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9.已知△ABC的两条边长分别为3和5，则第三条边长x的取值范围是
2＜x＜8
。答案
9. 2＜x＜8
解析
【分析】
解题时需依据三角形三边的关系判断第三边的取值范围：要构成三角形，第三边的长度必须大于已知两边的差，同时小于已知两边的和。本题已知两条边长为3和5，只需计算出两边的差与和，即可推导得出第三边x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
由此可得：
$x ＜ 3 + 5$，即$x ＜ 8$
$x ＞ 5 - 3$，即$x ＞ 2$
联立两个不等式，可得x的取值范围是$2 ＜ x ＜ 8$。
【答案】
2＜x＜8
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，考查三角形三边关系的直接应用，牢记三边关系的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时需依据三角形三边的关系判断第三边的取值范围：要构成三角形，第三边的长度必须大于已知两边的差，同时小于已知两边的和。本题已知两条边长为3和5，只需计算出两边的差与和，即可推导得出第三边x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
由此可得：
$x ＜ 3 + 5$，即$x ＜ 8$
$x ＞ 5 - 3$，即$x ＞ 2$
联立两个不等式，可得x的取值范围是$2 ＜ x ＜ 8$。
【答案】
2＜x＜8
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，考查三角形三边关系的直接应用，牢记三边关系的判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
10.如图，在△ABC中，AB=9，AC=7，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为
（第10题图）
（第11题图）
（第12题图）
2
。（第10题图）
（第11题图）
（第12题图）
答案
10. 2
解析
【分析】
要计算△ABD与△ACD的周长之差，首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此由AD是中线可推出BD=CD。接下来分别写出两个三角形的周长表达式，观察可知AD是两个三角形的公共边，且BD=CD，因此两个周长的差实际就是AB与AC的长度差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD = CD。
△ABD的周长 = AB + BD + AD，
△ACD的周长 = AC + CD + AD，
则两个三角形的周长差为：
$\begin{split}&\phantom{=}(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD)\\&= AB + BD + AD - AC - CD - AD\\&= AB - AC\end{split}$
代入AB=9，AC=7，得：
$9 - 7 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用三角形中线的性质得到相等的边，通过抵消两个周长中的公共部分简化计算，无需额外求解未知边长，降低了解题难度。
【难度系数】
0.85
要计算△ABD与△ACD的周长之差，首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此由AD是中线可推出BD=CD。接下来分别写出两个三角形的周长表达式，观察可知AD是两个三角形的公共边，且BD=CD，因此两个周长的差实际就是AB与AC的长度差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD = CD。
△ABD的周长 = AB + BD + AD，
△ACD的周长 = AC + CD + AD，
则两个三角形的周长差为：
$\begin{split}&\phantom{=}(AB + BD + AD) - (AC + CD + AD)\\&= AB + BD + AD - AC - CD - AD\\&= AB - AC\end{split}$
代入AB=9，AC=7，得：
$9 - 7 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是利用三角形中线的性质得到相等的边，通过抵消两个周长中的公共部分简化计算，无需额外求解未知边长，降低了解题难度。
【难度系数】
0.85
11.如图，巡逻艇C在军舰A的北偏东$62°$的方向上，且在军舰B的北偏东$13°$的方向上，军舰B位于军舰A的正东方向，则$∠ ACB$的度数为
49°
。答案
11. 49°
解析
【分析】
解题时首先明确方向角的定义：所有正北方向线互相平行，且正北方向与正东、正西方向均垂直。我们可以先求出△ABC中∠CAB和∠ABC的度数，再利用三角形内角和为180°的性质，即可算出∠ACB的度数。第一步先求∠CAB：军舰B在A的正东方向，A的正北与AB的夹角为90°，减去北偏东的62°就能得到∠CAB；第二步求∠ABC：B的正北与朝向A的正西方向夹角为90°，C在B的北偏东13°，因此∠ABC为90°加13°；最后用内角和减去两个已知角即可。
【解析】
∵ 军舰B位于军舰A的正东方向，A点正北方向与正东方向垂直
∴ ∠CAB = 90° - 62° = 28°
∵ B点正北方向与正西（即BA方向）垂直，巡逻艇C在B的北偏东13°方向
∴ ∠ABC = 90° + 13° = 103°
∵ 三角形内角和为180°
∴ ∠ACB = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 180° - 28° - 103° = 49°
【答案】
49°
【知识点】
方向角的识别，三角形内角和定理，垂直的定义
【点评】
