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1. 用长 4 cm、宽 3 cm 的小长方形按照下图所示的样子拼成大正方形。拼成的大正方形的边长最小是多少厘米？
答案
[4,3]=4×3=12（厘米）
答：拼成的大正方形的边长最小是12厘米。
答：拼成的大正方形的边长最小是12厘米。
解析
【分析】
要想用长4cm、宽3cm的小长方形拼成最小的大正方形，大正方形的边长需要同时是小长方形长和宽的倍数，也就是4和3的公倍数，要求边长最小，实际就是求4和3的最小公倍数。由于4和3是互质数，互质数的最小公倍数为它们的乘积。
【解析】
因为拼成的大正方形的边长最小是4和3的最小公倍数，且4和3互质，所以计算如下：
$[4,3]=4×3=12$（厘米）
答：拼成的大正方形的边长最小是12厘米。
【答案】
12厘米
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在图形拼接问题中的实际应用，核心是理解大正方形的边长必须是小长方形长和宽的公倍数，求最小边长即求两者的最小公倍数。
【难度系数】
0.8
要想用长4cm、宽3cm的小长方形拼成最小的大正方形，大正方形的边长需要同时是小长方形长和宽的倍数，也就是4和3的公倍数，要求边长最小，实际就是求4和3的最小公倍数。由于4和3是互质数，互质数的最小公倍数为它们的乘积。
【解析】
因为拼成的大正方形的边长最小是4和3的最小公倍数，且4和3互质，所以计算如下：
$[4,3]=4×3=12$（厘米）
答：拼成的大正方形的边长最小是12厘米。
【答案】
12厘米
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在图形拼接问题中的实际应用，核心是理解大正方形的边长必须是小长方形长和宽的公倍数，求最小边长即求两者的最小公倍数。
【难度系数】
0.8
2. 两根一样长的彩带，把其中一根剪成 10 cm 长的小段，另一根剪成 18 cm 长的小段，两根彩带都正好用完。剪成的两种不同规格的小段至少共有多少段？
答案
2 |10 18
-------
5 9
2×5×9=90（cm）
90÷10=9（段）
90÷18=5（段）
9+5=14（段）
答：剪成的两种不同规格的小段至少共有14段。
-------
5 9
2×5×9=90（cm）
90÷10=9（段）
90÷18=5（段）
9+5=14（段）
答：剪成的两种不同规格的小段至少共有14段。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确：两根彩带长度相同，且分别剪成10cm、18cm的小段都正好用完，说明彩带的长度是10和18的公倍数。要求剪成的两种小段至少共有多少段，那么彩带的长度应该取10和18的最小公倍数（因为长度越短，总段数越少）。接下来我们可以通过短除法求出10和18的最小公倍数，再分别计算两根彩带能剪出的段数，最后将段数相加即可得到总段数。
【解析】
1. 用短除法求10和18的最小公倍数：
```
2 |10 18
-------
5 9
```
因为5和9互质，所以最小公倍数为 $2×5×9=90$（cm），即彩带的长度至少是90cm。
2. 计算剪成10cm小段的数量：$90÷10=9$（段）
3. 计算剪成18cm小段的数量：$90÷18=5$（段）
4. 计算总段数：$9+5=14$（段）
答：剪成的两种不同规格的小段至少共有14段。
【答案】
14段
【知识点】
最小公倍数的应用、短除法求最小公倍数
【点评】
本题考查最小公倍数在实际问题中的应用，解题关键是理解“正好用完”“至少”的含义，明确彩带长度需取10和18的最小公倍数，再通过除法计算段数并求和。题目结合生活场景，考查学生对公倍数概念的理解与运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确：两根彩带长度相同，且分别剪成10cm、18cm的小段都正好用完，说明彩带的长度是10和18的公倍数。要求剪成的两种小段至少共有多少段，那么彩带的长度应该取10和18的最小公倍数（因为长度越短，总段数越少）。接下来我们可以通过短除法求出10和18的最小公倍数，再分别计算两根彩带能剪出的段数，最后将段数相加即可得到总段数。
【解析】
1. 用短除法求10和18的最小公倍数：
```
2 |10 18
-------
5 9
```
因为5和9互质，所以最小公倍数为 $2×5×9=90$（cm），即彩带的长度至少是90cm。
