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9.（1）新趋势 开放性试题 已知三张卡片上面分别写有$6、x - 1、x^{2}-1$，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为____________；（写出一个即可）
（2）若$m$为实数，分式$\frac{x(x + 2)}{x^{2}+m}$不是最简分式，则$m=$______.
（2）若$m$为实数，分式$\frac{x(x + 2)}{x^{2}+m}$不是最简分式，则$m=$______.
答案
(1)$\frac{6}{x - 1}$（或$\frac{6}{x^{2}-1}$） (2)0 或 -4
易错提醒：分式的分母中必须含有字母.
易错提醒：分式的分母中必须含有字母.
10. 若$a^{2}b+ab^{2}=0(a\neq0)$，则$\frac{a^{3}-4ab^{2}}{a^{3}-4a^{2}b + 4ab^{2}}$的值为______.
答案
1 或$-\frac{1}{3}$ 解析：$\because a^{2}b+ab^{2}=ab(a + b)=0(a\neq0)$，$\therefore b = 0$或$a=-b$.
$\frac{a^{3}-4ab^{2}}{a^{3}-4a^{2}b + 4ab^{2}}=\frac{a(a^{2}-4b^{2})}{a(a^{2}-4ab + 4b^{2})}=\frac{a(a + 2b)(a - 2b)}{a(a - 2b)^{2}}=\frac{a + 2b}{a - 2b}$.当$b = 0$时，原式 = 1；当$a=-b\neq0$时，原式$=-\frac{1}{3}$.$\therefore$原式 = 1 或$-\frac{1}{3}$.
$\frac{a^{3}-4ab^{2}}{a^{3}-4a^{2}b + 4ab^{2}}=\frac{a(a^{2}-4b^{2})}{a(a^{2}-4ab + 4b^{2})}=\frac{a(a + 2b)(a - 2b)}{a(a - 2b)^{2}}=\frac{a + 2b}{a - 2b}$.当$b = 0$时，原式 = 1；当$a=-b\neq0$时，原式$=-\frac{1}{3}$.$\therefore$原式 = 1 或$-\frac{1}{3}$.
11.（1）当$1 ＜ x ＜ 2$时，化简$\frac{|x - 1|}{3 - 3x}+\frac{|x - 2|}{x - 2}$的结果是______；
（2）已知$a、b$两数在数轴上的位置如图所示，则化简$|\frac{b^{2}-a + a^{2}+b - 2ab}{a - b}|$的结果是______.
（2）已知$a、b$两数在数轴上的位置如图所示，则化简$|\frac{b^{2}-a + a^{2}+b - 2ab}{a - b}|$的结果是______.
答案
(1)$-\frac{4}{3}$ 解析：$\because 1＜x＜2$，$\therefore x - 1＞0$、$x - 2＜0$，$\therefore$原式$=\frac{x - 1}{3(1 - x)}+\frac{2 - x}{x - 2}=-\frac{1}{3}+(-1)=-\frac{4}{3}$.
(2)$-a + b + 1$ 解析：原式$=\left|\frac{(a - b)^{2}-(a - b)}{a - b}\right|=\left|\frac{(a - b)(a - b - 1)}{a - b}\right|=|a - b - 1|$，由数轴可得$a - b＜0$，$\therefore$原式$=-(a - b - 1)=-a + b + 1$.
(2)$-a + b + 1$ 解析：原式$=\left|\frac{(a - b)^{2}-(a - b)}{a - b}\right|=\left|\frac{(a - b)(a - b - 1)}{a - b}\right|=|a - b - 1|$，由数轴可得$a - b＜0$，$\therefore$原式$=-(a - b - 1)=-a + b + 1$.
12. 约分：
（1）$\frac{x^{2}+y^{2}+2xy - 4}{x + y - 2}$；
（2）$\frac{x^{n}(y^{2n}-1)}{x^{n + 1}(y^{n}+1)}$.
（1）$\frac{x^{2}+y^{2}+2xy - 4}{x + y - 2}$；
（2）$\frac{x^{n}(y^{2n}-1)}{x^{n + 1}(y^{n}+1)}$.
答案
(1)$\frac{x^{2}+y^{2}+2xy - 4}{x + y - 2}=\frac{(x + y)^{2}-2^{2}}{x + y - 2}=\frac{(x + y + 2)(x + y - 2)}{x + y - 2}=x + y + 2$.
(2)$\frac{x^{n}(y^{2n}-1)}{x^{n + 1}(y^{n}+1)}=\frac{x^{n}(y^{n}+1)(y^{n}-1)}{x^{n}\cdot x(y^{n}+1)}=\frac{y^{n}-1}{x}$.
(2)$\frac{x^{n}(y^{2n}-1)}{x^{n + 1}(y^{n}+1)}=\frac{x^{n}(y^{n}+1)(y^{n}-1)}{x^{n}\cdot x(y^{n}+1)}=\frac{y^{n}-1}{x}$.
13.（1）先化简，再求值：$\frac{(a + b)^{2}-8(a + b)+16}{(a + b)^{2}-16}$，其中$a + b = 5$；
（2）设非零实数$a、b、c$满足$\begin{cases}3a + 2b + c = 0\\a + b + c = 0\end{cases}$，求$\frac{ab + bc + ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$值；
（3）已知$2x + 3y - 5z = 0、3x - 2y + 12z = 0(z\neq0)$，求$\frac{2x^{2}-3xy}{4x^{2}-12xy + 9y^{2}}$的值.
