8.（2023·西藏中考改编）如图，两张宽为$\sqrt{3}$的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC = 60°，则阴影部分的面积是______.

$2\sqrt{3}$ 解析：如图，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，BF⊥CD 于点 F，根据题意得 AD//BC，AB//CD，BE = BF = $\sqrt{3}$，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ ∠ABC = ∠ADC = 60°，∴ ∠ABE = ∠CBF = 30°，∴ AB = 2AE，BC = 2CF. ∵ $AB^{2}=AE^{2}+BE^{2}$，BE = $\sqrt{3}$，∴ AB = 2，同理 BC = 2，∴ AB = BC，∴ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AD = 2，∴ $S_{菱形 ABCD}$ = AD×BE = $2\sqrt{3}$.

9. 平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别是A(-1,m)、B(-4,0)、C(1,0)、D(a,m)，且m＞0，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为______.

(4, 4) 或 (-6, $\sqrt{21}$) 解析：作 AM⊥BC 于点 M. ∵ A(-1, m)、B(-4, 0)、C(1, 0)、D(a, m)，且 m＞0，∴ AD//BC，OB = 4，OC = 1，OM = 1，∴ AD = BC = 5，BM = 3，CM = 2. 分两种情况：①当点 D 在点 A 的右侧时，如图①所示. ∵ 以点 A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形，∴ AB = BC = 5，∴ AM = $\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}$ = 4，∴ 点 D 的坐标为 (4, 4)；②当点 D 在点 A 的左侧时，如图②所示. ∵ 以点 A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形，∴ AC = BC = AD = 5，∴ AM = $\sqrt{AC^{2}-CM^{2}}$ = $\sqrt{21}$，∴ 点 D 的坐标为 (-6, $\sqrt{21}$). 综上所述，若以点 A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形时，点 D 的坐标为 (4, 4) 或 (-6, $\sqrt{21}$).
　　

10.（2024·杭州期末）如图，在矩形ABCD中，AB = 6.点P，点Q同时从点A出发，沿AB方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B，待点P继续运动到点B时结束运动.设运动时间为t，已知当t = 1时，线段DC上有一点M，使四边形PQMD是菱形.若运动过程中，线段DC上另有一点N，使四边形PQND是菱形，则此时t = ______.

$\frac{11}{4}$ 解析：当 t = 1 时，AP = 1，AQ = 3，∴ PQ = 2，使得 PQMD 是菱形，则 PD = PQ = 2. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠A = 90°，由勾股定理得，AD = $\sqrt{PD^{2}-AP^{2}}$ = $\sqrt{3}$. 当 0≤t＜2 时，AP = t，AQ = 3t，∴ PQ = 2t，由勾股定理得 DP = $\sqrt{AD^{2}+AP^{2}}$ = $\sqrt{3 + t^{2}}$，要使得 PQND 是菱形，则 DP = PQ，即 $\sqrt{3 + t^{2}}$ = 2t，解得 t = 1(舍去) 或 t = -1(舍去)；当 2≤t≤6 时，AP = t，AQ = 6，∴ PQ = 6 - t. 要使得 PQND 是菱形，则 DP = PQ，即 $\sqrt{3 + t^{2}}$ = 6 - t，解得 t = $\frac{11}{4}$，综上所述，t 的值为 $\frac{11}{4}$.

11. 如图，在等腰△ABC中，AB = BC，∠BAC = α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△ADE，连接BE.
（1）求证：BE = BC.
（2）四边形ABED是什么形状的四边形？并说明理由.
（3）当α分别是多少度时：①BE⊥AC；②BE//AC？

(1) ∵ 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 2α，根据旋转的性质得 ∠EAC = 2α，∠DAE = ∠BAC = α，AD = AB，AE = AC，∴ ∠BAE = ∠EAC - ∠BAC = 2α - α = α，∴ ∠BAE = ∠BAC. ∵ AE = AC，AB = AB，∴ △ABE≌△ABC(SAS)，∴ BE = BC.
(2) 四边形 ABED 是菱形. 理由如下：∵ 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 2α，∴ AD = AB，BC = DE. ∵ AB = BC，BE = BC，∴ AD = AB = BE = DE，∴ 四边形 ABED 是菱形.
(3) ①如图①，当 BE⊥AC 时，延长 EB 交 AC 于点 H. ∵ 四边形 ABED 是菱形，∴ AD//BE. ∵ BE⊥AC，∴ AD⊥AC，∴ ∠DAC = 90°. ∵ ∠DAE = ∠BAC = α，∠EAC = 2α，∴ α + 2α = 90°，∴ α = 30°.
②如图②，当 BE//AC 时. ∵ 四边形 ABED 是菱形，∴ AD//BE. 又∵ BE//AC，∴ AD 与 AC 共线，∴ ∠DAE + ∠EAC = 180°，∴ α + 2α = 180°，∴ α = 60°.
　　　

12. 如图①，在矩形纸片ABCD中，AB = 6，AD = 10，折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ. 过点E作EF//AB交PQ于点F，连接BF.
（1）求证：四边形PBFE为菱形.
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.
①当点Q与点C重合时（如图②），求菱形PBFE的边长.
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出；若没有，填“无”. 最大值为______；最小值为______.

(1) ∵ 折叠纸片使点 B 落在边 AD 上的点 E 处，折痕为 PQ，∴ 点 B 与点 E 关于 PQ 对称，∴ PB = PE，BF = EF，∠BPF = ∠EPF. 又∵ EF//AB，∴ ∠BPF = ∠EFP，∴ ∠EPF = ∠EFP，∴ EP = EF，∴ BP = BF = EF = EP，∴ 四边形 PBFE 为菱形.
(2) ①∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ BC = AD = 10，CD = AB = 6，∠A = ∠D = 90°. ∵ 点 B 与点 E 关于 PQ 对称，∴ CE = BC = 10. 在 Rt△CDE 中，DE = $\sqrt{CE^{2}-CD^{2}}$ = 8，∴ AE = AD - DE = 2. 在 Rt△APE 中，AE = 2，AP = 6 - PB = 6 - PE，∴ $EP^{2}=2^{2}+(6 - EP)^{2}$，解得 EP = $\frac{10}{3}$，∴ 菱形 PBFE 的边长为 $\frac{10}{3}$.
②36 $\frac{20}{3}$ 解析：当点 Q 与点 C 重合时，如图①，点 E 离点 A 最近，由①知，此时 AE = 2，BP = $\frac{10}{3}$，$S_{菱形 BFEP}$ = BP·AE = $\frac{20}{3}$；当点 P 与点 A 重合时，如图②，点 E 离点 A 最远，此时四边形 ABQE 为矩形，且 AE = AB = 6，$S_{菱形 BFEP}$ = $S_{矩形 ABQE}$ = 36，∴ 菱形 PBFE 的面积范围是 $\frac{20}{3}$≤S≤36，∴ 菱形 PBFE 面积的最大值是 36，最小值是 $\frac{20}{3}$.