1. [2025成都锦江区期中]在式子 $2x + 3y,\frac{2}{a},0.5,\frac{b + 2}{2},-2x,3a^{2}b,\frac{a}{\pi}$ 中,单项式的个数是( )

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

C

$0.5,-2x,3a^{2}b,\frac{a}{\pi}$是单项式，共4个。
C

2. 下列说法正确的是( )

A.单项式 $-\frac{xy^{2}}{5}$ 的系数是 $-5$,次数是 2
B.单项式 $a$ 的系数为 1,次数是 0
C.$\frac{xy - 1}{2}$ 是二次单项式
D.单项式 $-\frac{6}{7}ab$ 的系数为 $-\frac{6}{7}$,次数是 2

D

A. 单项式$-\frac{xy^{2}}{5}$的系数是$-\frac{1}{5}$，次数是$1 + 2=3$，故A错误；
B. 单项式$a$的系数为$1$，次数是$1$，故B错误；
C. $\frac{xy - 1}{2}=\frac{xy}{2}-\frac{1}{2}$是多项式，故C错误；
D. 单项式$-\frac{6}{7}ab$的系数为$-\frac{6}{7}$，次数是$1 + 1=2$，故D正确。
D

3. 如果 $(2 - m)x^{n}y^{4}$ 是关于 $x,y$ 的五次单项式,则 $m,n$ 满足的条件是( )

A.$m = 2,n = 1$
B.$m\neq2,n = 1$
C.$m\neq2,n = 5$
D.$m = 2,n = 5$

B

因为$(2 - m)x^{n}y^{4}$是关于$x,y$的五次单项式，所以系数$2 - m \neq 0$，即$m \neq 2$；所有字母的指数和为$5$，即$n + 4 = 5$，解得$n = 1$。
B

4. 2025·北京师范大学附属中学月考 请写出一个次数为3,含有字母 $x$ 和 $y$,系数是 2 的单项式：______.

$2x^{2}y$（或$2xy^{2}$）

5. 若单项式 $\frac{1}{2}xy^{2m - 1}$ 与单项式 $-2^{2}x^{2}y^{2}$ 的次数相同,则 $m= $______.

2

单项式$\frac{1}{2}xy^{2m - 1}$的次数为$1 + (2m - 1) = 2m$，单项式$-2^{2}x^{2}y^{2}$的次数为$2 + 2 = 4$。因为两个单项式的次数相同，所以$2m = 4$，解得$m = 2$。
2

6. 母题 教材 P91 练习 T1 指出下列各单项式的系数和次数：$-\frac{2xy}{3},-mx,\frac{3ax^{2}}{2},7^{10}xyz^{2},2^{7},-\pi r^{2}$.

【解】$-\frac{2xy}{3}$的系数是$-\frac{2}{3}$，次数是2；$-mx$的系数是$-1$，次数是2；$\frac{3ax^{2}}{2}$的系数是$\frac{3}{2}$，次数是3；$7^{10}xyz^{2}$的系数是$7^{10}$，次数是4；$2^{7}$的系数是$2^{7}$，次数是0；$-\pi r^{2}$的系数是$-\pi$，次数是2.
点易错 分辨清楚单项式的数字因数，不要将单项式的系数找错.（1）单项式的系数是1或$-1$时，1往往省略不写，但不能认为系数是0；（2）在计算次数时，也不要丢掉某个字母的指数，特别是这个字母的指数为1的时候；（3）$\pi$是数不是字母，故属于系数的一部分.

7. 一个同时含有字母 $x,y,z$,且系数为 3 的五次单项式共有( )

A.5个
B.6个
C.7个
D.8个

B

要确定同时含有字母$x,y,z$，系数为3的五次单项式的个数，需满足$x,y,z$的指数之和为5，且每个字母的指数均为正整数。设$x,y,z$的指数分别为$a,b,c$（$a,b,c\geq1$且为整数），则$a + b + c=5$。
满足条件的正整数解$(a,b,c)$有：
1. $(1,1,3)$，对应单项式：$3x y z^{3}$，$3x y^{3} z$，$3x^{3} y z$；
2. $(1,2,2)$，对应单项式：$3x y^{2} z^{2}$，$3x^{2} y z^{2}$，$3x^{2} y^{2} z$。
共有6个单项式。
B

8. 新考法 分类讨论法 已知 $m,n$ 都是正整数,$-8x^{m}y^{n}$ 是含有字母 $x$ 和 $y$ 的五次单项式,则 $mn$ 的最大值为______.

