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1. 计算$\frac{y}{x} ÷ \frac{y}{2} · \frac{2}{y}$的结果是(
A.$\frac{4}{xy}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$\frac{y}{x}$
D.$2y$
A
).A.$\frac{4}{xy}$
B.$\frac{1}{2}x$
C.$\frac{y}{x}$
D.$2y$
答案
1. A
解析
【分析】
分式的乘除属于同级运算，运算顺序为从左到右依次计算。解题时首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再按照分式乘法的计算规则，能约分的先约分，最后将分子、分母分别相乘得到化简结果即可。要注意不能随意改变运算顺序，避免计算错误。
【解析】
解：根据分式乘除混合运算的运算顺序，先将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{y}{x} × \frac{2}{y} × \frac{2}{y} \\&= \frac{\cancel{y}}{x} × \frac{2}{\cancel{y}} × \frac{2}{y} \quad \mathrm{（约去公因式y）}\\&= \frac{2}{x} × \frac{2}{y} \\&= \frac{4}{xy}\end{aligned}$
因此计算结果为$\frac{4}{xy}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式乘除混合运算
2. 分式的约分
【点评】
本题主要考查分式乘除混合运算的掌握情况，解题的关键是牢记运算顺序，先把除法统一为乘法后再按从左到右的顺序计算，约分过程要找准公因式，避免因运算顺序错误或约分失误丢分。
【难度系数】
0.7
分式的乘除属于同级运算，运算顺序为从左到右依次计算。解题时首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再按照分式乘法的计算规则，能约分的先约分，最后将分子、分母分别相乘得到化简结果即可。要注意不能随意改变运算顺序，避免计算错误。
【解析】
解：根据分式乘除混合运算的运算顺序，先将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{y}{x} × \frac{2}{y} × \frac{2}{y} \\&= \frac{\cancel{y}}{x} × \frac{2}{\cancel{y}} × \frac{2}{y} \quad \mathrm{（约去公因式y）}\\&= \frac{2}{x} × \frac{2}{y} \\&= \frac{4}{xy}\end{aligned}$
因此计算结果为$\frac{4}{xy}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式乘除混合运算
2. 分式的约分
【点评】
本题主要考查分式乘除混合运算的掌握情况，解题的关键是牢记运算顺序，先把除法统一为乘法后再按从左到右的顺序计算，约分过程要找准公因式，避免因运算顺序错误或约分失误丢分。
【难度系数】
0.7
2. 计算$(\dfrac{2a}{b})^3$的结果是(
A
).答案
2. A
解析
【分析】
解题时需先回忆分式乘方的相关运算法则，明确分式乘方要将分子、分母分别乘方。首先将原式$(\dfrac{2a}{b})^3$的分子$2a$和分母$b$分别做三次方运算，再对分子部分的$(2a)^3$使用积的乘方法则计算：积的乘方需要把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，算出分子结果后即可得到最终化简值，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据分式乘方的运算法则可得：
$(\dfrac{2a}{b})^3=\dfrac{(2a)^3}{b^3}$
再根据积的乘方法则计算分子：
$(2a)^3=2^3· a^3=8a^3$
因此原式化简结果为$\dfrac{8a^3}{b^3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘方运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握分式乘方和积的乘方的运算规则，运算时要注意不要遗漏系数的乘方，同时避免出现分母不进行乘方运算的低级错误。
【难度系数】
0.85
解题时需先回忆分式乘方的相关运算法则，明确分式乘方要将分子、分母分别乘方。首先将原式$(\dfrac{2a}{b})^3$的分子$2a$和分母$b$分别做三次方运算，再对分子部分的$(2a)^3$使用积的乘方法则计算：积的乘方需要把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，算出分子结果后即可得到最终化简值，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据分式乘方的运算法则可得：