2. 计算剪成10cm小段的数量：$90÷10=9$（段）
3. 计算剪成18cm小段的数量：$90÷18=5$（段）
4. 计算总段数：$9+5=14$（段）
答：剪成的两种不同规格的小段至少共有14段。
【答案】
14段
【知识点】
最小公倍数的应用、短除法求最小公倍数
【点评】
本题考查最小公倍数在实际问题中的应用，解题关键是理解“正好用完”“至少”的含义，明确彩带长度需取10和18的最小公倍数，再通过除法计算段数并求和。题目结合生活场景，考查学生对公倍数概念的理解与运用能力。
【难度系数】
0.6
3. 大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在 20 和 30 之间。同学们发现当抱团口令为 3 或 4 或 6 时，每个人都可以抱团成功。有多少人在玩游戏？
“抱团”游戏的规则
当听到口令中所报的数后，相应人数的同学迅速抱在一起，算作成功。
“抱团”游戏的规则
当听到口令中所报的数后，相应人数的同学迅速抱在一起，算作成功。
答案
2×2×3=12
12×2=24
答：有24人在玩游戏。
12×2=24
答：有24人在玩游戏。
解析
【分析】
首先，根据“抱团口令为3或4或6时每个人都可以抱团成功”可知，玩游戏的人数是3、4、6的公倍数。我们需要先求出这三个数的最小公倍数，再找出在20到30之间的公倍数，这个数就是玩游戏的人数。具体思考步骤：
1. 先分解3、4、6的质因数：3是质数，4=2×2，6=2×3；
2. 最小公倍数是取各质因数的最高次幂相乘，即2×2×3=12；
3. 接着找12的倍数，看哪个倍数在20到30之间，12×2=24，符合范围，所以这个数就是答案。
【解析】
1. 求3、4、6的最小公倍数：
分解质因数：
3 = 3
4 = 2×2
6 = 2×3
最小公倍数为各质因数最高次幂的乘积：$2×2×3 = 12$
2. 找20~30之间12的倍数：
$12×2 = 24$，24在20和30之间，符合条件。
答：有24人在玩游戏。
【答案】
24人
【知识点】
公倍数与最小公倍数
【点评】
本题考查公倍数的实际应用，解题关键是理解“每个人都可以抱团成功”意味着人数是3、4、6的公倍数，先求出最小公倍数，再结合人数范围确定最终答案，需要学生掌握求最小公倍数的方法并能灵活运用到实际问题中。
【难度系数】
0.6
首先，根据“抱团口令为3或4或6时每个人都可以抱团成功”可知，玩游戏的人数是3、4、6的公倍数。我们需要先求出这三个数的最小公倍数，再找出在20到30之间的公倍数，这个数就是玩游戏的人数。具体思考步骤：
1. 先分解3、4、6的质因数：3是质数，4=2×2，6=2×3；
2. 最小公倍数是取各质因数的最高次幂相乘，即2×2×3=12；
3. 接着找12的倍数，看哪个倍数在20到30之间，12×2=24，符合范围，所以这个数就是答案。
【解析】
1. 求3、4、6的最小公倍数：
分解质因数：
3 = 3
4 = 2×2
6 = 2×3
最小公倍数为各质因数最高次幂的乘积：$2×2×3 = 12$
2. 找20~30之间12的倍数：
$12×2 = 24$，24在20和30之间，符合条件。
答：有24人在玩游戏。
【答案】
24人
【知识点】
公倍数与最小公倍数
【点评】
本题考查公倍数的实际应用，解题关键是理解“每个人都可以抱团成功”意味着人数是3、4、6的公倍数，先求出最小公倍数，再结合人数范围确定最终答案，需要学生掌握求最小公倍数的方法并能灵活运用到实际问题中。
【难度系数】
0.6
4. 一条 72 m 长的路，原来从一端起每隔 9 m 有一盏路灯（两端都有）。现在重新安装路灯，要从一端起每隔 6 m 装一盏。为了节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的。不需要重新安装的路灯有多少盏？
答案
9和6的最小公倍数是18。
72÷18=4
4+1=5（盏）
答：不需要重新安装的路灯有5盏。
72÷18=4
4+1=5（盏）
答：不需要重新安装的路灯有5盏。
解析
【分析】
要确定不需要重新安装的路灯数量，关键是找到原有路灯位置与新规划路灯位置重合的点。原有路灯每隔9米一盏，新路灯每隔6米一盏，重合位置到起点的距离必然是9和6的公倍数。首先需求出9和6的最小公倍数，以此确定重合位置的间隔距离；接着计算72米内包含多少个该间隔距离；最后结合“两端都有路灯”的植树问题规则，在间隔数基础上加1，得到不需要重新安装的路灯总数。
【解析】
1. 求9和6的最小公倍数：
对9和6分解质因数，9=3×3，6=2×3，因此两者的最小公倍数为2×3×3=18。
