10. 如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼第 $1$ 个图形需要 $6$ 根小木棒,拼第 $2$ 个图形需要 $14$ 根小木棒,拼第 $3$ 个图形需要 $22$ 根小木棒,…,若按照这样的方法拼成的第 $n$ 个图形需要 $2030$ 根小木棒,则 $n$ 的值为( )
A. $253$ B. $254$ C. $336$ D. $337$

B 【点拨】由题意知，拼第 1 个图形需要 6 根小木棒，拼第 2 个图形需要6×2+2=14(根)小木棒，拼第 3 个图形需要6×3+2×2=22(根)小木棒，…，按此规律，拼第 n 个图形需要6n+2(n-1)=(8n-2)根小木棒.令8n-2=2030，解得n=254.

11. 如果关于 $x$ 的方程 $2x + 1 = 3$ 和方程 $ax - 4 = 1$ 的解相同,那么 $a = $______.

5

解方程$2x + 1 = 3$，得$2x=3 - 1$，$2x=2$，$x=1$。
因为两个方程的解相同，将$x = 1$代入$ax - 4 = 1$，得$a×1 - 4 = 1$，$a - 4 = 1$，$a=1 + 4$，$a=5$。
5

12. 将 $9$ 个数填入 $3×3$(三行三列)的方格中,如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等,那么这样的图为广义的三阶幻方.如图,一个三阶幻方如下,若 $A = 2a + 5$,$B = 7a + 5$,$C = 6a - 2$,$E = 5a + 1$,则整式 $F = $______.

a+8 【点拨】依题意，得A+E+I=C+F+I，所以A+E=C+F，所以F=A+E-C.又因为A=2a+5，C=6a-2，E=5a+1，所以F=A+E-C=(2a+5)+(5a+1)-(6a-2)=2a+5+5a+1-6a+2=a+8.

由题意，三阶幻方中每条对角线上的三个数之和相等，即$A + E + I = C + F + I$，两边同时减去$I$，可得$A + E = C + F$，则$F = A + E - C$。
已知$A = 2a + 5$，$E = 5a + 1$，$C = 6a - 2$，代入可得：
$F=(2a + 5)+(5a + 1)-(6a - 2)$
$=2a + 5 + 5a + 1 - 6a + 2$
$=(2a + 5a - 6a)+(5 + 1 + 2)$
$=a + 8$
$a + 8$

13. 已知 $m + 2mn = n + 2a - 1$,$2m + mn = 5n + a$,则式子 $m - 3n$ 的值为______.

$\frac{1}{3} 【$点拨】因为m+2mn=n+2a-1，2m+mn=5n+a，所以m+2mn-4m-2mn=n+2a-1-2(5n+a)，-3m=n+2a-1-10n-2a，-3m=-1-9n，3m-9n=1，3(m-3n)=1，$m-3n=\frac{1}{3}.$

已知$m + 2mn = n + 2a - 1$，$2m + mn = 5n + a$。
由$2m + mn = 5n + a$可得$mn = 5n + a - 2m$，将其代入$m + 2mn = n + 2a - 1$中，得：
$m + 2(5n + a - 2m) = n + 2a - 1$
展开括号：$m + 10n + 2a - 4m = n + 2a - 1$
合并同类项：$-3m + 10n + 2a = n + 2a - 1$
两边同时减去$2a$：$-3m + 10n = n - 1$
移项：$-3m = n - 1 - 10n$
化简：$-3m = -9n - 1$
两边同时除以$-3$：$m = 3n + \frac{1}{3}$
则$m - 3n = 3n + \frac{1}{3} - 3n = \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$

14. 若 $a + 9 = b + 8 = c + 7$,则 $(a - b)^{2} + (b - c)^{2} - (c - a)^{2} = $______.

-2 【点拨】因为a+9=b+8=c+7，所以a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，所以原式$=(-1)^{2}+(-1)^{2}-2^{2}=-2.$

因为$a + 9 = b + 8$，所以$a - b = 8 - 9 = -1$；
因为$b + 8 = c + 7$，所以$b - c = 7 - 8 = -1$；
因为$a + 9 = c + 7$，所以$c - a = 9 - 7 = 2$；
则$(a - b)^{2} + (b - c)^{2} - (c - a)^{2} = (-1)^{2} + (-1)^{2} - 2^{2} = 1 + 1 - 4 = -2$。
$-2$

15. (1)已知 $9x - 3y - \frac{1}{3} = 0$,观察并思考,怎样求出 $3x - y$ 的值.
(2)能否从 $(a + 5)x = 2 - b$ 得到 $x = \frac{2 - b}{a + 5}$？为什么？反之,能否从 $x = \frac{2 - b}{a + 5}$ 得到 $x(a + 5) = 2 - b$？为什么？

【解】
(1)两边都加$\frac{1}{3}，$得$9x-3y=\frac{1}{3}.$两边都除以 3，得$3x-y=\frac{1}{9}.(2)$不能从(a+5)x=2-b 得到$x=\frac{2-b}{a+5}.$因为当a+5=0 时，两边都除以a+5，无意义，所以不能从(a+5)x=2-b 得到$x=\frac{2-b}{a+5}.$能从$x=\frac{2-b}{a+5}$得到x(a+5)=2-b.因为a+5≠0，所以能从$x=\frac{2-b}{a+5}$得到x(a+5)=2-b.点易错 利用等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为 0 的数，等式仍成立这一性质时，易忽略“除数不为 0”这一条件导致错误.

16. 观察下列两个等式：$1 - \frac{2}{3} = 2×1×\frac{2}{3} - 1$,$2 - \frac{3}{5} = 2×2×\frac{3}{5} - 1$.给出如下定义：我们称使等式 $a - b = 2ab - 1$ 成立的一对有理数 $a$,$b$ 为“同心有理数对”,记为 $(a,b)$.如：数对 $(1,\frac{2}{3})$,$(2,\frac{3}{5})$ 都是“同心有理数对”.根据上述材料,解答下列问题：
(1)数对 $(- 2,1)$,$(3,\frac{4}{7})$ 中,是“同心有理数对”的是______.
(2)若 $(a,3)$ 是“同心有理数对”,求 $a$ 的值.
(3)若 $(m,n)$ 是“同心有理数对”,则 $(- n,- m)$ 是否为“同心有理数对”？请说明理由.

【解$】(1)(3,\frac{4}{7})(2)$因为(a，3)是“同心有理数对”，所以a-3=6a-1.等式两边同时减去 a，得a-3-a=6a-a-1.整理得-3=5a-1.等式两边同时加上 1，得-3+1=5a-1+1.整理得-2=5a.等式两边同时除以 5，得$a=-\frac{2}{5}.(3)(-n，$-m)是“同心有理数对”.理由如下：因为(m，n)是“同心有理数对”，所以m-n=2mn-1，而-n-(-m)=-n+m=m-n=2mn-1，所以(-n，-m)是“同心有理数对”.