块),黑瓷砖需 $13×12-110=156-110=46$(块)。共需 $110×3+46×4=514$(元)购买瓷砖。
(2)$(n+3)(n+2)$块
(3)白瓷砖需 $n(n+1)$块,当 $n=10$ 时,白瓷砖需 $10×11=110$(块),黑瓷砖需 $13×12-110=156-110=46$(块)。共需 $110×3+46×4=514$(元)购买瓷砖。
解析
【分析】
解决这类图形规律题，需从给出的特殊图形入手，先统计对应量的数值，再推导数值和n的通用规律：
1. 解决第(1)问：分别统计n=1、n=2、n=3时每行、每列的瓷砖数，观察数值与n的关系即可推导出通用表达式。
2. 解决第(2)问：总瓷砖数=每行瓷砖数×每列瓷砖数，代入第(1)问的结论即可得到总块数的代数式。
3. 解决第(3)问：先观察白瓷砖的排列规律，推导白瓷砖块数的代数式，黑瓷砖块数=总瓷砖数-白瓷砖数，再代入n=10分别计算两种瓷砖的费用，求和即可得到总花费。
【解析】
(1) 观察已知图形：
n=1时，每行有4=1+3块瓷砖，每列有3=1+2块瓷砖；
n=2时，每行有5=2+3块瓷砖，每列有4=2+2块瓷砖；
n=3时，每行有6=3+3块瓷砖，每列有5=3+2块瓷砖；
因此第n个图形中，每一行有$n+3$块瓷砖，每一列有$n+2$块瓷砖。
(2) 总瓷砖数=每行块数×每列块数，因此铺设第n个图形时，共用瓷砖：
$(n+3)(n+2)$块。
(3) 观察白瓷砖数量规律：
n=1时，白瓷砖有$1×2=2$块；
n=2时，白瓷砖有$2×3=6$块；
n=3时，白瓷砖有$3×4=12$块；
因此第n个图形中白瓷砖有$n(n+1)$块。
当n=10时：
总瓷砖数为$(10+3)×(10+2)=156$块，
白瓷砖数为$10×(10+1)=110$块，
黑瓷砖数为$156-110=46$块。
总费用为：$110×3 + 46×4=330+184=514$元。
【答案】
(1) $n+3$，$n+2$
(2) 共用$(n+3)(n+2)$块瓷砖
(3) 共需514元购买瓷砖
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，需要通过观察特殊图形的数量特征归纳通用表达式，再结合实际需求代入计算，既考查观察归纳能力，也考查代数式的运算能力，是规律类问题的常考题型。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，需从给出的特殊图形入手，先统计对应量的数值，再推导数值和n的通用规律：
1. 解决第(1)问：分别统计n=1、n=2、n=3时每行、每列的瓷砖数，观察数值与n的关系即可推导出通用表达式。
2. 解决第(2)问：总瓷砖数=每行瓷砖数×每列瓷砖数，代入第(1)问的结论即可得到总块数的代数式。
3. 解决第(3)问：先观察白瓷砖的排列规律，推导白瓷砖块数的代数式，黑瓷砖块数=总瓷砖数-白瓷砖数，再代入n=10分别计算两种瓷砖的费用，求和即可得到总花费。
【解析】
(1) 观察已知图形：
n=1时，每行有4=1+3块瓷砖，每列有3=1+2块瓷砖；
n=2时，每行有5=2+3块瓷砖，每列有4=2+2块瓷砖；
n=3时，每行有6=3+3块瓷砖，每列有5=3+2块瓷砖；
因此第n个图形中，每一行有$n+3$块瓷砖，每一列有$n+2$块瓷砖。
(2) 总瓷砖数=每行块数×每列块数，因此铺设第n个图形时，共用瓷砖：
$(n+3)(n+2)$块。
(3) 观察白瓷砖数量规律：
n=1时，白瓷砖有$1×2=2$块；
n=2时，白瓷砖有$2×3=6$块；
n=3时，白瓷砖有$3×4=12$块；
因此第n个图形中白瓷砖有$n(n+1)$块。
当n=10时：
总瓷砖数为$(10+3)×(10+2)=156$块，
白瓷砖数为$10×(10+1)=110$块，
黑瓷砖数为$156-110=46$块。
总费用为：$110×3 + 46×4=330+184=514$元。
【答案】
(1) $n+3$，$n+2$
(2) 共用$(n+3)(n+2)$块瓷砖
(3) 共需514元购买瓷砖
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，需要通过观察特殊图形的数量特征归纳通用表达式，再结合实际需求代入计算，既考查观察归纳能力，也考查代数式的运算能力，是规律类问题的常考题型。
【难度系数】
0.7
