典例2(2024·泰州海陵一模)如图,在平面直角坐标系中,A(0,k)是y轴正半轴上一点,B是反比例函数y=$\frac{k} {x}$第三象限图像上的一个动点，连接AB,以AB为一边作正方形ABCD,使点D在第一象限.设点B的横坐标为m(m＜0).
　(1)若k=2,m=−$\frac{3} {2}$,求点B和点D的坐标.
　(2)若k=2,点D落在反比例函数图像上,求m的值.
　(3)若点D落在反比例函数图像上,设点D的横坐标为n(n＞0),试判断m十n是否为定值？并说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[思路点拨](1)证明△BMA≌△AND,则BM=AN=2+$\frac{4} {3}$=$\frac{10} {3}$,AM=DN=$\frac{3} {2}$,即可求解.(2)在(1)的基础上，用含m的代数式表示点B,D的坐标，即可求解.(3)在(1)的基础上，用含m,k的代数式表示点B，D的坐标，即可求解.

典例2(1)若$k = 2$，$m = -\frac{3}{2}$，则易得点$A$的坐标为$(0,2)$，点$B$的坐标为$(-\frac{3}{2},-\frac{4}{3})$。
如图，过点$A$作$x$轴的平行线$MN$，过点$B$作$y$轴的平行线$BM$，过点$D$作$y$轴的平行线$DN$，$MN$分别交$BM$，$DN$于点$M$，$N$，则$BM\perp MN$，$DN\perp MN$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB = DA$，$\angle BAD = 90^{\circ}$。$\therefore \angle BAM + \angle DAN = 90^{\circ}$。
$\because \angle DAN + \angle ADN = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BAM = \angle ADN$。
$\because \angle M = \angle N = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle BMA\cong \triangle AND$。
$\therefore BM = AN = 2+\frac{4}{3}=\frac{10}{3}$，$AM = DN = \frac{3}{2}$。
$\therefore x_{D}=\frac{10}{3}$，$y_{D}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$。$\therefore$点$D$的坐标为$(\frac{10}{3},\frac{1}{2})$。
(2)由题意，得点$A$的坐标为$(0,2)$，点$B$的坐标为$(m,\frac{2}{m})$。
由(1)知，$BM = AN = 2-\frac{2}{m}$，$AM = DN = -m$，$\therefore x_{D}=2-\frac{2}{m}$，$y_{D}=2-(-m)=2 + m$。
$\therefore$点$D$的坐标为$(2-\frac{2}{m},2 + m)$。
$\because$点$D(2-\frac{2}{m},2 + m)$落在反比例函数$y = \frac{2}{x}$的图像上，$\therefore (2-\frac{2}{m})(2 + m)=2$，解得$m = \sqrt{2}$（不合题意，舍去）或$m = -\sqrt{2}$。
经检验，$m = -\sqrt{2}$是原方程的解，且符合题意。$\therefore m$的值为$-\sqrt{2}$。
(3)$m + n$为定值。
理由：由题意，得点$A$的坐标为$(0,k)$，点$B$的坐标为$(m,\frac{k}{m})$。
由(1)知，$BM = AN = k-\frac{k}{m}$，$AM = DN = -m$，$\therefore x_{D}=n = k-\frac{k}{m}$，$y_{D}=k-(-m)=k + m$。
$\therefore$点$D$的坐标为$(k-\frac{k}{m},k + m)$。
将点$D$的坐标代入$y = \frac{k}{x}$，得$k=(k-\frac{k}{m})(k + m)$。整理，得$m + k-\frac{k}{m}=2$。
$\because n = k-\frac{k}{m}$，$\therefore m + n = 2$，为定值。

跟踪训练＞
2.(2023·泰州)在平面直角坐标系中,点A(m,0),B(m一a,0)(a＞m＞0)的位置和函数y1=$\frac{m} {x}$(x＞0),y2=$\frac{m-a} {x}$(x＜0)的图像如图所示.以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,边AD与函数y1的图像相交于点E,边CD与函数$y_{1}$,y2的图像分别相交于点G,H,一次函数y3的图像经过点E,G,与y轴相交于点P,连接PH.
　(1)若m=2,a=4,求函数$y_{3}$的表达式及△PGH的面积.
　(2)当a,m在满足a＞m＞0的条件下任意变化时,△PGH的面积是否变化？请说明理由.
　(3)试判断直线PH与边BC的交点是否在函数y2的图像上,并说明理由.
　　

