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1. 先在 4 的倍数上画“○”，6 的倍数上画“△”，再将下图补充完整。
30 以内(含 30)4 的倍数 30 以内(含 30)6 的倍数
30 以内(含 30)4 和 6 的公倍数
4 和 6 的最小公倍数是()。
30 以内(含 30)4 的倍数 30 以内(含 30)6 的倍数
30 以内(含 30)4 和 6 的公倍数
4 和 6 的最小公倍数是()。
答案
1. 标记表格：
在4、8、12、16、20、24、28上画“○”；
在6、12、18、24、30上画“△”。
2. 补充韦恩图：
左椭圆（仅30以内4的倍数）：4、8、16、20、28
中间交集（30以内4和6的公倍数）：12、24
右椭圆（仅30以内6的倍数）：6、18、30
3. 填空：4和6的最小公倍数是(12)。
在4、8、12、16、20、24、28上画“○”；
在6、12、18、24、30上画“△”。
2. 补充韦恩图：
左椭圆（仅30以内4的倍数）：4、8、16、20、28
中间交集（30以内4和6的公倍数）：12、24
右椭圆（仅30以内6的倍数）：6、18、30
3. 填空：4和6的最小公倍数是(12)。
解析
【分析】
首先要明确倍数、公倍数、最小公倍数的概念。解题思路分为三步：第一步，通过乘法运算找出30以内（含30）4和6各自的倍数，按要求做标记；第二步，根据韦恩图的逻辑，将只属于4的倍数放在左椭圆，只属于6的倍数放在右椭圆，两者共有的倍数（公倍数）放在中间交集区域；第三步，从公倍数中找出最小的数，即为4和6的最小公倍数。
【解析】
1. 标记倍数：
计算30以内4的倍数：$4×1=4$，$4×2=8$，$4×3=12$，$4×4=16$，$4×5=20$，$4×6=24$，$4×7=28$，所以在4、8、12、16、20、24、28上画“○”；
计算30以内6的倍数：$6×1=6$，$6×2=12$，$6×3=18$，$6×4=24$，$6×5=30$，所以在6、12、18、24、30上画“△”。
2. 补充韦恩图：
左椭圆（仅30以内4的倍数）：去掉4和6的公倍数12、24，剩余4、8、16、20、28；
中间交集（30以内4和6的公倍数）：同时是4和6倍数的数，即12、24；
右椭圆（仅30以内6的倍数）：去掉4和6的公倍数12、24，剩余6、18、30。
3. 确定最小公倍数：在公倍数12、24中，最小的数是12，所以4和6的最小公倍数是12。
【答案】
标记：在4、8、12、16、20、24、28上画“○”；在6、12、18、24、30上画“△”。
韦恩图补充：左椭圆填4、8、16、20、28；中间交集填12、24；右椭圆填6、18、30。
4和6的最小公倍数是(12)。
【知识点】
1. 倍数的概念
2. 公倍数与最小公倍数
3. 韦恩图的应用
【点评】
本题结合标记操作和韦恩图形式，考查倍数、公倍数及最小公倍数的相关知识，既要求学生掌握倍数的求法，又能通过韦恩图直观理解公倍数的含义，帮助学生深化对公倍数概念的认知，掌握找两个数最小公倍数的基本方法。
【难度系数】
0.7
首先要明确倍数、公倍数、最小公倍数的概念。解题思路分为三步：第一步，通过乘法运算找出30以内（含30）4和6各自的倍数，按要求做标记；第二步，根据韦恩图的逻辑，将只属于4的倍数放在左椭圆，只属于6的倍数放在右椭圆，两者共有的倍数（公倍数）放在中间交集区域；第三步，从公倍数中找出最小的数，即为4和6的最小公倍数。
【解析】
1. 标记倍数：
计算30以内4的倍数：$4×1=4$，$4×2=8$，$4×3=12$，$4×4=16$，$4×5=20$，$4×6=24$，$4×7=28$，所以在4、8、12、16、20、24、28上画“○”；
