典例6（2023·苏州）如图，在$\square ABCD$中，$AB=\sqrt{3}+1$，$BC = 2$，$AH\perp CD$，垂足为$H$，$AH=\sqrt{3}$.以点$A$为圆心，$AH$长为半径画弧，与$AB$，$AC$，$AD$分别交于点$E$，$F$，$G$.若用扇形$EAF$围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为$r_{1}$，用扇形$GAH$围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为$r_{2}$，则$r_{1}-r_{2}=$______（结果保留根号）.

在□ABCD中，AB = $\sqrt{3}$+1，BC = 2，∴ AD = BC = 2，CD = AB = $\sqrt{3}$+1，AB//CD. ∵ AH⊥CD，AH = $\sqrt{3}$，∴ $\sin D$=$\frac{AH}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$. ∴ ∠D = 60°. ∴ ∠DAH = 30°. ∴ DH = $\frac{1}{2}$AD = 1. ∴ CH = CD - DH = $\sqrt{3}$. ∴ CH = AH. ∵ AH⊥CD，∴ △ACH是等腰直角三角形. ∴ ∠ACH = ∠CAH = 45°. ∵ AB//CD，∴ ∠BAC = ∠ACH = 45°. ∴ $\frac{45\pi×\sqrt{3}}{180}$=2$\pi r_{1}$ ①，$\frac{30\pi×\sqrt{3}}{180}$=2$\pi r_{2}$ ②. 由① - ②，得$\frac{15\sqrt{3}\pi}{180}$=2$\pi(r_{1}-r_{2})$. ∴ $r_{1}-r_{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{24}$.

典例7（2023·连云港）如图，矩形$ABCD$内接于$\odot O$，分别以$AB$，$BC$，$CD$，$AD$为直径向外作半圆.若$AB = 4$，$BC = 5$，则涂色部分的面积为（ ）



A. $\frac{41}{4}\pi - 20$
B. $\frac{41}{2}\pi - 20$
C. $20\pi$
D. $20$

如图，连接BD，则BD过点O. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD = BC = 5，∠BAD = 90°. ∴ 在Rt△ABD中，BD$^{2}$=AB$^{2}$+AD$^{2}$=4$^{2}$+5$^{2}$=41. ∴ S$_{涂色}$=S$_{以AD为直径的圆}$+S$_{以AB为直径的圆}$+S$_{矩形ABCD}$-S$_{以BD为直径的圆}$=$\pi×(\frac{5}{2})^{2}$+$\pi×(\frac{4}{2})^{2}$+4×5-$\pi×(\frac{BD}{2})^{2}$=$\frac{41\pi}{4}$+20-$\frac{41\pi}{4}$=20. 故选D.

典例8（2024·淮安涟水模拟）如图，$P$是$\odot O$的直径$BA$的延长线上一点，$OA = AP$，$OP$绕点$P$按逆时针方向旋转$60^{\circ}$，点$O$旋转到点$C$，连接$OC$，交$\odot O$于点$D$，连接$DP$.

(1)判断直线$DP$与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
(2)若$AB = 2$，求涂色部分的面积.

(1) DP是⊙O的切线. 理由：如图，连接AD. 由旋转的性质，得∠OPC = 60°，OP = CP，∴ △OCP是等边三角形. ∴ ∠AOD = 60°. ∵ OA = OD，∴ △AOD是等边三角形. ∴ ∠OAD = ∠ODA = 60°，OA = AD. ∵ OA = AP，∴ AP = AD. ∴ ∠APD = ∠ADP. ∵ ∠OAD = ∠APD + ∠ADP，∴ ∠ADP = 30°. ∴ ∠ODP = ∠ADP + ∠ODA = 90°. ∴ DP⊥OD. ∵ OD是⊙O的半径，∴ DP是⊙O的切线. (2) ∵ AB = 2，∴ OA = OD = 1. ∴ OP = 2OA = 2. 由(1)知，∠ODP = 90°，∴ 在Rt△ODP中，DP = $\sqrt{OP^{2}-OD^{2}}$=$\sqrt{3}$. ∴ S$_{△ODP}$=$\frac{1}{2}$DP·OD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$. ∵ S$_{扇形AOD}$=$\frac{60\pi×1^{2}}{360}$=$\frac{\pi}{6}$，∴ S$_{涂色}$=S$_{△ODP}$-S$_{扇形AOD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\pi}{6}$.

1.（2024·无锡梁溪一模）若一个圆锥底面圆的半径为6 cm，母线长为9 cm，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. 54 cm²
B. 54π cm²
C. 108 cm²
D. 108π cm²

B

2.（2024·扬州宝应二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算. 如图，利用⊙O内接正十二边形ABCDEFGHIJKL的面积作近似估计，可得π的估计值为（ ）

A. $\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{2}$
C. 3
D. $2\sqrt{3}$

C