1.（2024·株洲期末）如图，平行四边形ABCD的周长为40 cm，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为________cm.
　　　　　　　　　　

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2.（2024·上海期末）如图，点P为平行四边形ABCD内任意一点，连接PA、PB、PC、PD，如果将△PAB、△PBC、△PDC、△PDA的面积分别记为S₁、S₂、S₃、S₄，那么以下结论正确的是（ ）
A. S₁=S₄
B. S₁+S₂=S₃+S₄
C. S₁+S₄=S₂+S₁
D. S₁+S₃=S₂+S₄
　

D 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB = CD，AD = BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，平行四边形AB边，BC边上的高分别为h_{AB}，h_{BC}，则S₁ = $\frac{1}{2}ABh₁$，S₂ = $\frac{1}{2}BCh₂$，S₃ = $\frac{1}{2}CDh₃$，S₄ = $\frac{1}{2}ADh₄$，∴ S₁ + S₃ = $\frac{1}{2}ABh₁$ + $\frac{1}{2}CDh₃$ = $\frac{1}{2}ABh₁$ + $\frac{1}{2}ABh₃$ = $\frac{1}{2}AB(h₁ + h₃)$ . ∵ h_{AB} = h₁ + h₃，∴ S₁ + S₃ = $\frac{1}{2}ABh_{AB}$.同理可得，S₂ + S₄ = $\frac{1}{2}BCh_{BC}$. ∵ ABh_{AB} = BCh_{BC}，∴ S₁ + S₃ = S₂ + S₄. 故选D.

3. 如图，点E、G分别是□ABCD边AD、AB上的点，AE：ED=3：2，BG：GA=1：3，作EF//AB交BC于点F，GH//AD交CD于点H，连接FH，若S□ABCD = 50，则图中阴影面积为________.
　

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4. 在□ABCD中，已知AB=6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1：3两部分，则AD的长为________.

8或24

5.（湖北中考）在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD = 20°，则∠A的度数为________.

55°或35° 解析：①当点E在线段AD上时，如图①所示. ∵ BE是AD边上的高，∠EBD = 20°，∴ ∠ADB = 90° - 20° = 70°. ∵ AD = BD，∴ ∠A = ∠ABD = $\frac{180° - 70°}{2}$ = 55°.
　　　　 　　　　
②当点E在线段AD的延长线上时，如图②所示. ∵ BE是AD边上的高，∠EBD = 20°，∴ ∠BDE = 70°. ∵ AD = BD，∴ ∠A = ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠BDE = $\frac{1}{2}$×70° = 35°. 综上，∠A的度数为55°或35°.

6. 已知在□ABCD中，AE为BC边上的高，且AE=12，若AB=15，AC=13，则□ABCD的面积为________.

48或168 解析：①如图①，高AE在△ABC内时，在Rt△ABE中，BE = $\sqrt{AB² - AE²}$ = $\sqrt{15² - 12²}$ = 9，在Rt△AEC中，CE = $\sqrt{AC² - AE²}$ = $\sqrt{13² - 12²}$ = 5，∴ BC = BE + EC = 14，∴ S_{▱ABCD}=BC·AE = 14×12 = 168.②如图②，高AE在△ABC外时，由①知，BE = 9，CE = 5，BC = BE - CE = 9 - 5 = 4，∴ S_{▱ABCD}=BC·AE = 4×12 = 48.综上，▱ABCD的面积为48或168.
　　　　

7.（2024·衡阳期末）在平面直角坐标系中，直线$l₁:y=-\frac{1}{2}x+6$分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线$l₂:y=\frac{1}{2}x$交于点A.
（1）分别求出A、B、C三点的坐标.
（2）若在射线OA上有一点D(4,2)，则在平面内是否存在点P，使得以O、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
　　　　　　　　　　　　　

(1)直线l₁: y = -$\frac{1}{2}$x + 6，当x = 0时，y = 6，当y = 0时，x = 12，∴ B(12,0)、C(0,6).解方程组$\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x + 6 \\ y = \frac{1}{2}x\end{cases}$得$\begin{cases}x = 6 \\ y = 3\end{cases}$，∴ A(6,3)，即A(6,3)、B(12,0)、C(0,6).
(2)存在点P，坐标为(4,8)或(4,-4)或(-4,4).解析：分以下三种情况：以CD为对角线时，OC//DP，如图①. ∵ C(0,6)，D(4,2)，O(0,0)，∴ 点P即为点D向上平移6个单位长度，∴ P(4,8)；
　　　　 　　
　　　　　　　　　
以OD为对角线时，OC//DP'，如图②. ∵ C(0,6)，D(4,2)，O(0,0)，∴ 点P'即为点D向下平移6个单位长度，∴ P'(4,-4)；以OC为对角线时，如图③. ∵ C(0,6)，D(4,2)，O(0,0)，四边形ODCP''是平行四边形，∴ P''D的中点坐标与OC的中点坐标相同，为(0,3)，∴ P''(-4,4).综上所述，符合条件的点P的坐标为(4,8)或(4,-4)或(-4,4).

8. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=3，AO = 2，BC=5，则AE的长为________.
　　

2.4 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO = CO = 2，∴ AC = 2AO = 2×2 = 4. ∵ AE⊥BC，在Rt△ABE、Rt△ACE中，设BE = x，则CE = 5 - x，∴ 根据勾股定理得，AE² = AB² - BE² = AC² - CE² , ∴ 3² - x² = 4² - (5 - x)² ,整理得，10x = 18 , ∴ x = 1.8 , ∴ AE = $\sqrt{3² - 1.8²}$ =$\sqrt{5.76}$= 2.4.

9. 新趋势 尺规作图（2023·遂宁中考）如图，□ABCD中，BD为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若AD⊥BD，BD = 4，BC = 8，则AE的长为________.
　　

5 解析：如图所示，连接BE，根据基本作图，可设BE = AE = x , ∵ 在□ABCD中，AD⊥BD , BC = 8 , ∴ AD = BC = 8 , ∠BDE = 90° , ED = AD - AE = AD - BE = 8 - x. 在Rt△BDE中 , BD = 4 ,由勾股定理得BD² + DE² = BE² , ∴ x²=(8 - x)² + 4² ,解得x = 5 ,即AE = 5.