计算30以内6的倍数：$6×1=6$，$6×2=12$，$6×3=18$，$6×4=24$，$6×5=30$，所以在6、12、18、24、30上画“△”。
2. 补充韦恩图：
左椭圆（仅30以内4的倍数）：去掉4和6的公倍数12、24，剩余4、8、16、20、28；
中间交集（30以内4和6的公倍数）：同时是4和6倍数的数，即12、24；
右椭圆（仅30以内6的倍数）：去掉4和6的公倍数12、24，剩余6、18、30。
3. 确定最小公倍数：在公倍数12、24中，最小的数是12，所以4和6的最小公倍数是12。
【答案】
标记：在4、8、12、16、20、24、28上画“○”；在6、12、18、24、30上画“△”。
韦恩图补充：左椭圆填4、8、16、20、28；中间交集填12、24；右椭圆填6、18、30。
4和6的最小公倍数是(12)。
【知识点】
1. 倍数的概念
2. 公倍数与最小公倍数
3. 韦恩图的应用
【点评】
本题结合标记操作和韦恩图形式，考查倍数、公倍数及最小公倍数的相关知识，既要求学生掌握倍数的求法，又能通过韦恩图直观理解公倍数的含义，帮助学生深化对公倍数概念的认知，掌握找两个数最小公倍数的基本方法。
【难度系数】
0.7
(1)由右图可知，下列说法错误的是()。
$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {12\quad30}\\ 3\enclose{longdiv} {6\quad15}\\ 2\quad5\end{array}$
A.12 和 30 的最大公因数是 $2×3 = 6$
B.12 和 30 公有的质因数是 2 和 5
C.12 和 30 公有的因数有 1，2，3，6
D.12 和 30 的最小公倍数是 $2×2×3×5 = 60$
$\begin{array}{r} 2\enclose{longdiv} {12\quad30}\\ 3\enclose{longdiv} {6\quad15}\\ 2\quad5\end{array}$
A.12 和 30 的最大公因数是 $2×3 = 6$
B.12 和 30 公有的质因数是 2 和 5
C.12 和 30 公有的因数有 1，2，3，6
D.12 和 30 的最小公倍数是 $2×2×3×5 = 60$
答案
B
解析
1. 分析选项A：短除法中除数2和3相乘得6，是12和30的最大公因数，该选项正确。
2. 分析选项B：12和30公有的质因数是2和3，5不是12的质因数，不是两者公有的质因数，该选项错误。
3. 分析选项C：列举12和30的因数，可得公有的因数为1,2,3,6，该选项正确。
4. 分析选项D：最小公倍数为除数与商的乘积2×3×2×5=60，该选项正确。
2. 分析选项B：12和30公有的质因数是2和3，5不是12的质因数，不是两者公有的质因数，该选项错误。
3. 分析选项C：列举12和30的因数，可得公有的因数为1,2,3,6，该选项正确。
4. 分析选项D：最小公倍数为除数与商的乘积2×3×2×5=60，该选项正确。
(2)已知 $a$ 和 $b$($a$，$b$ 均不为 0)的最小公倍数是 $a×b$，则下列说法中，一定正确的是()。
A.$a$ 和 $b$ 都是质数
B.$a$ 和 $b$ 中有一个数是 1
C.$a$ 和 $b$ 是连续的自然数
D.$\frac{a}{b}$ 是最简分数
A.$a$ 和 $b$ 都是质数
B.$a$ 和 $b$ 中有一个数是 1
C.$a$ 和 $b$ 是连续的自然数
D.$\frac{a}{b}$ 是最简分数
答案
D
解析
根据知识点，当两个数的最小公倍数是它们的乘积时，这两个数是互质数（公因数只有1）。
选项A：互质数不一定都是质数，例如4和9是互质数，但4是合数，故A错误；
选项B：互质数不一定包含1，例如2和3是互质数，都不为1，故B错误；