$(\dfrac{2a}{b})^3=\dfrac{(2a)^3}{b^3}$
再根据积的乘方法则计算分子：
$(2a)^3=2^3· a^3=8a^3$
因此原式化简结果为$\dfrac{8a^3}{b^3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘方运算、积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握分式乘方和积的乘方的运算规则，运算时要注意不要遗漏系数的乘方，同时避免出现分母不进行乘方运算的低级错误。
【难度系数】
0.85
3.若$(-\dfrac{x^2}{my})^4=\dfrac{x^8}{16y^4}$，则$m=$
$\pm2$
答案
3. $\pm2$
解析
【分析】
本题可通过分式乘方运算求解，解题思路如下：首先回忆分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，再结合负数的偶次幂为正的性质，将等式左边的式子展开；接着对比等式左右两边的式子，发现分子和含y的部分完全相同，因此可得到关于m的等式；最后求解该等式，注意偶次幂的底数互为相反数时运算结果相等，避免漏解。
【解析】
根据分式乘方的运算法则计算等式左侧：
$(-\dfrac{x^2}{my})^4 = \dfrac{(x^2)^4}{(my)^4} = \dfrac{x^{2×4}}{m^4 y^4} = \dfrac{x^8}{m^4 y^4}$
结合已知等式$\dfrac{x^8}{m^4 y^4} = \dfrac{x^8}{16y^4}$，可得：
$m^4 = 16$
因为$(\pm2)^4 = 16$，所以$m = \pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
分式乘方运算，幂的乘方运算，偶次幂的性质
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查分式乘方的运算规则，易错点为忽略偶次幂的负根，仅求解出m=2，解题时要注意结合偶次幂的特性全面考虑解的情况。
【难度系数】
0.7
本题可通过分式乘方运算求解，解题思路如下：首先回忆分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，再结合负数的偶次幂为正的性质，将等式左边的式子展开；接着对比等式左右两边的式子，发现分子和含y的部分完全相同，因此可得到关于m的等式；最后求解该等式，注意偶次幂的底数互为相反数时运算结果相等，避免漏解。
【解析】
根据分式乘方的运算法则计算等式左侧：
$(-\dfrac{x^2}{my})^4 = \dfrac{(x^2)^4}{(my)^4} = \dfrac{x^{2×4}}{m^4 y^4} = \dfrac{x^8}{m^4 y^4}$
结合已知等式$\dfrac{x^8}{m^4 y^4} = \dfrac{x^8}{16y^4}$，可得：
$m^4 = 16$
因为$(\pm2)^4 = 16$，所以$m = \pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
分式乘方运算，幂的乘方运算，偶次幂的性质
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查分式乘方的运算规则，易错点为忽略偶次幂的负根，仅求解出m=2，解题时要注意结合偶次幂的特性全面考虑解的情况。
【难度系数】
0.7
4. 计算:
(1)$(-\dfrac{x^2}{y})^2 · (-\dfrac{y^2}{x})^3 · (-\dfrac{1}{x})^4$;
(2)$4x^2y ÷ (\dfrac{2x}{-y})^2$;
(3)$(\dfrac{b^2}{ac})^3 ÷ (-b^6c)$;
(4)
(1)$(-\dfrac{x^2}{y})^2 · (-\dfrac{y^2}{x})^3 · (-\dfrac{1}{x})^4$;
(2)$4x^2y ÷ (\dfrac{2x}{-y})^2$;
(3)$(\dfrac{b^2}{ac})^3 ÷ (-b^6c)$;
(4)
答案
4. 解 (1)原式$=\dfrac{x^4}{y^2} · (-\dfrac{y^6}{x^3}) · \dfrac{1}{x^4} = -\dfrac{y^4}{x^3}$.
(2)原式$=4x^2y · \dfrac{y^2}{4x^2} = y^3$.
(3)原式$=\dfrac{b^6}{a^3c^3} · \dfrac{1}{-b^6c} = -\dfrac{1}{a^3c^4}$.
(4)原式$=\dfrac{-(a+4)(a-4)}{(a+4)^2} · \dfrac{2(a+4)}{a-4} · \dfrac{a-2}{a+2} = -\dfrac{2a-4}{a+2}$.