2. 计算72米内包含的最小公倍数间隔数：
72÷18=4（个）
3. 计算不需要重新安装的路灯数量：
由于两端都有路灯，根据植树问题“棵数=间隔数+1”，可得4+1=5（盏）
答：不需要重新安装的路灯有5盏。
【答案】
5盏
【知识点】
最小公倍数的应用、植树问题（两端都栽）
【点评】
本题是最小公倍数与植树问题的综合考查，核心在于理解重合路灯的位置是9和6的公倍数所在处，需牢记两端都栽的植树问题中棵数与间隔数的关系，避免遗漏起点的路灯。
【难度系数】
0.6
要确定不需要重新安装的路灯数量，关键是找到原有路灯位置与新规划路灯位置重合的点。原有路灯每隔9米一盏，新路灯每隔6米一盏，重合位置到起点的距离必然是9和6的公倍数。首先需求出9和6的最小公倍数，以此确定重合位置的间隔距离；接着计算72米内包含多少个该间隔距离；最后结合“两端都有路灯”的植树问题规则，在间隔数基础上加1，得到不需要重新安装的路灯总数。
【解析】
1. 求9和6的最小公倍数：
对9和6分解质因数，9=3×3，6=2×3，因此两者的最小公倍数为2×3×3=18。
2. 计算72米内包含的最小公倍数间隔数：
72÷18=4（个）
3. 计算不需要重新安装的路灯数量：
由于两端都有路灯，根据植树问题“棵数=间隔数+1”，可得4+1=5（盏）
答：不需要重新安装的路灯有5盏。
【答案】
5盏
【知识点】
最小公倍数的应用、植树问题（两端都栽）
【点评】
本题是最小公倍数与植树问题的综合考查，核心在于理解重合路灯的位置是9和6的公倍数所在处，需牢记两端都栽的植树问题中棵数与间隔数的关系，避免遗漏起点的路灯。
【难度系数】
0.6
5. “五月江南碧苍苍，蚕老枇杷黄。”塘栖枇杷是浙江省的特色果品。李叔叔采购了一批塘栖枇杷，总个数在 100 以内。如果每 15 个装一盒，那么最后一盒还差 2 个；如果每 20 个装一盒，那么最后一盒也差 2 个；如果每 30 个装一盒，那么最后一盒仍差 2 个。这批塘栖枇杷一共有()个。
答案
15=3×5
20=2×2×5
30=2×3×5
15、20、30的最小公倍数为：2×2×3×5=60
60-2=58（个）
答：这批塘栖枇杷一共有58个。
20=2×2×5
30=2×3×5
15、20、30的最小公倍数为：2×2×3×5=60
60-2=58（个）
答：这批塘栖枇杷一共有58个。
解析
【分析】
首先，我们需要理解题目中的关键条件：每15个、20个、30个装一盒时，最后一盒都差2个。这意味着如果给这批枇杷补上2个，那么补上后的总数就能同时被15、20、30整除，也就是补上后的数是这三个数的公倍数。由于枇杷总个数在100以内，所以我们先求出15、20、30的最小公倍数，再减去补上的2个，就能得到这批枇杷的实际数量。
【解析】
1. 分解质因数求15、20、30的最小公倍数：
$15 = 3×5$
$20 = 2×2×5$
$30 = 2×3×5$
2. 最小公倍数是三个数公有质因数与各自独有质因数的乘积：
$2×2×3×5 = 60$
3. 因为补上2个后总数为60，所以实际枇杷数量为：
$60 - 2 = 58$（个）
验证：58在100以内，符合题目要求。
【答案】
58
【知识点】
最小公倍数应用、分解质因数求公倍数
【点评】
本题考查公倍数的实际应用，解题关键是将“装盒差2个”的条件转化为“总数加2后是公倍数”，通过求最小公倍数来解决问题，需要掌握分解质因数求最小公倍数的方法，培养转化思维。
【难度系数】
0.6
首先，我们需要理解题目中的关键条件：每15个、20个、30个装一盒时，最后一盒都差2个。这意味着如果给这批枇杷补上2个，那么补上后的总数就能同时被15、20、30整除，也就是补上后的数是这三个数的公倍数。由于枇杷总个数在100以内，所以我们先求出15、20、30的最小公倍数，再减去补上的2个，就能得到这批枇杷的实际数量。
【解析】
1. 分解质因数求15、20、30的最小公倍数：
$15 = 3×5$
$20 = 2×2×5$
$30 = 2×3×5$
2. 最小公倍数是三个数公有质因数与各自独有质因数的乘积：
$2×2×3×5 = 60$
3. 因为补上2个后总数为60，所以实际枇杷数量为：
$60 - 2 = 58$（个）
验证：58在100以内，符合题目要求。
【答案】
58
【知识点】
最小公倍数应用、分解质因数求公倍数
【点评】
本题考查公倍数的实际应用，解题关键是将“装盒差2个”的条件转化为“总数加2后是公倍数”，通过求最小公倍数来解决问题，需要掌握分解质因数求最小公倍数的方法，培养转化思维。
【难度系数】
0.6