选项C：互质数不一定是连续自然数，例如4和9是互质数，但不连续，故C错误；
选项D：互质数的公因数只有1，因此$\frac{a}{b}$的分子分母公因数只有1，是最简分数，故D正确。
选项A：互质数不一定都是质数，例如4和9是互质数，但4是合数，故A错误；
选项B：互质数不一定包含1，例如2和3是互质数，都不为1，故B错误；
选项C：互质数不一定是连续自然数，例如4和9是互质数，但不连续，故C错误；
选项D：互质数的公因数只有1，因此$\frac{a}{b}$的分子分母公因数只有1，是最简分数，故D正确。
3. 找出下列每组数的最小公倍数，你发现了什么？
3 和 4() 2 和 13() 4 和 12() 7 和 11()
11 和 22() 9 和 27() 8 和 40() 56 和 8()
我发现：当两个数的最大公因数是 1 时，它们的最小公倍数是()；当两个数中较大的数是较小的数的倍数时，它们的最小公倍数是()。
我会做：如果甲数和乙数是相邻的两个自然数(甲、乙两数均不为 0)，那么甲、乙两数的最小公倍数是()。
3 和 4() 2 和 13() 4 和 12() 7 和 11()
11 和 22() 9 和 27() 8 和 40() 56 和 8()
我发现：当两个数的最大公因数是 1 时，它们的最小公倍数是()；当两个数中较大的数是较小的数的倍数时，它们的最小公倍数是()。
我会做：如果甲数和乙数是相邻的两个自然数(甲、乙两数均不为 0)，那么甲、乙两数的最小公倍数是()。
答案
3 和 4(12) 2 和 13(26) 4 和 12(12) 7 和 11(77)
11 和 22(22) 9 和 27(27) 8 和 40(40) 56 和 8(56)
我发现：当两个数的最大公因数是 1 时，它们的最小公倍数是(这两个数的乘积)；当两个数中较大的数是较小的数的倍数时，它们的最小公倍数是(较大的数)。
我会做：如果甲数和乙数是相邻的两个自然数(甲、乙两数均不为 0)，那么甲、乙两数的最小公倍数是(甲、乙两数的乘积)。
11 和 22(22) 9 和 27(27) 8 和 40(40) 56 和 8(56)
我发现：当两个数的最大公因数是 1 时，它们的最小公倍数是(这两个数的乘积)；当两个数中较大的数是较小的数的倍数时，它们的最小公倍数是(较大的数)。
我会做：如果甲数和乙数是相邻的两个自然数(甲、乙两数均不为 0)，那么甲、乙两数的最小公倍数是(甲、乙两数的乘积)。
解析
【分析】
首先我们需要回忆最小公倍数的定义：两个数公有的倍数中最小的那个数就是它们的最小公倍数。解题时可以分两类来看每组数：
1. 先观察每组数的关系，判断是互质（最大公因数为1）还是倍数关系；
2. 对于互质的两个数，比如3和4、2和13这类，它们的最小公倍数就是两数的乘积，因为除了1没有其他公因数，所以最小公倍数只能是它们相乘的结果；
3. 对于存在倍数关系的两个数，比如4和12、11和22这类，较大数本身就是较小数的倍数，所以较大数就是它们的最小公倍数；
4. 最后根据前面的计算结果总结规律，再利用规律解决相邻自然数的最小公倍数问题，因为相邻的自然数是互质的，所以套用互质数的规律即可。
【解析】
1. 计算每组数的最小公倍数：
3和4：3和4互质，最小公倍数为3×4=12；
2和13：2和13互质，最小公倍数为2×13=26；
4和12：12是4的倍数，最小公倍数为12；
7和11：7和11互质，最小公倍数为7×11=77；
11和22：22是11的倍数，最小公倍数为22；
9和27：27是9的倍数，最小公倍数为27；
8和40：40是8的倍数，最小公倍数为40；
56和8：56是8的倍数，最小公倍数为56；
2. 总结规律：
当两个数的最大公因数是1时，它们的最小公倍数是这两个数的乘积；
当两个数中较大的数是较小的数的倍数时，它们的最小公倍数是较大的数；