本题是方向角与三角形角度计算结合的基础题型，解题的核心是准确理解方向角的含义，正确定位三角形内角与已知方向角的关系，熟练运用三角形内角和定理计算未知角度。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确方向角的定义：所有正北方向线互相平行，且正北方向与正东、正西方向均垂直。我们可以先求出△ABC中∠CAB和∠ABC的度数，再利用三角形内角和为180°的性质，即可算出∠ACB的度数。第一步先求∠CAB：军舰B在A的正东方向，A的正北与AB的夹角为90°，减去北偏东的62°就能得到∠CAB；第二步求∠ABC：B的正北与朝向A的正西方向夹角为90°，C在B的北偏东13°，因此∠ABC为90°加13°；最后用内角和减去两个已知角即可。
【解析】
∵ 军舰B位于军舰A的正东方向，A点正北方向与正东方向垂直
∴ ∠CAB = 90° - 62° = 28°
∵ B点正北方向与正西（即BA方向）垂直，巡逻艇C在B的北偏东13°方向
∴ ∠ABC = 90° + 13° = 103°
∵ 三角形内角和为180°
∴ ∠ACB = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 180° - 28° - 103° = 49°
【答案】
49°
【知识点】
方向角的识别，三角形内角和定理，垂直的定义
【点评】
本题是方向角与三角形角度计算结合的基础题型，解题的核心是准确理解方向角的含义，正确定位三角形内角与已知方向角的关系，熟练运用三角形内角和定理计算未知角度。
【难度系数】
0.7
12.如图,在进行以“入射光线和反射光线的夹角与两块镜子夹角的关系”为主题的项目式学习中,创新小组将两块平面镜AB,BC竖直放置在桌面上,并使它们镜面间的夹角为∠α(0°＜∠α＜90°),在同一平面内,用一束激光射到平面镜AB上,分别经过平面镜AB,BC两次反射后,入射光线m与反射光线n形成的夹角为∠β,根据光的反射定律可知∠1=∠2,∠3=∠4,则用含∠α的代数式表示∠β的度数为
180°−2∠α
.答案
12. 180°−2∠α
解析
【分析】
解题时先结合已知的∠1=∠2、∠3=∠4的条件，先观察两块镜面夹角∠α所在的三角形，利用三角形内角和定理得到∠2与∠3的和与∠α的数量关系；再观察入射光线m、反射光线n与两次反射光线围成的三角形，同样利用三角形内角和定理建立∠β与∠2、∠3的关系式，最后将前面得到的∠2+∠3的表达式代入，通过化简即可得到∠β用∠α表示的结果。
【解析】
首先，在∠α所在的三角形中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ 2 + ∠ 3 + ∠ α = 180°$，即$∠ 2 + ∠ 3 = 180° - ∠ α$。
根据平角的定义，结合$∠ 1=∠ 2$，可得入射光线m与第一次反射光线的夹角为：$180° - ∠1 - ∠2 = 180° - 2∠2$；
同理，结合$∠3=∠4$，可得第二次反射光线与出射光线n的夹角为：$180° - ∠3 - ∠4 = 180° - 2∠3$。
上述两个角与$∠ β$是同一个三角形的三个内角，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ β + (180° - 2∠2) + (180° - 2∠3) = 180°$
整理式子：
$∠ β = 2∠2 + 2∠3 - 180° = 2(∠2 + ∠3) - 180°$
将$∠ 2 + ∠ 3 = 180° - ∠ α$代入上式：
$∠ β = 2(180° - ∠ α) - 180° = 180° - 2∠ α$
【答案】
$180°-2∠α$
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算；等量代换
【点评】
本题结合物理光的反射规律考查几何中角的推导计算，属于跨学科综合题，解题的核心是找到不同三角形内角之间的关联，通过分步推导建立所求角和已知角的关系，能够有效考查学生的逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的∠1=∠2、∠3=∠4的条件，先观察两块镜面夹角∠α所在的三角形，利用三角形内角和定理得到∠2与∠3的和与∠α的数量关系；再观察入射光线m、反射光线n与两次反射光线围成的三角形，同样利用三角形内角和定理建立∠β与∠2、∠3的关系式，最后将前面得到的∠2+∠3的表达式代入，通过化简即可得到∠β用∠α表示的结果。
【解析】
首先，在∠α所在的三角形中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ 2 + ∠ 3 + ∠ α = 180°$，即$∠ 2 + ∠ 3 = 180° - ∠ α$。
根据平角的定义，结合$∠ 1=∠ 2$，可得入射光线m与第一次反射光线的夹角为：$180° - ∠1 - ∠2 = 180° - 2∠2$；
同理，结合$∠3=∠4$，可得第二次反射光线与出射光线n的夹角为：$180° - ∠3 - ∠4 = 180° - 2∠3$。
上述两个角与$∠ β$是同一个三角形的三个内角，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ β + (180° - 2∠2) + (180° - 2∠3) = 180°$
整理式子：
$∠ β = 2∠2 + 2∠3 - 180° = 2(∠2 + ∠3) - 180°$
将$∠ 2 + ∠ 3 = 180° - ∠ α$代入上式：
$∠ β = 2(180° - ∠ α) - 180° = 180° - 2∠ α$
【答案】
$180°-2∠α$
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算；等量代换
【点评】
本题结合物理光的反射规律考查几何中角的推导计算，属于跨学科综合题，解题的核心是找到不同三角形内角之间的关联，通过分步推导建立所求角和已知角的关系，能够有效考查学生的逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分10分)(1)三角形的三个内角的度数如图所示,求图中x的值；
(2)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且$a=2,b=5$.若第三边长$c$为奇数,判断$△ ABC$的形状.