6 【点拨】因为$-8x^{m}y^{n}$是含有字母x和y的五次单项式，所以$m+n=5$.又因为m，n都是正整数，所以$\left\{\begin{array}{l} m=1,\\ n=4\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} m=2,\\ n=3\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} m=3,\\ n=2\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} m=4,\\ n=1\end{array}\right. $，当$\left\{\begin{array}{l} m=1,\\ n=4\end{array}\right. $时，$mn=1× 4=4$，当$\left\{\begin{array}{l} m=2,\\ n=3\end{array}\right. $时，$mn=2× 3=6$，当$\left\{\begin{array}{l} m=3,\\ n=2\end{array}\right. $时，$mn=3× 2=6$，当$\left\{\begin{array}{l} m=4,\\ n=1\end{array}\right. $时，$mn=4× 1=4$.因为$6＞4$，所以mn的最大值为6.

因为$-8x^{m}y^{n}$是含有字母$x$和$y$的五次单项式，所以$m + n=5$。
又因为$m$，$n$都是正整数，所以可能的取值组合为：
$\begin{cases}m=1\\n=4\end{cases}$时，$mn=1×4 = 4$；
$\begin{cases}m=2\\n=3\end{cases}$时，$mn=2×3 = 6$；
$\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}$时，$mn=3×2 = 6$；
$\begin{cases}m=4\\n=1\end{cases}$时，$mn=4×1 = 4$。
比较可得$mn$的最大值为$6$。
6

9. 母题 教材 P91 练习 T2 某商场的一种彩电标价为 $m$ 元/台.节日期间,商场按九折的优惠价出售,则商场销售 $n$ 台彩电共得多少元？你所得到的代数式是单项式吗？如果是,请写出它的系数和次数.

【解】共得$0.9mn$元，是单项式，它的系数是0.9，次数是2.

10. 已知 $|a| = -a$,试确定关于 $x,y$ 的六次单项式 $\frac{1}{a}x^{5}y^{|a|}$ 中 $a$ 的取值,并在上述条件下求 $a^{2025}-a^{2024}+1$ 的值.

【解】因为$|a|=-a$，所以$a\leqslant 0$.因为$\frac{1}{a}x^{5}y^{|a|}$是六次单项式，所以$5-|a|=6$，解得$a=-1$.所以$a^{2025}-a^{2024}+1=-1-1+1=-1$.

【解】因为$|a|=-a$，所以$a\leqslant 0$。
因为$\frac{1}{a}x^{5}y^{|a|}$是六次单项式，所以单项式的次数为$5 + |a| = 6$，解得$|a| = 1$，即$a = \pm 1$。
又因为$a\leqslant 0$且$a\neq 0$（分母不能为$0$），所以$a = -1$。
则$a^{2025}-a^{2024}+1=(-1)^{2025}-(-1)^{2024}+1=-1 - 1 + 1=-1$。

11. 新考法 猜想探求法 观察下列单项式：$-x,3x^{2},-5x^{3},7x^{4},…,-37x^{19},39x^{20},…$.回答问题：
(1)这组单项式的系数的符号规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第 $n$ 个单项式是什么吗？
(4)请你根据猜想,写出第 2026,2027 个单项式.
第11题微课

【解】（1）这组单项式的系数的符号规律是$-,+, -, +,\cdots$.（2）这组单项式的次数的规律是$1,2,3,4,5,\cdots$.（3）第n个单项式是$(-1)^{n}(2n-1)x^{n}$.（4）第2026个单项式是$4051x^{2026}$；第2027个单项式是$-4053x^{2027}$.