9. (2022·常州中考)如图,在四边形 ABCD 中,∠A= ∠ABC= 90°,DB 平分∠ADC.若 AD= 1,CD= 3,则 sin∠ABD= ______.
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10. (2022·绍兴中考)如图,AB= 10,点 C 是射线 BQ 上的动点,连接 AC,作 CD⊥AC,CD= AC,动点 E 在 AB 延长线上,tan∠QBE= 3,连接 CE、DE,当 CE= DE,CE⊥DE 时,BE 的长是______.
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11. (2022·无锡中考)如图,已知四边形 ABCD 为矩形,AB= 2$\sqrt{2}$,BC= 4,点 E 在 BC 上,CE= AE,将△ABC 沿 AC 翻折到△AFC,连接 EF.
(1)求 EF 的长;
(2)求 sin∠CEF 的值.
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12. (2022·成都中考)如图,在矩形 ABCD 中,AD= nAB(n ＞ 1),点 E 是 AD 边上一动点(点 E 不与 A、D 重合),连接 BE,以 BE 为边在直线 BE 的右侧作矩形 EBFG,使得矩形 EBFG∽矩形 ABCD,EG 交直线 CD 于点 H.
(1)【尝试初探】在点 E 的运动过程中,△ABE 与△DEH 始终保持相似关系,请说明理由.
(2)【深入探究】若 n= 2,随着点 E 位置的变化,点 H 的位置随之发生变化,当 H 是线段 CD 中点时,求 tan∠ABE 的值.
(3)【拓展延伸】连接 BH、FH,当△BFH 是以 FH 为腰的等腰三角形时,求 tan∠ABE 的值(用含 n 的代数式表示).
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