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【例1】计算：
(1)$\frac{a+b}{ab} - \frac{a-b}{ab}$； (2)$\frac{3x}{x^2 - y^2} - \frac{x - 2y}{x^2 - y^2}$.
解：
【规律方法】
同分母分式相加减的三个“提醒”
(1)当分母相同时，可直接按照法则进行计算.
(2)如果分子是一个多项式，那么在分子相加减时，应该把分子作为一个整体放在括号内.
(3)结果要化成最简分式或整式.
(1)$\frac{a+b}{ab} - \frac{a-b}{ab}$； (2)$\frac{3x}{x^2 - y^2} - \frac{x - 2y}{x^2 - y^2}$.
解：
【规律方法】
同分母分式相加减的三个“提醒”
(1)当分母相同时，可直接按照法则进行计算.
(2)如果分子是一个多项式，那么在分子相加减时，应该把分子作为一个整体放在括号内.
(3)结果要化成最简分式或整式.
答案
(1) $\frac{2}{a}$.
(2) $\frac{2}{x-y}$.
(2) $\frac{2}{x-y}$.
变式训练
1.化简：$\frac{x^2}{x+1}+\frac{x}{x+1}=$ （
A.1
B.0
C.$x$
D.$x^2$
2.若$\frac{5}{2y+2}=A-\frac{2y-3}{2y+2}$，则A是 （
A.$-3$
B.$1$
C.$3$
D.$-2$
1.化简：$\frac{x^2}{x+1}+\frac{x}{x+1}=$ （
C
）A.1
B.0
C.$x$
D.$x^2$
2.若$\frac{5}{2y+2}=A-\frac{2y-3}{2y+2}$，则A是 （
B
）A.$-3$
B.$1$
C.$3$
D.$-2$
答案
1. C
2. B
2. B
【例2】计算：
(1)$\frac{1}{2m^2n} - \frac{2}{3mn^2}$； (2)$\frac{2x+5}{4x^2-9} + \frac{3}{3-2x}$.
解：
【规律方法】
异分母分式相加减的一般步骤
(1)通分:将异分母的分式转化成同分母的分式；
(2)加减:分母不变,分子相加减；
(3)合并:分子去括号、合并同类项；
(4)约分:分子、分母约分,将结果化成最简分式或整式。
(1)$\frac{1}{2m^2n} - \frac{2}{3mn^2}$； (2)$\frac{2x+5}{4x^2-9} + \frac{3}{3-2x}$.
解：
【规律方法】
异分母分式相加减的一般步骤
(1)通分:将异分母的分式转化成同分母的分式；
(2)加减:分母不变,分子相加减；
(3)合并:分子去括号、合并同类项；
(4)约分:分子、分母约分,将结果化成最简分式或整式。
答案
解：
(1) 两个分式的最简公分母为$6m^2n^2$
$\begin{aligned}\frac{1}{2m^2n} - \frac{2}{3mn^2} &= \frac{3n}{6m^2n^2} - \frac{4m}{6m^2n^2} \\&= \frac{3n - 4m}{6m^2n^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解分母：$4x^2-9=(2x+3)(2x-3)$，两个分式的最简公分母为$(2x+3)(2x-3)$
$\begin{aligned}\frac{2x+5}{4x^2-9} + \frac{3}{3-2x} &= \frac{2x+5}{(2x+3)(2x-3)} - \frac{3}{2x-3} \\&= \frac{2x+5}{(2x+3)(2x-3)} - \frac{3(2x+3)}{(2x+3)(2x-3)} \\&= \frac{2x+5 - 6x - 9}{(2x+3)(2x-3)} \\&= \frac{-4x - 4}{4x^2 - 9} \\&= -\frac{4x+4}{4x^2-9}\end{aligned}$
(1) 两个分式的最简公分母为$6m^2n^2$
$\begin{aligned}\frac{1}{2m^2n} - \frac{2}{3mn^2} &= \frac{3n}{6m^2n^2} - \frac{4m}{6m^2n^2} \\&= \frac{3n - 4m}{6m^2n^2}\end{aligned}$
(2) 先因式分解分母：$4x^2-9=(2x+3)(2x-3)$，两个分式的最简公分母为$(2x+3)(2x-3)$
$\begin{aligned}\frac{2x+5}{4x^2-9} + \frac{3}{3-2x} &= \frac{2x+5}{(2x+3)(2x-3)} - \frac{3}{2x-3} \\&= \frac{2x+5}{(2x+3)(2x-3)} - \frac{3(2x+3)}{(2x+3)(2x-3)} \\&= \frac{2x+5 - 6x - 9}{(2x+3)(2x-3)} \\&= \frac{-4x - 4}{4x^2 - 9} \\&= -\frac{4x+4}{4x^2-9}\end{aligned}$
变式训练
3.已知$A=\dfrac{2}{a^2 -1}$，$B=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{1-a}$，其中$a≠±1$，则A与B的关系是 （）
