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9. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B= 50^{\circ },∠C= 25^{\circ }$,设$AB= m,AC= n$,用含$m,n$的式子表示BC的长是 ()
A. $\frac{n^{2}-m^{2}}{m}$
B. $\frac{2n^{2}-m^{2}}{2m}$
C. $\frac{2n^{2}-m^{2}}{m}$
D. $\frac{2n^{2}-m^{2}}{3m}$
A. $\frac{n^{2}-m^{2}}{m}$
B. $\frac{2n^{2}-m^{2}}{2m}$
C. $\frac{2n^{2}-m^{2}}{m}$
D. $\frac{2n^{2}-m^{2}}{3m}$
答案
A 解析:如图,作AD⊥BC于点D,作点B关于AD的对称点E,连接AE。∵∠B=50°,∠C=25°,∴∠B=2∠C。∵点B关于AD的对称点是E,∴∠B=∠AEB=2∠C。∵∠AEB=∠C+∠CAE,∴∠C=∠CAE,∴AB=AE=CE=m。设DE=a,由勾股定理得，$n^{2}-(m + a)^{2}=m^{2}-a^{2}$，解得$a=\frac{n^{2}-2m^{2}}{2m}$，∴$BC=BD + DE + CE=\frac{n^{2}-m^{2}}{m}$。故选A。
10. (2024·安庆期末)在等腰$\triangle ABC$中,$AB= $$AC= 10,BD$是AC边上的高线,若$BD= 6$,则$\triangle BCD$的面积为____.
答案
6或54 解析:分两种情况，当等腰△ABC是锐角三角形时,如图①,在Rt△ABD中，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$，∴CD=AC - AD = 10 - 8 = 2，∴△BCD的面积为$\frac{1}{2}×CD×BD=\frac{1}{2}×2×6=6$；当等腰△ABC是钝角三角形时,如图②,在Rt△ABD中，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$，∴CD=AC + AD = 10 + 8 = 18，∴△BCD的面积为$\frac{1}{2}×CD×BD=\frac{1}{2}×18×6=54$。
11. (1)(安顺中考改编)如图①,在长方形纸片ABCD中,$AD= 4cm$,把纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点O,若$AO= $$5cm$,则AB的长为____.
(2)(济宁中考改编)如图②,在三角形纸片ABC中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= 2,AC= 3$.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在BC边上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE的长是____.
(2)(济宁中考改编)如图②,在三角形纸片ABC中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= 2,AC= 3$.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在BC边上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE的长是____.
答案
(1)8cm 解析:根据折叠前后对应角相等可知∠BAC = ∠EAC。∵四边形ABCD是长方形，∴AB//CD，∴∠BAC = ∠ACD，∴∠EAC = ∠ACD，∴AO = CO = 5cm。在Rt△ADO中，$DO^{2}=AO^{2}-AD^{2}$，∴DO = 3cm，∴AB = CD = DO + CO = 3 + 5 = 8(cm)。
(2)$\frac{13}{6}$ 解析:∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在BC边上的点D处，∴AD = AB = 2，∠B = ∠ADB。∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE = DE，∠C = ∠CDE。∵∠BAC = 90°，∴∠B + ∠C = 90°，∴∠ADB + ∠CDE = 90°，∴∠ADE = 90°，∴$AD^{2}+DE^{2}=AE^{2}$。设AE = x，则CE = DE = 3 - x，∴$2^{2}+(3 - x)^{2}=x^{2}$，解得$x=\frac{13}{6}$，即$AE=\frac{13}{6}$。
(2)$\frac{13}{6}$ 解析:∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在BC边上的点D处，∴AD = AB = 2，∠B = ∠ADB。∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE = DE，∠C = ∠CDE。∵∠BAC = 90°，∴∠B + ∠C = 90°，∴∠ADB + ∠CDE = 90°，∴∠ADE = 90°，∴$AD^{2}+DE^{2}=AE^{2}$。设AE = x，则CE = DE = 3 - x，∴$2^{2}+(3 - x)^{2}=x^{2}$，解得$x=\frac{13}{6}$，即$AE=\frac{13}{6}$。
12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB＞AC,AD$是BC边上的高,将$\triangle ADC$沿AD所在的直线翻折,使点C落在BC边上的点E处.
(1)若$AB= 20,AC= 13,CD= 5$,求$\triangle ABC$的面积;
(2)求证:$AB^{2}-AC^{2}= BE\cdot BC$.
(1)若$AB= 20,AC= 13,CD= 5$,求$\triangle ABC$的面积;
(2)求证:$AB^{2}-AC^{2}= BE\cdot BC$.