3. 解决“我会做”：
相邻的两个自然数（均不为0）是互质数，最大公因数为1，所以它们的最小公倍数是甲、乙两数的乘积。
【答案】
3 和 4(12) 2 和 13(26) 4 和 12(12) 7 和 11(77)
11 和 22(22) 9 和 27(27) 8 和 40(40) 56 和 8(56)
我发现：当两个数的最大公因数是 1 时，它们的最小公倍数是(这两个数的乘积)；当两个数中较大的数是较小的数的倍数时，它们的最小公倍数是(较大的数)。
我会做：如果甲数和乙数是相邻的两个自然数(甲、乙两数均不为 0)，那么甲、乙两数的最小公倍数是(甲、乙两数的乘积)。
【知识点】
1. 最小公倍数求法
2. 互质数性质
3. 倍数关系数的公倍数特征
【点评】
本题通过计算不同类型数对的最小公倍数，引导学生总结规律，帮助学生快速掌握两种特殊数对的最小公倍数求法，加深对最小公倍数概念的理解，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先我们需要回忆最小公倍数的定义：两个数公有的倍数中最小的那个数就是它们的最小公倍数。解题时可以分两类来看每组数：
1. 先观察每组数的关系，判断是互质（最大公因数为1）还是倍数关系；
2. 对于互质的两个数，比如3和4、2和13这类，它们的最小公倍数就是两数的乘积，因为除了1没有其他公因数，所以最小公倍数只能是它们相乘的结果；
3. 对于存在倍数关系的两个数，比如4和12、11和22这类，较大数本身就是较小数的倍数，所以较大数就是它们的最小公倍数；
4. 最后根据前面的计算结果总结规律，再利用规律解决相邻自然数的最小公倍数问题，因为相邻的自然数是互质的，所以套用互质数的规律即可。
【解析】
1. 计算每组数的最小公倍数：
3和4：3和4互质，最小公倍数为3×4=12；
2和13：2和13互质，最小公倍数为2×13=26；
4和12：12是4的倍数，最小公倍数为12；
7和11：7和11互质，最小公倍数为7×11=77；
11和22：22是11的倍数，最小公倍数为22；
9和27：27是9的倍数，最小公倍数为27；
8和40：40是8的倍数，最小公倍数为40；
56和8：56是8的倍数，最小公倍数为56；
2. 总结规律：
当两个数的最大公因数是1时，它们的最小公倍数是这两个数的乘积；
当两个数中较大的数是较小的数的倍数时，它们的最小公倍数是较大的数；
3. 解决“我会做”：
相邻的两个自然数（均不为0）是互质数，最大公因数为1，所以它们的最小公倍数是甲、乙两数的乘积。
【答案】
3 和 4(12) 2 和 13(26) 4 和 12(12) 7 和 11(77)
11 和 22(22) 9 和 27(27) 8 和 40(40) 56 和 8(56)
我发现：当两个数的最大公因数是 1 时，它们的最小公倍数是(这两个数的乘积)；当两个数中较大的数是较小的数的倍数时，它们的最小公倍数是(较大的数)。
我会做：如果甲数和乙数是相邻的两个自然数(甲、乙两数均不为 0)，那么甲、乙两数的最小公倍数是(甲、乙两数的乘积)。
【知识点】
1. 最小公倍数求法
2. 互质数性质
3. 倍数关系数的公倍数特征
【点评】
本题通过计算不同类型数对的最小公倍数，引导学生总结规律，帮助学生快速掌握两种特殊数对的最小公倍数求法，加深对最小公倍数概念的理解，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 24 可能是哪两个数的最小公倍数？你能写出几组？
答案
1和24
2和24
3和24
4和24
6和24
8和24
12和24
3和8
6和8
8和12
答：能写出10组，分别是1和24，2和24，3和24，4和24，6和24，8和24，12和24，3和8，6和8，8和12。
2和24
3和24
4和24
6和24
8和24