（2）设非零实数$a、b、c$满足$\begin{cases}3a + 2b + c = 0\\a + b + c = 0\end{cases}$，求$\frac{ab + bc + ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$值；
（3）已知$2x + 3y - 5z = 0、3x - 2y + 12z = 0(z\neq0)$，求$\frac{2x^{2}-3xy}{4x^{2}-12xy + 9y^{2}}$的值.
答案
(1)$\frac{(a + b)^{2}-8(a + b)+16}{(a + b)^{2}-16}=\frac{(a + b - 4)^{2}}{(a + b + 4)(a + b - 4)}=\frac{a + b - 4}{a + b + 4}$.
当$a + b = 5$时，原式$=\frac{5 - 4}{5 + 4}=\frac{1}{9}$.
(2)$\begin{cases}3a + 2b + c = 0, &①\\a + b + c = 0, &②\end{cases}$① - ②得$2a + b = 0$，$\therefore b=-2a$.
把$b=-2a$代入②得$-a + c = 0$，$\therefore c = a$.
当$b=-2a$，$c = a$时，原式$=\frac{-2a^{2}-2a^{2}+a^{2}}{a^{2}+4a^{2}+a^{2}}=\frac{-3a^{2}}{6a^{2}}=-\frac{1}{2}$.
(3)由题意，得$\begin{cases}2x + 3y = 5z,\\3x - 2y=-12z,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-2z,\\y = 3z.\end{cases}$
$\therefore$原式$=\frac{x(2x - 3y)}{(2x - 3y)^{2}}=\frac{x}{2x - 3y}=\frac{-2z}{2\times(-2z)-3\times3z}=\frac{2}{13}$.
当$a + b = 5$时，原式$=\frac{5 - 4}{5 + 4}=\frac{1}{9}$.
(2)$\begin{cases}3a + 2b + c = 0, &①\\a + b + c = 0, &②\end{cases}$① - ②得$2a + b = 0$，$\therefore b=-2a$.
把$b=-2a$代入②得$-a + c = 0$，$\therefore c = a$.
当$b=-2a$，$c = a$时，原式$=\frac{-2a^{2}-2a^{2}+a^{2}}{a^{2}+4a^{2}+a^{2}}=\frac{-3a^{2}}{6a^{2}}=-\frac{1}{2}$.
(3)由题意，得$\begin{cases}2x + 3y = 5z,\\3x - 2y=-12z,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-2z,\\y = 3z.\end{cases}$
$\therefore$原式$=\frac{x(2x - 3y)}{(2x - 3y)^{2}}=\frac{x}{2x - 3y}=\frac{-2z}{2\times(-2z)-3\times3z}=\frac{2}{13}$.
14.（2024·营口期中）如图所示，一个大长方形被两条线段$AB、CD$分成四个小长方形. 如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为$8,6,5$，那么阴影部分的面积为 （ ）
A. $\frac{9}{2}$
B. $\frac{7}{2}$
C. $\frac{10}{3}$
D. $\frac{15}{8}$
A. $\frac{9}{2}$
B. $\frac{7}{2}$
C. $\frac{10}{3}$
D. $\frac{15}{8}$
答案
C 解析：设图形Ⅰ长为$x$，宽为$y$，大长方形长为$a$，宽为$b$；则图形Ⅱ长为$(a - x)$，宽为$y$；图形Ⅲ长为$(a - x)$，宽为$(b - y)$；有阴影部分的矩形长为$x$，宽为$(b - y)$，面积为$z$.$\because$图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为$8$，$6$，$5$，$\therefore \frac{S_{Ⅰ}}{S_{Ⅱ}}=\frac{xy}{(a - x)y}=\frac{x}{a - x}=\frac{8}{6}$，$\therefore \frac{S_{有阴影的矩形}}{S_{Ⅲ}}=\frac{x(b - y)}{(a - x)(b - y)}=\frac{x}{a - x}=\frac{z}{5}$，$\therefore \frac{z}{5}=\frac{8}{6}$，解得$z=\frac{20}{3}$.$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{2}z=\frac{1}{2}\times\frac{20}{3}=\frac{10}{3}$.故选 C.
15. 已知$a^{2}+b^{2}=(a + b - c)^{2}$，且$b\neq0$，化简：$\frac{a^{2}+(a - c)^{2}}{b^{2}+(b - c)^{2}}$.
答案
$\because a^{2}+b^{2}=(a + b - c)^{2}$，$\therefore a^{2}=(a + b - c)^{2}-b^{2}=(a + b - c + b)(a + b - c - b)=(a + 2b - c)(a - c)$.同理，$b^{2}=(2a + b - c)(b - c)$.
$\therefore \frac{a^{2}+(a - c)^{2}}{b^{2}+(b - c)^{2}}=\frac{(a + 2b - c)(a - c)+(a - c)^{2}}{(2a + b - c)(b - c)+(b - c)^{2}}=\frac{(a - c)(a + 2b - c + a - c)}{(b - c)(2a + b - c + b - c)}=\frac{(a - c)(2a + 2b - 2c)}{(b - c)(2a + 2b - 2c)}=\frac{a - c}{b - c}$.
$\therefore \frac{a^{2}+(a - c)^{2}}{b^{2}+(b - c)^{2}}=\frac{(a + 2b - c)(a - c)+(a - c)^{2}}{(2a + b - c)(b - c)+(b - c)^{2}}=\frac{(a - c)(a + 2b - c + a - c)}{(b - c)(2a + b - c + b - c)}=\frac{(a - c)(2a + 2b - 2c)}{(b - c)(2a + 2b - 2c)}=\frac{a - c}{b - c}$.
