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1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 （ ）
A. 对角线相等
B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分
D. 对角线互相垂直且相等
A. 对角线相等
B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分
D. 对角线互相垂直且相等
答案
C
2. 下列命题正确的是 （ ）
A. 四个角都相等的四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是正方形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
A. 四个角都相等的四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是正方形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
答案
D
3.（2024·长春期中）如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF、CF，并延长CF交AD于点E. 若∠AFC = 130°，则∠BAF的度数为 （ ）
A. 80°
B. 75°
C. 70°
D. 65°
A. 80°
B. 75°
C. 70°
D. 65°
答案
C
4. 平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，请添加一个条件：____________，使得平行四边形ABCD为正方形.
答案
∠BAD = 90°(答案不唯一)
5.（2024·广州期末）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED = ________度.
答案
45
6. 如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为点E、F. 若正方形ABCD的周长为8 cm，则四边形EBFP的周长为________ cm.
答案
4
7.（枣庄中考改编）如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE = CF.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AC = 4，AE = CF = 1，求四边形BEDF的周长.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AC = 4，AE = CF = 1，求四边形BEDF的周长.
答案
(1)连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD = OB = OA = OC.∵AE = CF，∴OA - AE = OC - CF，即OE = OF.∴四边形BEDF为平行四边形，又∵BD⊥EF，∴四边形BEDF是菱形.
(2)由(1)得，四边形BEDF为菱形，∴DE = DF = BE = BF.∵AC = BD = 4，∴OA = OC = OD = OB = 2，OE = OF = $\frac{4 - 2}{2}$ = 1.在Rt△DOE中，由勾股定理得DE = $\sqrt{OD^{2} + OE^{2}}$ = $\sqrt{2^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{5}$，∴菱形BEDF的周长 = 4DE = 4×$\sqrt{5}$ = 4$\sqrt{5}$.
(2)由(1)得，四边形BEDF为菱形，∴DE = DF = BE = BF.∵AC = BD = 4，∴OA = OC = OD = OB = 2，OE = OF = $\frac{4 - 2}{2}$ = 1.在Rt△DOE中，由勾股定理得DE = $\sqrt{OD^{2} + OE^{2}}$ = $\sqrt{2^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{5}$，∴菱形BEDF的周长 = 4DE = 4×$\sqrt{5}$ = 4$\sqrt{5}$.
8.（重庆中考改编）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N. 若四边形MOND的面积是1，则AB的长为 （ ）
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. $\sqrt{8}$
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. $\sqrt{8}$
答案
8.C 解析:∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO = ∠NCO = 45°，OD = OC，∠DOC = 90°，∴∠DON + ∠CON = 90°.∵ON⊥OM，∴∠MON = 90°，∴∠DON + ∠DOM = 90°，∴∠DOM = ∠CON.在△DOM和△CON中，$\begin{cases} \angle DOM = \angle CON \\ OD = OC \\ \angle MDO = \angle NCO \end{cases}$，∴△DOM≌△CON(ASA).∵S四边形MOND = 1，S四边形MOND = S△DOM + S△DON = S△CON + S△DON = S△DOC，∴S△DOC = 1，∴S正方形ABCD = 4，∴AB² = 4，∴AB = 2.故选C.
9.（2024·河南中考改编）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-2,0)，点E在边CD上. 将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处. 若点F的坐标为(0,6)，则点E的坐标为 （ ）
A. (3,10)
B. (4,10)
C. (3,9)
D. (4,9)
A. (3,10)
B. (4,10)
C. (3,9)
D. (4,9)
答案
9.A 解析:如图，设正方形ABCD的边长为a，CD与y轴交于点G，则四边形AOGD是矩形，∴OG = AD = a，DG = AO，∠EGF = 90°，由折叠可得BF = BC = a，CE = FE.∵点A的坐标为(-2,0)，点F的坐标为(0，6)，∴AO = 2，FO = 6，∴BO = AB - AO = a - 2，在Rt△BOF中，BO² + FO² = BF²，∴(a - 2)² + 6² = a²，解得a = 10，∴FG = OG - OF = 4，GE = CD - DG - CE = 8 - CE，在Rt△EGF中，GE² + FG² = EF²，∴(8 - CE)² + 4² = CE²，解得CE = 5，∴GE = 3，∴点E的坐标为(3,10)，故选A.