答案
(1)∵AD是BC边上的高，∴∠ADB = ∠ADC = 90°。在Rt△ADC中，∵AC = 13，CD = 5，∴$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=12^{2}$，∴AD = 12。在Rt△ADB中，∵AB = 20，AD = 12，∴$BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=16^{2}$，∴BD = 16，∴BC = BD + CD = 16 + 5 = 21，∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}×21×12=126$。
(2)∵△ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，∴AC = AE，DC = DE。在Rt△ADC中，由勾股定理，得$AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$，在Rt△ADB中，由勾股定理，得$BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}$，∴$AB^{2}-AC^{2}=AB^{2}-(AD^{2}+DC^{2})=AB^{2}-AD^{2}-DC^{2}=BD^{2}-DE^{2}=(BD - DE)(BD + DE)$。∵BE = BD - DE，BC = BD + DC = BD + DE，∴$AB^{2}-AC^{2}=BE\cdot BC$。
(2)∵△ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，∴AC = AE，DC = DE。在Rt△ADC中，由勾股定理，得$AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$，在Rt△ADB中，由勾股定理，得$BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}$，∴$AB^{2}-AC^{2}=AB^{2}-(AD^{2}+DC^{2})=AB^{2}-AD^{2}-DC^{2}=BD^{2}-DE^{2}=(BD - DE)(BD + DE)$。∵BE = BD - DE，BC = BD + DC = BD + DE，∴$AB^{2}-AC^{2}=BE\cdot BC$。
13. 新趋势 项目式学习 【项目主题】探究斜三角形的三边数量关系.
【项目任务】任务一:(1)如图①,在钝角三角形ABC中,$∠ACB$是钝角,$∠CAB,∠CBA,$$∠ACB的对边分别为a,b,c$,过点C作CB的垂线并截取$CD= CA$,连接BD,AD,通过构造$Rt\triangle BCD得到a^{2}+b^{2}= BD^{2}$,从而将问题转化为比较图中线段AB和BD的大小,体现转化的数学思想,再从角的大小关系不难得出$∠ADB＞∠DAB$,最后可得到结论$a^{2}+$$b^{2}$____$c^{2}$.(填“＞”“＜”或“=”)
任务二:(2)如图②,$\triangle ABC$是锐角三角形,且$∠A$是最大角,$∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c$,猜想$b^{2}+c^{2}$____$a^{2}$(填“＞”“＜”或“=”),并说明理由.
任务三:(3)①三边长分别为4,5,7的三角形是____;(填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”)
②已知锐角三角形的两边长分别为3和5,则第三条边长m的取值范围是____.(请直接写出结果)
【项目任务】任务一:(1)如图①,在钝角三角形ABC中,$∠ACB$是钝角,$∠CAB,∠CBA,$$∠ACB的对边分别为a,b,c$,过点C作CB的垂线并截取$CD= CA$,连接BD,AD,通过构造$Rt\triangle BCD得到a^{2}+b^{2}= BD^{2}$,从而将问题转化为比较图中线段AB和BD的大小,体现转化的数学思想,再从角的大小关系不难得出$∠ADB＞∠DAB$,最后可得到结论$a^{2}+$$b^{2}$____$c^{2}$.(填“＞”“＜”或“=”)
任务二:(2)如图②,$\triangle ABC$是锐角三角形,且$∠A$是最大角,$∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c$,猜想$b^{2}+c^{2}$____$a^{2}$(填“＞”“＜”或“=”),并说明理由.
任务三:(3)①三边长分别为4,5,7的三角形是____;(填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”)
②已知锐角三角形的两边长分别为3和5,则第三条边长m的取值范围是____.(请直接写出结果)
答案
(1)＜ 解析:过点C作CB的垂线并截取CD = CA，连接BD，AD，在Rt△BCD中，$a^{2}+b^{2}=BD^{2}$，∵AC = CD，∴∠ADC = ∠CAD，∴∠ADC ＞ ∠DAB。∵∠ADB ＞ ∠ADC，∴∠ADB ＞ ∠DAB，∴AB ＞ BD，∴$c^{2}＞BD^{2}$，∴$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$。
(2)＞ 理由:过点A作AC的垂线并截取AM = AB = c，连接BM，CM，如图，在Rt△MAC中，∠MAC = 90°，则$AM^{2}+AC^{2}=MC^{2}$，∵AM = AB，∴∠AMB = ∠ABM ＞ ∠BMC。∵∠MBC ＞ ∠ABM，∴∠MBC ＞ ∠BMC，∴在△MBC中，MC ＞ BC，即$MC^{2}＞BC^{2}$，即$b^{2}+c^{2}＞a^{2}$。
(3)①钝角三角形 解析:∵$\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}＜\sqrt{7^{2}}=\sqrt{49}$，∴为钝角三角形。
②$4＜m＜\sqrt{34}$ 解析:当锐角三角形的两短边长分别为3和5，则第三边小于$\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}$；当锐角三角形的短边长为3，长边长为5，则第三边大于$\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$；则第三条边长m的取值范围是$4＜m＜\sqrt{34}$。
