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【练2】如图,在△ABC中,AB= 10cm,BC= 7cm,AC= 6cm,沿过点B的直线折叠这个三角形,使顶点C落在边AB上的点E处,折痕为BD,则△AED的周长为(
A.9cm
B.13cm
C.16cm
D.10cm
9cm
)A.9cm
B.13cm
C.16cm
D.10cm
答案
练 2 A [解析] 由折叠的性质可知, $\triangle BDE \cong \triangle BDC$,
$\therefore DE = DC$, $BE = BC = 7\mathrm{cm}$.
$\because AB = 10\mathrm{cm}$, $\therefore AE = AB - BE = 10 - 7 = 3(\mathrm{cm})$.
$\because AD + DE = AD + DC = AC = 6\mathrm{cm}$,
预备新初二 数学 (SK 版)
$\therefore \triangle AED$ 的周长为 $AD + DE + AE = 6 + 3 = 9(\mathrm{cm})$.
$\therefore DE = DC$, $BE = BC = 7\mathrm{cm}$.
$\because AB = 10\mathrm{cm}$, $\therefore AE = AB - BE = 10 - 7 = 3(\mathrm{cm})$.
$\because AD + DE = AD + DC = AC = 6\mathrm{cm}$,
预备新初二 数学 (SK 版)
$\therefore \triangle AED$ 的周长为 $AD + DE + AE = 6 + 3 = 9(\mathrm{cm})$.
【例3】如图,把△ABC绕点C顺时针旋转35°,得到△A'B'C,A'B'交AC于点D。若∠A'DC= 90°,则∠A= ____
[解析]由题意,得∠ACA'= 35°,△ABC≌△A'B'C,∴∠A= ∠A'。
∵∠A'DC= 90°,∴∠A= ∠A'= 180°-∠A'DC-∠ACA'= 55°。
55
°。[解析]由题意,得∠ACA'= 35°,△ABC≌△A'B'C,∴∠A= ∠A'。
∵∠A'DC= 90°,∴∠A= ∠A'= 180°-∠A'DC-∠ACA'= 55°。
答案
【解析】：由旋转性质可知$\angle ACA' = 35^{\circ}$，$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C$，所以$\angle A=\angle A'$。在$\triangle A'DC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle A'DC = 90^{\circ}$，$\angle ACA' = 35^{\circ}$，则$\angle A=\angle A' = 180^{\circ}-\angle A'DC - \angle ACA' = 180^{\circ}-90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$。
【答案】：$55$
【答案】：$55$
【练3】如图,在△AOB和△COD中,OA= OB,OC= OD,∠AOB= ∠COD= 90°,当将△COD绕点O顺时针旋转时,线段AC与BD之间有怎样的数量关系？试猜想并证明你的结论。
猜想:
证明: ∵ ∠AOB = ∠COD = 90°, ∴ ∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC, 即 ∠AOC = ∠BOD.
在 △AOC 和 △BOD 中, $\left\{\begin{array}{l} OA = OB, \\ \angle AOC = \angle BOD, \\ OC = OD, \end{array}\right.$
∴ △AOC ≌ △BOD(SAS), ∴ AC = BD.
猜想:
AC = BD
.证明: ∵ ∠AOB = ∠COD = 90°, ∴ ∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC, 即 ∠AOC = ∠BOD.
在 △AOC 和 △BOD 中, $\left\{\begin{array}{l} OA = OB, \\ \angle AOC = \angle BOD, \\ OC = OD, \end{array}\right.$
∴ △AOC ≌ △BOD(SAS), ∴ AC = BD.
答案
练 3 解: 猜想: $AC = BD$.
证明: $\because \angle AOB = \angle COD = 90^{\circ}$, $\therefore \angle AOB + \angle BOC = \angle COD + \angle BOC$, 即 $\angle AOC = \angle BOD$.
在 $\triangle AOC$ 和 $\triangle BOD$ 中, $\left\{\begin{array}{l} OA = OB, \\ \angle AOC = \angle BOD, \\ OC = OD, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle AOC \cong \triangle BOD(SAS)$, $\therefore AC = BD$.
证明: $\because \angle AOB = \angle COD = 90^{\circ}$, $\therefore \angle AOB + \angle BOC = \angle COD + \angle BOC$, 即 $\angle AOC = \angle BOD$.
在 $\triangle AOC$ 和 $\triangle BOD$ 中, $\left\{\begin{array}{l} OA = OB, \\ \angle AOC = \angle BOD, \\ OC = OD, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle AOC \cong \triangle BOD(SAS)$, $\therefore AC = BD$.
1. 如图,$\triangle ABC沿边BC所在直线向右平移得到\triangle DEF$。有下列结论：①$\triangle ABC\cong\triangle DEF$；②$\angle DEF= \angle B$；③$AC= DF$；④$EC= CF$。其中一定正确的是(
A.①④
B.①②
C.①②③
D.①③
C
)A.①④
B.①②
C.①②③
D.①③
答案
C
2. 如图1,由$AB\perp BD$,$ED\perp BD$,$AB= CD$,$BC= DE可证得AC\perp CE$。若将$CD沿CB$方向平移得到图2、图3、图4、图5,其他条件不变,则在这四种情况下,$AC_1\perp C_2E$仍然成立的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D [解析]由题意,得$\triangle ABC\cong \triangle CDE$,
$\therefore ∠ACB=∠CED$.
$\because ∠CED+∠ECD=90^{\circ }$,
$\therefore ∠ACB+∠ECD=90^{\circ },\therefore ∠ACE=90^{\circ }$,即$AC⊥$CE.在图 2、图 3、图 4、图 5 中,同理可得,$∠AC_{1}B+∠EC_{2}D=90^{\circ },\therefore AC_{1}⊥C_{2}E$.
$\therefore ∠ACB=∠CED$.
$\because ∠CED+∠ECD=90^{\circ }$,
$\therefore ∠ACB+∠ECD=90^{\circ },\therefore ∠ACE=90^{\circ }$,即$AC⊥$CE.在图 2、图 3、图 4、图 5 中,同理可得,$∠AC_{1}B+∠EC_{2}D=90^{\circ },\therefore AC_{1}⊥C_{2}E$.