[跟踪训练]2.
(1)$\because m = 2$，$a = 4$，$\therefore A(2,0)$，$B(-2,0)$，$y_{1}=\frac{2}{x}(x\gt0)$，$y_{2}=-\frac{2}{x}(x\lt0)$。
$\therefore$易得$E(2,1)$，$G(\frac{1}{2},4)$，$H(-\frac{1}{2},4)$。
$\because$一次函数$y_{3}$的图像经过点$E$，$G$，$\therefore$设$y_{3}=kx + b$，则$\begin{cases}2k + b = 1, \\ \frac{1}{2}k + b = 4, \end{cases}$解得$\begin{cases}k = -2, \\ b = 5. \end{cases}$
$\therefore$一次函数$y_{3}$的表达式为$y_{3}=-2x + 5$。$\therefore$易得$P(0,5)$。
如图，设$CD$交$y$轴于点$M$，则$M(0,4)$。$\therefore PM = OP - OM = 1$。
$\therefore S_{\triangle PGH}=\frac{1}{2}HG\cdot PM=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$。
(2)不变化。
理由：$\because A(m,0)$，$B(m - a,0)$，$\therefore$在正方形$ABCD$中，$AB = AD = BC = a$。
又$\because y_{1}=\frac{m}{x}(x\gt0)$，$y_{2}=\frac{m - a}{x}(x\lt0)$，$\therefore$易得$E(m,1)$，$M(0,a)$，$G(\frac{m}{a},a)$，$H(\frac{m - a}{a},a)$。
设$y_{3}=k_{1}x + b_{1}$，则$\begin{cases}k_{1}m + b_{1}=1, \\ \frac{k_{1}m}{a}+b_{1}=a. \end{cases}$
$\therefore (a - 1)b_{1}=(a + 1)(a - 1)$。
$\because AE = 1$，$\therefore a\gt1$，即$a - 1\neq0$。$\therefore b_{1}=a + 1$。
$\therefore$易得$P(0,a + 1)$。$\therefore PM = OP - OM = 1$。
$\therefore S_{\triangle PGH}=\frac{1}{2}HG\cdot PM=\frac{1}{2}\times(\frac{m}{a}-\frac{m - a}{a})\times1=\frac{1}{2}$。
$\therefore$当$a$，$m$在满足$a\gt m\gt0$的条件下任意变化时，$\triangle PGH$的面积不变化。
(3)直线$PH$与边$BC$的交点在函数$y_{2}$的图像上。
理由：如图，延长$PH$交边$BC$于点$N$。
设直线$PH$对应的函数表达式为$y = k_{2}x + b_{2}$。
$\because$点$P(0,a + 1)$，$H(\frac{m - a}{a},a)$在直线$PH$上，$\therefore \begin{cases}b_{2}=a + 1, \\ \frac{k_{2}(m - a)}{a}+b_{2}=a, \end{cases}$解得$\begin{cases}k_{2}=\frac{a}{a - m}, \\ b_{2}=a + 1. \end{cases}$
$\therefore$直线$PH$对应的函数表达式为$y=\frac{a}{a - m}x + a + 1$。
令$x = m - a$，得$y = 1$，$\therefore N(m - a,1)$。
$\therefore$点$N$在函数$y_{2}=\frac{m - a}{x}(x\lt0)$的图像上。