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3. 如图是一顶帽子的示意图，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，两部分的表面都是用同样的花布做成的。已知帽顶的直径和高及帽檐宽都是2分米，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的花布？
答案
2×3 = 6(分米) 3.14×2×2 + 3.14×(6÷2)² = 40.82(平方分米)
4. 晶晶的爸爸在“琉璃厂”买了一块砚台，为了测量它的体积，做了以下实验:
① 天平称出这块砚台的质量是1.44千克；
② 天平秤出1立方分米砚台材料质量为2.5千克；
③ 测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8厘米；
④ 用直尺量出容器的高是10厘米；
⑤ 在容器里注入一定量的水，量出水面高度为5厘米；
⑥ 将砚台完全浸入水中(水未溢出)，量出水面高度为8厘米。
根据信息，你能用不同的方法求出这块砚台的体积吗？(π取3)
① 天平称出这块砚台的质量是1.44千克；
② 天平秤出1立方分米砚台材料质量为2.5千克；
③ 测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8厘米；
④ 用直尺量出容器的高是10厘米；
⑤ 在容器里注入一定量的水，量出水面高度为5厘米；
⑥ 将砚台完全浸入水中(水未溢出)，量出水面高度为8厘米。
根据信息，你能用不同的方法求出这块砚台的体积吗？(π取3)
答案
1.44÷2.5 = 0.576(立方分米) = 576 立方厘米 或 3×8²×(8 - 5) = 576(立方厘米)
5. 如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积之比是3:4:5时，用最简整数比表示这三个长方体的体积比。
答案
设正方体的棱长为 1，
1×1×6 + 1×1×4 = 10
10×$\frac{3}{3 + 4 + 5} = \frac{5}{2}$ ($\frac{5}{2} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{1}{8}$
10×$\frac{4}{3 + 4 + 5} = \frac{10}{3}$ ($\frac{10}{3} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{1}{3}$
10×$\frac{5}{3 + 4 + 5} = \frac{25}{6}$ ($\frac{25}{6} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{13}{24}$
$\frac{1}{8} : \frac{1}{3} : \frac{13}{24} = 3 : 8 : 13$
提示：设正方体的棱长为 1，则正方体切成 3 个长方体后的总表面积为 1×1×6 + 1×1×4 = 10，又因为这三个长方体的表面积之比为 3 : 4 : 5，所以表面积分别为 10×$\frac{3}{3 + 4 + 5} = \frac{5}{2}$，10×$\frac{4}{3 + 4 + 5} = \frac{10}{3}$，10×$\frac{5}{3 + 4 + 5} = \frac{25}{6}$，表面积最小的长方体上、下底面的面积均为 1×1 = 1，前、后、左、右四个面为面积相等的长方形，且长方形的长为 1，故可求得长方形的宽，即长方体的高为 ($\frac{5}{2} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{1}{8}$，同理可求得其他两个长方体的高分别为 ($\frac{10}{3} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{1}{3}$，($\frac{25}{6} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{13}{24}$。因为三个长方体的底面积相等，故体积之比等于高之比，即$\frac{1}{8} : \frac{1}{3} : \frac{13}{24} = 3 : 8 : 13$。
1×1×6 + 1×1×4 = 10
10×$\frac{3}{3 + 4 + 5} = \frac{5}{2}$ ($\frac{5}{2} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{1}{8}$
10×$\frac{4}{3 + 4 + 5} = \frac{10}{3}$ ($\frac{10}{3} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{1}{3}$
10×$\frac{5}{3 + 4 + 5} = \frac{25}{6}$ ($\frac{25}{6} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{13}{24}$
$\frac{1}{8} : \frac{1}{3} : \frac{13}{24} = 3 : 8 : 13$