A.相等
B.互为倒数
C.互为相反数
D.A大于B
3.已知$A=\dfrac{2}{a^2 -1}$，$B=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{1-a}$，其中$a≠±1$，则A与B的关系是 （）
A.相等
B.互为倒数
C.互为相反数
D.A大于B
答案
C
解析
先对B进行通分化简：
$B=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{1-a}=\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{a-1}$
通分，公分母为$(a+1)(a-1)=a^2-1$：
$B=\dfrac{(a-1)-(a+1)}{a^2-1}=\dfrac{a-1-a-1}{a^2-1}=\dfrac{-2}{a^2-1}$
已知$A=\dfrac{2}{a^2-1}$，可得$A=-B$，即A与B互为相反数。
$B=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{1-a}=\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{a-1}$
通分，公分母为$(a+1)(a-1)=a^2-1$：
$B=\dfrac{(a-1)-(a+1)}{a^2-1}=\dfrac{a-1-a-1}{a^2-1}=\dfrac{-2}{a^2-1}$
已知$A=\dfrac{2}{a^2-1}$，可得$A=-B$，即A与B互为相反数。
4.计算：$\frac{5y}{2x+2y} - \frac{2xy}{x^2+xy} =$ 。
答案
解：
原式$=\frac{5y}{2(x+y)} - \frac{2xy}{x(x+y)}$
$=\frac{5y}{2(x+y)} - \frac{2y}{x+y}$
$=\frac{5y}{2(x+y)} - \frac{4y}{2(x+y)}$
$=\frac{5y-4y}{2(x+y)}$
$=\frac{y}{2(x+y)}$
$=\frac{y}{2x+2y}$
原式$=\frac{5y}{2(x+y)} - \frac{2xy}{x(x+y)}$
$=\frac{5y}{2(x+y)} - \frac{2y}{x+y}$
$=\frac{5y}{2(x+y)} - \frac{4y}{2(x+y)}$
$=\frac{5y-4y}{2(x+y)}$
$=\frac{y}{2(x+y)}$
$=\frac{y}{2x+2y}$
【例3】计算：
(1)$\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$；
(2)$\frac{a^2 -4a +4}{a-1} ÷ (a -1 - \frac{3}{a-1})$.
解：
(1)$\frac{a}{a+1} · \frac{a^2 -1}{a^2} + \frac{1}{a}$；
(2)$\frac{a^2 -4a +4}{a-1} ÷ (a -1 - \frac{3}{a-1})$.
解：
答案
解：
(1) 原式$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a-1}{a} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a-1+1}{a}$
$=\frac{a}{a}$
$=1$
(2) 先计算括号内的运算：
$a+1 - \frac{3}{a-1} = \frac{(a+1)(a-1)}{a-1} - \frac{3}{a-1}$
$=\frac{a^2 - 1 - 3}{a-1}$
$=\frac{a^2 - 4}{a-1}$
$=\frac{(a+2)(a-2)}{a-1}$
因此原式$=\frac{a^2-4a+4}{a-1} ÷ \frac{(a+2)(a-2)}{a-1}$
$=\frac{(a-2)^2}{a-1} · \frac{a-1}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{a+2}$
(1) 原式$=\frac{a}{a+1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a^2} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a-1}{a} + \frac{1}{a}$
$=\frac{a-1+1}{a}$
$=\frac{a}{a}$
$=1$
(2) 先计算括号内的运算：
$a+1 - \frac{3}{a-1} = \frac{(a+1)(a-1)}{a-1} - \frac{3}{a-1}$
$=\frac{a^2 - 1 - 3}{a-1}$
$=\frac{a^2 - 4}{a-1}$
$=\frac{(a+2)(a-2)}{a-1}$
因此原式$=\frac{a^2-4a+4}{a-1} ÷ \frac{(a+2)(a-2)}{a-1}$
$=\frac{(a-2)^2}{a-1} · \frac{a-1}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{a+2}$