13.(本小题满分10分)(1)三角形的三个内角的度数如图所示,求图中x的值；
(2)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且$a=2,b=5$.若第三边长$c$为奇数,判断$△ ABC$的形状.
答案
13. 解:(1)根据题意,得 $x+(x+5)+(3x+25)=180$,解得 $x=30$.
(2)由三角形的三边关系,得 $5−2＜c＜5+2$,即 $3＜c＜7$.
∵第三边长 $c$ 为奇数,
∴$c=5$.
∴$c=b$.
∴$△ABC$ 是等腰三角形.
(2)由三角形的三边关系,得 $5−2＜c＜5+2$,即 $3＜c＜7$.
∵第三边长 $c$ 为奇数,
∴$c=5$.
∴$c=b$.
∴$△ABC$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 求解x的核心依据是三角形内角和为180°的定理，只需将图中三个内角的度数表达式相加，令其等于180°，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
(2) 首先利用三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出第三边c的取值范围，再结合c为奇数的条件确定c的具体值，最后根据边长的等量关系判断三角形的形状。
【解析】
(1) 根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + (x+5) + (3x+25) = 180$
合并同类项得：$5x + 30 = 180$
移项计算得：$5x = 150$
解得：$x = 30$
(2) 根据三角形三边关系，第三边c满足：
$b - a ＜ c ＜ b + a$
代入$a=2$，$b=5$得：$5 - 2 ＜ c ＜ 5 + 2$，即$3 ＜ c ＜ 7$
∵c为奇数，
∴c可取的值为5
∴$c = b = 5$，即三角形有两条边长度相等
∴$△ ABC$是等腰三角形
【答案】
(1) $x=30$；(2) $△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
三角形内角和定理，三角形三边关系，等腰三角形判定
【点评】
本题属于基础常规题，重点考查三角形基础性质的应用，同时结合了一元一次方程、取值范围筛选的简单计算，解题时注意不要遗漏题干给出的限制条件即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
(1) 求解x的核心依据是三角形内角和为180°的定理，只需将图中三个内角的度数表达式相加，令其等于180°，得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
(2) 首先利用三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出第三边c的取值范围，再结合c为奇数的条件确定c的具体值，最后根据边长的等量关系判断三角形的形状。
【解析】
(1) 根据三角形内角和为180°，可列方程：
$x + (x+5) + (3x+25) = 180$
合并同类项得：$5x + 30 = 180$
移项计算得：$5x = 150$
解得：$x = 30$
(2) 根据三角形三边关系，第三边c满足：
$b - a ＜ c ＜ b + a$
代入$a=2$，$b=5$得：$5 - 2 ＜ c ＜ 5 + 2$，即$3 ＜ c ＜ 7$
∵c为奇数，
∴c可取的值为5
∴$c = b = 5$，即三角形有两条边长度相等
∴$△ ABC$是等腰三角形
【答案】
(1) $x=30$；(2) $△ ABC$是等腰三角形
【知识点】
三角形内角和定理，三角形三边关系，等腰三角形判定
【点评】
本题属于基础常规题，重点考查三角形基础性质的应用，同时结合了一元一次方程、取值范围筛选的简单计算，解题时注意不要遗漏题干给出的限制条件即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