(2)原式$=4x^2y · \dfrac{y^2}{4x^2} = y^3$.
(3)原式$=\dfrac{b^6}{a^3c^3} · \dfrac{1}{-b^6c} = -\dfrac{1}{a^3c^4}$.
(4)原式$=\dfrac{-(a+4)(a-4)}{(a+4)^2} · \dfrac{2(a+4)}{a-4} · \dfrac{a-2}{a+2} = -\dfrac{2a-4}{a+2}$.
解析
【分析】
本题考查分式的乘方、乘除混合运算，解题思路如下：1. 明确运算顺序：先计算乘方运算，再将除法运算统一转化为乘法运算，同级运算从左到右依次计算；2. 处理分子分母：若分子分母是多项式，先利用平方差、完全平方公式或提公因式法因式分解；3. 约分计算：约掉分子分母的公因式，注意符号的处理，最终结果化为最简分式。
【解析】
(1) 先分别计算乘方，再进行乘法运算：
原式$=\dfrac{x^4}{y^2} · (-\dfrac{y^6}{x^3}) · \dfrac{1}{x^4}$
约去分子分母的公因式$x^3$、$y^2$后计算得：
$=-\dfrac{y^4}{x^3}$
(2) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算：
原式$=4x^2y ÷ \dfrac{4x^2}{y^2}=4x^2y · \dfrac{y^2}{4x^2}$
约去公因式$4x^2$后计算得：
$=y^3$
(3) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算：
原式$=\dfrac{b^6}{a^3c^3} · \dfrac{1}{-b^6c}$
约去公因式$b^6$，合并$c$的幂次后得：
$=-\dfrac{1}{a^3c^4}$
(4) 先对分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分：
先因式分解：$16-a^2=-(a+4)(a-4)$，$a^2+8a+16=(a+4)^2$，$2a+8=2(a+4)$
原式$=\dfrac{-(a+4)(a-4)}{(a+4)^2} · \dfrac{2(a+4)}{a-4} · \dfrac{a-2}{a+2}$
约去公因式$(a+4)$、$(a-4)$后计算得：
$=-\dfrac{2a-4}{a+2}$
【答案】
(1)$-\dfrac{y^4}{x^3}$；(2)$y^3$；(3)$-\dfrac{1}{a^3c^4}$；(4)$-\dfrac{2a-4}{a+2}$
【知识点】
分式的乘方运算，分式的乘除混合运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考察运算法则的掌握和运算细节的处理，运算顺序、符号判断、因式分解是否准确是解题的关键，日常练习中要注意养成先定符号再计算、及时约分的习惯。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的乘方、乘除混合运算，解题思路如下：1. 明确运算顺序：先计算乘方运算，再将除法运算统一转化为乘法运算，同级运算从左到右依次计算；2. 处理分子分母：若分子分母是多项式，先利用平方差、完全平方公式或提公因式法因式分解；3. 约分计算：约掉分子分母的公因式，注意符号的处理，最终结果化为最简分式。
【解析】
(1) 先分别计算乘方，再进行乘法运算：
原式$=\dfrac{x^4}{y^2} · (-\dfrac{y^6}{x^3}) · \dfrac{1}{x^4}$
约去分子分母的公因式$x^3$、$y^2$后计算得：
$=-\dfrac{y^4}{x^3}$
(2) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算：
原式$=4x^2y ÷ \dfrac{4x^2}{y^2}=4x^2y · \dfrac{y^2}{4x^2}$
约去公因式$4x^2$后计算得：
$=y^3$
(3) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算：
原式$=\dfrac{b^6}{a^3c^3} · \dfrac{1}{-b^6c}$
约去公因式$b^6$，合并$c$的幂次后得：
$=-\dfrac{1}{a^3c^4}$
(4) 先对分子分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分：
先因式分解：$16-a^2=-(a+4)(a-4)$，$a^2+8a+16=(a+4)^2$，$2a+8=2(a+4)$
原式$=\dfrac{-(a+4)(a-4)}{(a+4)^2} · \dfrac{2(a+4)}{a-4} · \dfrac{a-2}{a+2}$
约去公因式$(a+4)$、$(a-4)$后计算得：
$=-\dfrac{2a-4}{a+2}$
【答案】
(1)$-\dfrac{y^4}{x^3}$；(2)$y^3$；(3)$-\dfrac{1}{a^3c^4}$；(4)$-\dfrac{2a-4}{a+2}$
【知识点】
分式的乘方运算，分式的乘除混合运算，因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考察运算法则的掌握和运算细节的处理，运算顺序、符号判断、因式分解是否准确是解题的关键，日常练习中要注意养成先定符号再计算、及时约分的习惯。
【难度系数】
0.7
5. 先化简,再求值:$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x+1}{x-1} · \frac{1-x}{1+x}$,其中$x=\frac{1}{2}$.