12和24
3和8
6和8
8和12
答：能写出10组，分别是1和24，2和24，3和24，4和24，6和24，8和24，12和24，3和8，6和8，8和12。
解析
【分析】
要找出最小公倍数是24的两个数，可分两种情况梳理思路：
1. 倍数关系情况：若两个数成倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数。所以当其中一个数是24时，另一个数只要是24的因数（除24本身外），就能满足最小公倍数是24，先找出24的所有因数，再和24配对即可。
2. 非倍数关系情况：两个数都不是24，但它们的最小公倍数是24。可通过分解24的质因数（24=2³×3），找出质因数组合后能得到最小公倍数24的数对，比如互质数的乘积为24，或两个数的质因数最高次幂乘积为24的情况，需逐一验证避免遗漏。
【解析】
步骤1：找出24的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、24。
步骤2：整理倍数关系的数对：
当其中一个数为24时，另一个数为24的因数（排除24），得到数对：(1,24)、(2,24)、(3,24)、(4,24)、(6,24)、(8,24)、(12,24)，共7组。
步骤3：整理非倍数关系的数对：
通过分析质因数和验证，得到满足条件的数对：(3,8)、(6,8)、(8,12)，共3组。
步骤4：汇总所有数对，总共7+3=10组。
【答案】
能写出10组，分别是1和24，2和24，3和24，4和24，6和24，8和24，12和24，3和8，6和8，8和12。
【知识点】
1. 最小公倍数概念
2. 因数的应用
3. 质因数分解求最小公倍数
【点评】
本题考查最小公倍数的综合应用，解题核心是分“倍数关系”和“非倍数关系”两种情况讨论，既需要掌握倍数关系下最小公倍数的规律，也需要能通过质因数分解分析非倍数关系的数对，解题时要注意避免遗漏非倍数关系的组合，同时数对不重复计数。
【难度系数】
0.4
要找出最小公倍数是24的两个数，可分两种情况梳理思路：
1. 倍数关系情况：若两个数成倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数。所以当其中一个数是24时，另一个数只要是24的因数（除24本身外），就能满足最小公倍数是24，先找出24的所有因数，再和24配对即可。
2. 非倍数关系情况：两个数都不是24，但它们的最小公倍数是24。可通过分解24的质因数（24=2³×3），找出质因数组合后能得到最小公倍数24的数对，比如互质数的乘积为24，或两个数的质因数最高次幂乘积为24的情况，需逐一验证避免遗漏。
【解析】
步骤1：找出24的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、24。
步骤2：整理倍数关系的数对：
当其中一个数为24时，另一个数为24的因数（排除24），得到数对：(1,24)、(2,24)、(3,24)、(4,24)、(6,24)、(8,24)、(12,24)，共7组。
步骤3：整理非倍数关系的数对：
通过分析质因数和验证，得到满足条件的数对：(3,8)、(6,8)、(8,12)，共3组。
步骤4：汇总所有数对，总共7+3=10组。
【答案】
能写出10组，分别是1和24，2和24，3和24，4和24，6和24，8和24，12和24，3和8，6和8，8和12。
【知识点】
1. 最小公倍数概念
2. 因数的应用
3. 质因数分解求最小公倍数
【点评】
本题考查最小公倍数的综合应用，解题核心是分“倍数关系”和“非倍数关系”两种情况讨论，既需要掌握倍数关系下最小公倍数的规律，也需要能通过质因数分解分析非倍数关系的数对，解题时要注意避免遗漏非倍数关系的组合，同时数对不重复计数。
【难度系数】
0.4
