跟踪训练
5.（2024·泰州姜堰二模）已知二次函数$y = ax^{2} + b$（$a$，$b$为常数，$a\neq0$）的图像与$y$轴交于点$C$，$P$为二次函数图像上一动点，以$OP$为直径作$\odot M$，过点$Q(0,t)$（$t$为常数）作直线$l$垂直于$y$轴.
（1）若$a = 1$，$b = - 1$，且$\odot M$与直线$l$交于$A$，$B$两点.
①当点$P$与点$C$重合时，点$M$的坐标为________，$t$的取值范围是________.
②是否存在实数$t$，使$AB$的长为定值？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由.
（2）若不论点$P$如何运动，$\odot M$与直线$l$始终相切，当$a = 2$时，求$b$的值.

（1）①当$a = 1$，$b = - 1$时，二次函数的表达式为$y = x^{2}-1$.令$x = 0$，得$y = - 1$.$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-1)$.$\because OC$为直径，$M$为圆心，$\therefore$点$M$的坐标为$(0,-\frac{1}{2})$.$\because$直线$l$与$\odot M$有两个交点，$\therefore - 1＜t＜0$.②存在.设点$P$的坐标为$(s,s^{2}-1)$，则点$M$的坐标为$(\frac{1}{2}s,\frac{1}{2}s^{2}-\frac{1}{2})$.$\therefore\odot M$的半径为$\frac{1}{2}\sqrt{s^{2}+(s^{2}-1)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{s^{4}-s^{2}+1}$，点$M$到直线$l$的距离为$\vert\frac{1}{2}s^{2}-\frac{1}{2}-t\vert$.根据垂径定理，可得$AB = 2\sqrt{(\frac{1}{2}\sqrt{s^{4}-s^{2}+1})^{2}-(\frac{1}{2}s^{2}-\frac{1}{2}-t)^{2}}=\sqrt{(4t + 1)s^{2}-4t^{2}-4t}$.$\because AB$为定值，即与$s$无关，$\therefore 4t + 1 = 0$，解得$t = -\frac{1}{4}$.（2）$\because a = 2$，$\therefore$二次函数的表达式为$y = 2x^{2}+b$.设点$P$的坐标为$(n,2n^{2}+b)$.$\therefore$点$M$的坐标为$(\frac{1}{2}n,n^{2}+\frac{1}{2}b)$.$\therefore OM=\frac{1}{2}\sqrt{4n^{4}+(4b + 1)n^{2}+b^{2}}$，点$M$到直线$l$的距离为$\vert n^{2}+\frac{1}{2}b - t\vert$.根据切线的性质可知，$\vert n^{2}+\frac{1}{2}b - t\vert=\frac{1}{2}\sqrt{4n^{4}+(4b + 1)n^{2}+b^{2}}$.整理，得$(2t+\frac{1}{4})n^{2}=t^{2}-bt$.$\because$无论$n$取何值，等式恒成立，$\therefore 2t+\frac{1}{4}=0$，$t^{2}-bt = 0$.$\therefore t = -\frac{1}{8}$，$b = -\frac{1}{8}$.$\therefore b$的值为$-\frac{1}{8}$.