答案
5. 解 $\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} ÷ \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{1-x}{1+x}$
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{x+1} · \dfrac{-(x-1)}{x+1}$
$=\dfrac{1-x}{x+1}$.
当$x=\dfrac{1}{2}$时,原式$=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{1}{3}$.
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{x+1} · \dfrac{-(x-1)}{x+1}$
$=\dfrac{1-x}{x+1}$.
当$x=\dfrac{1}{2}$时,原式$=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
解决这道分式化简求值题，可按以下思路思考：1. 运算转换：分式的乘除混合运算要先统一为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；2. 因式分解：对每个分式的分子、分母分别因式分解，其中$x^2-1$符合平方差公式，$x^2-2x+1$符合完全平方公式，同时注意把$1-x$变形为$-(x-1)$，方便后续约分；3. 约分化简：约去分子分母的所有公因式，得到最简分式；4. 代入求值：将给定的$x$的值代入最简分式，计算出最终结果。
【解析】
解：$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} ÷ \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{1-x}{1+x}$
先将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{x+1} · \dfrac{-(x-1)}{x+1}$
约去分子分母的公因式，化简得：
$=\dfrac{1-x}{x+1}$
当$x=\dfrac{1}{2}$时，代入最简式计算：
原式$=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考察分式乘除混合运算的运算规则和因式分解的应用，运算过程中要注意符号的处理，先统一为乘法运算再约分可降低出错率，是巩固分式运算基础的典型题。
【难度系数】
0.7
解决这道分式化简求值题，可按以下思路思考：1. 运算转换：分式的乘除混合运算要先统一为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；2. 因式分解：对每个分式的分子、分母分别因式分解，其中$x^2-1$符合平方差公式，$x^2-2x+1$符合完全平方公式，同时注意把$1-x$变形为$-(x-1)$，方便后续约分；3. 约分化简：约去分子分母的所有公因式，得到最简分式；4. 代入求值：将给定的$x$的值代入最简分式，计算出最终结果。
【解析】
解：$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} ÷ \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{1-x}{1+x}$
先将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{x+1} · \dfrac{-(x-1)}{x+1}$
约去分子分母的公因式，化简得：
$=\dfrac{1-x}{x+1}$
当$x=\dfrac{1}{2}$时，代入最简式计算：
原式$=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考察分式乘除混合运算的运算规则和因式分解的应用，运算过程中要注意符号的处理，先统一为乘法运算再约分可降低出错率，是巩固分式运算基础的典型题。
【难度系数】
0.7
6. 计算：
(1) $(\dfrac{x-4}{x-1})^2 ÷ \dfrac{x^2 -8x +16}{x-1} · \dfrac{x^2 -1}{x+2}$；
(2) $(\dfrac{a-b}{ab})^2 · (\dfrac{-a}{b-a})^3 ÷ \dfrac{1}{a^2 -b^2}$。
(1) $(\dfrac{x-4}{x-1})^2 ÷ \dfrac{x^2 -8x +16}{x-1} · \dfrac{x^2 -1}{x+2}$；
(2) $(\dfrac{a-b}{ab})^2 · (\dfrac{-a}{b-a})^3 ÷ \dfrac{1}{a^2 -b^2}$。
答案
6. 解 (1)原式$=\dfrac{(x-4)^2}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{(x-4)^2} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+2} =\dfrac{x+1}{x+2}$.