提示：设正方体的棱长为 1，则正方体切成 3 个长方体后的总表面积为 1×1×6 + 1×1×4 = 10，又因为这三个长方体的表面积之比为 3 : 4 : 5，所以表面积分别为 10×$\frac{3}{3 + 4 + 5} = \frac{5}{2}$，10×$\frac{4}{3 + 4 + 5} = \frac{10}{3}$，10×$\frac{5}{3 + 4 + 5} = \frac{25}{6}$，表面积最小的长方体上、下底面的面积均为 1×1 = 1，前、后、左、右四个面为面积相等的长方形，且长方形的长为 1，故可求得长方形的宽，即长方体的高为 ($\frac{5}{2} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{1}{8}$，同理可求得其他两个长方体的高分别为 ($\frac{10}{3} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{1}{3}$，($\frac{25}{6} - 1×1×2$)÷4÷1 = $\frac{13}{24}$。因为三个长方体的底面积相等，故体积之比等于高之比，即$\frac{1}{8} : \frac{1}{3} : \frac{13}{24} = 3 : 8 : 13$。
6. (知识迁移) 乐乐在探索直角三角形三边的关系时发现：直角三角形两条直角边的平方和等于第三边的平方，例如：如图①，AB² + BC² = AC² = 9 + 16 = 25，所以AC = 5。
如果直角三角形ABC中，∠ABC = 90°，AB = 12，BC = 5，回答下面的问题。
(1) 若以AC为边向外作正方形(如图②)，则正方形的面积是( )。
(2) 若分别以AB、BC、AC为边向外作半圆(如图③)，三个半圆的面积之和是( )。
(3) 如图④，请求出涂色部分的面积。
如果直角三角形ABC中，∠ABC = 90°，AB = 12，BC = 5，回答下面的问题。
(1) 若以AC为边向外作正方形(如图②)，则正方形的面积是( )。
(2) 若分别以AB、BC、AC为边向外作半圆(如图③)，三个半圆的面积之和是( )。
(3) 如图④，请求出涂色部分的面积。
答案
(1) 169
提示：由题图可知，正方形的面积 = $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 169$。
(2) 132.665
提示：由题图可知，三个半圆的面积之和 = $\frac{1}{2}\pi×[(12÷2)^{2} + (5÷2)^{2} + (13÷2)^{2}] = 132.665$。
(3) $\frac{1}{2}×12×5 = 30$
提示：由题图可知，涂色部分面积 = 三角形的面积 + 两个小半圆的面积 - 大半圆的面积，又因为两个小半圆的面积 = 大半圆的面积，所以涂色部分面积 = 三角形的面积 = $\frac{1}{2}×12×5 = 30$。
提示：由题图可知，正方形的面积 = $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 169$。
(2) 132.665
提示：由题图可知，三个半圆的面积之和 = $\frac{1}{2}\pi×[(12÷2)^{2} + (5÷2)^{2} + (13÷2)^{2}] = 132.665$。
(3) $\frac{1}{2}×12×5 = 30$
提示：由题图可知，涂色部分面积 = 三角形的面积 + 两个小半圆的面积 - 大半圆的面积，又因为两个小半圆的面积 = 大半圆的面积，所以涂色部分面积 = 三角形的面积 = $\frac{1}{2}×12×5 = 30$。
强基直通车 如图①，有这样一个长方形ABCD，BC = 6厘米，AB = 10厘米。已知对角线AC、BD相交于点O。如果图①中的涂色部分以CD所在的直线为轴旋转一周，那么涂色部分扫出的立体图形(图②)的体积是多少立方厘米？
答案
设三角形 BOC 以 CD 所在的直线为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是 $V_{1}$ 立方厘米，则 $V_{1} = \frac{1}{3}×6^{2}×10×\pi - 2×\frac{1}{3}×3^{2}×5×\pi = 90\pi$(立方厘米)，则涂色部分扫出的立体图形的体积 $V = 2V_{1} = 180\pi = 565.2$(立方厘米)。
提示：涂色部分扫出的立体图形是由两个完全一样的三角形 BOC 和三角形 AOD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周后形成的，不妨先求出其中一个三角形 BOC 以 CD 所在的直线为轴旋转一周所得到的立体图形的体积。计算时用三角形 BCD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积减去三角形 COD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积，最后再乘 2 即可。
提示：涂色部分扫出的立体图形是由两个完全一样的三角形 BOC 和三角形 AOD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周后形成的，不妨先求出其中一个三角形 BOC 以 CD 所在的直线为轴旋转一周所得到的立体图形的体积。计算时用三角形 BCD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积减去三角形 COD 以 CD 所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积，最后再乘 2 即可。