(2)原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{(b-a)^3} · (a+b)(a-b) =\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$.
(2)原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{(b-a)^3} · (a+b)(a-b) =\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$.
解析
【分析】
这是分式乘方与乘除混合运算题，解题按以下思路推进：①先算乘方，依据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方；②将除法转化为乘法：除以一个分式等于乘该分式的倒数，统一为乘法运算；③对分子、分母中的多项式因式分解，用到完全平方公式、平方差公式，还要注意互为相反数的因式变形（如$b-a=-(a-b)$）；④约去分子分母的公因式，化为最简分式，全程注意符号的正确性。
【解析】
(1) 先计算乘方，将除法转化为乘法，再对多项式因式分解后约分：
原式$=\dfrac{(x-4)^2}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{x^2 -8x +16} · \dfrac{x^2 -1}{x+2}$
$=\dfrac{(x-4)^2}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{(x-4)^2} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+2}$
约去公因式$(x-4)^2$、$(x-1)^2$，得：
$=\dfrac{x+1}{x+2}$
(2) 先计算乘方，处理符号，将除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{(-a)^3}{(b-a)^3} · (a^2 -b^2)$
将$(b-a)^3$变形为$-(a-b)^3$，$a^2-b^2$分解为$(a+b)(a-b)$，得：
$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{-(a-b)^3} · (a+b)(a-b)$
先处理符号（负负得正），再约去公因式$a^2$、$(a-b)^3$，得：
$=\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
【答案】
(1) $\dfrac{x+1}{x+2}$；(2) $\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除混合运算、因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心要求是遵循运算顺序，准确对多项式因式分解，重点注意互为相反数的因式的幂次符号处理，避免符号错误，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
这是分式乘方与乘除混合运算题，解题按以下思路推进：①先算乘方，依据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方；②将除法转化为乘法：除以一个分式等于乘该分式的倒数，统一为乘法运算；③对分子、分母中的多项式因式分解，用到完全平方公式、平方差公式，还要注意互为相反数的因式变形（如$b-a=-(a-b)$）；④约去分子分母的公因式，化为最简分式，全程注意符号的正确性。
【解析】
(1) 先计算乘方，将除法转化为乘法，再对多项式因式分解后约分：
原式$=\dfrac{(x-4)^2}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{x^2 -8x +16} · \dfrac{x^2 -1}{x+2}$
$=\dfrac{(x-4)^2}{(x-1)^2} · \dfrac{x-1}{(x-4)^2} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+2}$
约去公因式$(x-4)^2$、$(x-1)^2$，得：
$=\dfrac{x+1}{x+2}$
(2) 先计算乘方，处理符号，将除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{(-a)^3}{(b-a)^3} · (a^2 -b^2)$
将$(b-a)^3$变形为$-(a-b)^3$，$a^2-b^2$分解为$(a+b)(a-b)$，得：
$=\dfrac{(a-b)^2}{a^2b^2} · \dfrac{-a^3}{-(a-b)^3} · (a+b)(a-b)$
先处理符号（负负得正），再约去公因式$a^2$、$(a-b)^3$，得：
$=\dfrac{a(a+b)}{b^2}=\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
【答案】
(1) $\dfrac{x+1}{x+2}$；(2) $\dfrac{a^2+ab}{b^2}$
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除混合运算、因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心要求是遵循运算顺序，准确对多项式因式分解，重点注意互为相反数的因式的幂次符号处理，避免符号错误，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
7.如图,将4张长、宽分别为$a,b$的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形.已知拼成的大正方形面积为49,中间的小正方形的面积为1.求$(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$的值.
答案
7. 解 由题意,得$(a+b)^2=49,(a-b)^2=1,a＞0,b＞0,a＞b$,
$\therefore (a+b)^2-(a-b)^2=48,a+b=7$,
$\therefore a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=48$,
$\therefore ab=12$,
$\therefore$ 原式$=(a^2+b^2)(a+b)(a-b) · \dfrac{ab}{a^2+b^2} · \dfrac{1}{6(a-b)}=\dfrac{ab(a+b)}{6}=\dfrac{12×7}{6}=14$.
$\therefore (a+b)^2-(a-b)^2=48,a+b=7$,
$\therefore a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=48$,
$\therefore ab=12$,
$\therefore$ 原式$=(a^2+b^2)(a+b)(a-b) · \dfrac{ab}{a^2+b^2} · \dfrac{1}{6(a-b)}=\dfrac{ab(a+b)}{6}=\dfrac{12×7}{6}=14$.
解析
【分析】
解题时首先结合图形与已知面积条件推导相关等式：大正方形边长为$a+b$，因此面积为$(a+b)^2=49$；中间小正方形边长为$a-b$，因此面积为$(a-b)^2=1$。接下来先通过这两个等式求出计算所需的$a+b$、$ab$的值，再对所求的分式运算式化简：先利用因式分解拆分$a^4-b^4$，再将分式除法转化为乘法，约分后得到最简形式，最后代入前面求出的数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，大正方形边长为$a+b$，小正方形边长为$a-b$，且$a＞0,b＞0,a＞b$，
$\begin{cases}(a+b)^2=49 \\(a-b)^2=1\end{cases}$
因此$a+b=7$，
将两个等式相减得：$(a+b)^2-(a-b)^2=49-1=48$，
展开得：$a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=48$，
化简得：$4ab=48$，解得$ab=12$。
再化简所求式子：
$\begin{aligned}&(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)\\=&(a^2+b^2)(a^2-b^2) × \frac{ab}{a^2+b^2} × \frac{1}{6(a-b)}\\=&(a+b)(a-b) × ab × \frac{1}{6(a-b)}\\=&\frac{ab(a+b)}{6}\end{aligned}$
将$a+b=7$，$ab=12$代入得：
原式$=\frac{12 × 7}{6}=14$
【答案】
$14$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题将几何图形的面积问题与代数的分式运算、因式分解相结合，需要学生先从图形中提取边长与面积的对应关系，再通过代数运算化简求值，兼顾考查了几何直观和代数运算能力，是综合性较强的基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形与已知面积条件推导相关等式：大正方形边长为$a+b$，因此面积为$(a+b)^2=49$；中间小正方形边长为$a-b$，因此面积为$(a-b)^2=1$。接下来先通过这两个等式求出计算所需的$a+b$、$ab$的值，再对所求的分式运算式化简：先利用因式分解拆分$a^4-b^4$，再将分式除法转化为乘法，约分后得到最简形式，最后代入前面求出的数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，大正方形边长为$a+b$，小正方形边长为$a-b$，且$a＞0,b＞0,a＞b$，
$\begin{cases}(a+b)^2=49 \\(a-b)^2=1\end{cases}$
因此$a+b=7$，
将两个等式相减得：$(a+b)^2-(a-b)^2=49-1=48$，
展开得：$a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=48$，
化简得：$4ab=48$，解得$ab=12$。
再化简所求式子：
$\begin{aligned}&(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)\\=&(a^2+b^2)(a^2-b^2) × \frac{ab}{a^2+b^2} × \frac{1}{6(a-b)}\\=&(a+b)(a-b) × ab × \frac{1}{6(a-b)}\\=&\frac{ab(a+b)}{6}\end{aligned}$
将$a+b=7$，$ab=12$代入得：
原式$=\frac{12 × 7}{6}=14$
【答案】
$14$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题将几何图形的面积问题与代数的分式运算、因式分解相结合，需要学生先从图形中提取边长与面积的对应关系，再通过代数运算化简求值，兼顾考查了几何直观和代数运算能力，是综合性较强的基础题。
【难度系数】
0.7
